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Análise real

Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

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Objetivo

O objetivo principal deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de cálculo, e que esteja interessado em aprender análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. O que temos que saber primeiro para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise.

• Cálculo (Volume 1)
• Cálculo (Volume 2)
• Cálculo (Volume 3)

Outros objetivos

• Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios e também suas resoluções.
• Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
• Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
• Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Objetivo secundário

Existe um grande pulo entre fazer um simples curso de cálculo (na licenciatura ou áreas práticas, como engenharias, física, ...) e fazer um rigoroso curso de cálculo no bacharelado nos livros rigorosos como Guidorizzi.

Assim em vez de fazermos um livro só para desfazer essa diferença, no final do livro de análise, estaremos colocando certos conceitos que o leitor tem que ter em mãos, esta que é a diferença citada acima.

Talvez algum dia, esses conceitos possam ser separados num novo livro.

Introdução

A análise real é uma área da análise matemática que estuda o conjunto dos números reais e, principalmente, as propriedades analíticas das funções reais a valores reais. Entre os seus objetos de estudo, estão:

• Convergência de seqüências;
• Limite de funções;
• Continuidade de funções;
• Diferenciação;
• Integração.

Sendo assim, este livro começa definindo de forma precisa o que são "números reais" e o que se pode fazer com eles, ou seja, quais são as operações definidas sobre este conjunto numérico, e quais as suas propriedades. A presença de tais formalismos em um livro de análise é essencial. Uma razão muito simples para isso é que não se pode começar a provar teoremas sobre números reais, sem que se tenha deixado claro sobre o que exatamente está sendo falado. Essa é uma das grandes diferenças entre um livro de cálculo e um livro de análise: Em cálculo o mais importante é aprender a aplicar os conceitos e teoremas (da análise matemática), realizando cálculos. Na análise, procura-se desenvolver formalmente toda a teoria que garante o funcionamento daqueles teoremas, fazendo-se uma análise dessa teoria, levando em conta toda a estrutura lógica que interliga tais teoremas. Em certo sentido, em cálculo usam-se os teoremas para fazer contas, e na análise usa-se a lógica para fazer teoremas.

Com o conhecimento adquirido na formação escolar, tem-se ainda apenas uma idéia intuitiva do que são os números reais. Às vezes não se tem a familiaridade necessária com esse conceito para poder responder com segurança questões como:

• "Por que não se extrai raiz quadrada de números negativos, como ${\sqrt {-1}}$?" e
• "Por que não se pode dividir por zero, e escrever ${\frac {1}{0}}$?"

Mesmo que a verdade fosse dita, alguns alunos não ficariam satisfeitos com a explicação. Mesmo que a resposta possa não ser útil para muitas pessoas, para os futuros matemáticos, e professores de matemática, é preciso oferecer alguma explicação convincente. No caso:

• Pode-se, sim, extrair raiz quadrada de números negativos, mas o resultado será um número complexo.
• Mesmo que alguém quisesse definir a segunda expressão como sendo algum número real (e admita, até você já quis fazer isso, não?), imediatamente seriam deduzidos fatos contraditórios.

Um exemplo (talvez um pouco informal) de uma tentativa frustrada de definir essa última expressão, mas que oferece alguma intuição a respeito é:

• Se ${\frac {1}{0}}$ fosse igual a $10$, ou seja, ${\frac {1}{0}}=10$ então ao multiplicar ambos os membros pelo denominador (às vezes chamado de passar o zero para a direita) seria concluído que $1=0$. Nada é mais absurdo que isso!

Sendo assim, já que qualquer tentativa de escolher um valor real para atribuir à expressão ${\frac {1}{0}}$ leva a uma contradição como a anterior, é muito mais útil deixar tal expressão indefinida, do que estudar uma teoria cheia de contradições!

Neste livro, a abordagem escolhida para a construção da teoria é aquela em que se procura definir os números a partir de alguns axiomas (uma teoria axiomática). Em termos leigos, os axiomas correspondem às propriedades que se acredita que os números reais deveriam ter. Com base nessas propriedades, demonstram-se muitas outras (leia-se "todas as outras"), de forma que tudo aquilo que se pode fazer com os números reais esteja bem justificado.

Faça uma boa leitura e, se encontrar algum erro ao longo do texto, seja audaz: Faça você mesmo a correção! Melhorias no texto sempre serão bem vindas, e em caso de dúvida pode-se ainda consultar os autores.

Lógica

Afirmação

• todos os quadrados são retângulos
• qualquer losango é um quadrilátero.
• alguns triângulos são equilátero.

Implicação

É uma sentença resultante de uma sentença que pode ser uma afirmação ou uma negação.

• Duas retas r e s são paralelas. Isso quer dizer que o coeficiente angular da reta r é igual ao coeficiente angular da reta s.
  • $r:y=m_{r}\cdot x+n_{r}\;e\;s:y=m_{s}\cdot x+n_{s}.Se\;r//s,\;logo\;m_{r}=m_{s}$

Conjunto

Noções de Teoria dos Conjuntos

Definição de Conjunto

Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.

Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\in X\;$.

Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\not \in X\;$.

Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.

• Exemplo: Seja $A\;$ um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; $B\;$ é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que $A=\{1,2,3,4\},B=\{1,3,5,7\},{\mbox{ logo }}2\in A,2\not \in B$.

Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:

• $\exists$ significa “existe”;
• $\exists !$ significa “existe um único”;
• $\forall$ significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
• $\Rightarrow$ significa “se ... então ...” ou “implica que”;
• $\Leftrightarrow$ significa “se, e somente se,”.

Exemplos de Conjuntos importantes

Conjunto dos naturais

O Conjunto $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$

Conjunto dos inteiros

O Conjunto $\mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Conjunto dos racionais

O Conjunto $\mathbb {Q} =\{{a \over b};a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}$

Conjunto dos iracionais

$\mathbb {R} -\mathbb {Q} =\{x\not \in \mathbb {Q} ;x\neq {a \over b},\forall \;a,b\;\mathbb {Z} \}$

Conjunto dos reais

O Conjunto dos reais $\mathbb {R}$ são todos os números racionais e os irracionais.

• $\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$
• $\mathbb {R} =\{x;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$
• $\mathbb {R} =\{x\in \mathbb {C} ;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$ (visto como subconjunto dos complexos)

Conjunto dos complexos

O Conjunto $\mathbb {C} =\{x;ax^{2}+bx+c=0:a,b,c\in \mathbb {Z} \}=\{a+bi;a,b\in \mathbb {R} \}$

Conjunto definido através de propriedades

$Y=\{y;y\;que\;satisfazem\;as\;propriedades\;P_{1},...,P_{n}\}$

• Exemplo: $Y=\{y;y\;seja\;natural,y\;seja\;maior\;que\;3,y\;seja\;menor\;ou\;igual\;a\;8\}=\{4,5,6,7,8\}$
  • O exemplo anterior deve ser escrito assim: $Y=\{y\in \mathbb {N} ;3<y\leq 8\}=\{4,5,6,7,8\}$

Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$. Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.

• exemplo: $A=\{x;x$ seja natural positivo $\}$ e $B=\{y;y$ seja inteiro negativo $\}$. Vamos tomar $C=\{$ elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B $\}$. Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
  • A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: $A=\{x\in \mathbb {N} ;x>0\}{\mbox{ e }}B=\{y\in \mathbb {Z} ;y<0\}$. Vamos tomar $C=A\cap B$. Logo $C=\varnothing$, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

Conjuntos Ordenados

Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais $\mathbb {\mathbb {N} } =\{1,2,3,\ldots \}$ (Alguns autores tomam $\{0,1,2,\ldots \}$ — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos $\mathbb {N} _{0}$). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$ é que têm uma relação de equivalência $=\$ satisfazendo as relações de equivalência seguintes:

1. Reflexividade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n=n;$

2. Simétrico

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m\Rightarrow m=n$;

3. Transitividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$ se $n=m$ e $m=l$, então $n=l$;

Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.

• A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
• A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
• A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.

Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:

1. Tricotomia

   Qualquer que seja$m,n\in \mathbb {N}$, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:

   $m<n$

   $m=n$

   $m>n$

   A notação $m\leq n$ significa que $m<n$ ou $m=n$, e a notação $m\geq n$ significa que $m>n$ ou $m=n$.

2. Transitividade de < and >.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n<m$ e $m\leq l$, então $n<l$.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n>m$ e $m\geq l$, então $n>l$.

Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais $\mathbb {N}$ têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto $\mathbb {N}$ e as operações de adição $+$ satisfazem o seguinte axioma:

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,n+m\in \mathbb {N}$.

2. Comutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n+m=m+n$.

3. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n+(m+l)=(n+m)+l$.

   Significa que podemos escrever sem ambiguidade $n+m+l$

4. Compatibilidade com ordem

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n<n+m$

Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

Multiplicação

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m\in \mathbb {N}$.

2. Identidade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n\times 1=n$.

3. Commutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m=m\times n$.

4. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,

   significa que podemos escrever ambiguosamente $n\times m\times l$.

5. Distributividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.

6. Compatibilidade com ordernados

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ m\leq n\times m$.

Leia mais

• Conjunto estudado no ensino médio
• Teoria dos conjuntos
• Teoria dos Conjuntos (em inglês)

Subconjunto

Definição de Subconjunto

Quando um conjunto $Y\;$ é parte de uma certa coleção $X\;$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos $Y\subset X$.

• Ex: $X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}$. Como $X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X$, isto é, todo elemento que pertence a $Y\;$, pertence a $X\;$, por isso dizemos que $Y\;$ é subconjunto de $X\;$.
• Mais formalmente, se $y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X$, também $Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y$

exemplo

Consideremos os seguintes conjuntos $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.$

• Provaremos que $B\subset A.$ De fato, seja $x\in B,$ então $x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N}$, sendo que pode ser escrito na forma $x=2(2n)=2m$, onde claramente $m=2n\in \mathbb {N}$, logo $x\in A$
• Agora vejamos que $\exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que $x=2\in B$ então existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $2=4n$, porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional $n=1/2$ o qual não pertence a $\mathbb {N}$, fato que nos fornece uma contradição. Portanto $A\subset B.$

Parte de um conjunto

$Y\subset X$ significa que todos os elementos de $Y\;$ estão em $X\;$.

$Y\subset X$ lê-se $Y\;$ está contido em $X\;$.

Podemos definir $Y\subset X$ como $Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}$, considerando que $P_{1}\;$ não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

Subconjunto próprio

$Y\;$ é subconjunto próprio de $X\Leftrightarrow Y\neq X$ e $Y\subset X,mas\;X\not \subset Y$.

Conjunto vazio

• O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Quando que um conjunto não é um subconjunto

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, $X\not \subset Y\;$, basta exibir um $x\in X\;$ e provar que $x\not \in Y$.

• Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que $X\not \subset Y\;$. Segue que $2\in X\;$, mas $2\not \in Y\;$. Logo $X\not \subset Y\;$.

Inclusão

Propriedades da relação de inclusão

reflexidade

$X\subset X$

• Ao tomarmos um elemento do primeiro conjunto, este elemento também pertence ao segundo conjunto. Assim todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

antisimetria

$X\subset Y,Y\subset X\Rightarrow X=Y$

• prova: tome $x\in X,{\mbox{ como }}\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,{\mbox{ ou tome }}y\in Y,{\mbox{ como }}Y\subset X\Rightarrow y\in X\Rightarrow X=Y$

transitividade

$X\subset Y,Y\subset Z\Rightarrow X\subset Z$

• prova: dado $x\in X,como\;X\subset Y\Rightarrow x\in Y,mas\;Y\subset Z\Rightarrow x\in Z\Rightarrow X\subset Z$

Relação de dois conjuntos

Igualdade

Um conjunto é igual ao outro se um conjunto é subconjunto do outro. Não podendo ser subconjunto próprio. $Y=X\Leftrightarrow Y\subset X\;e\;X\subset Y$.

Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.

Exemplos:

• $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
• $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
• $Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.

Operação

Operações entre conjuntos

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• $Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}$
• Ex: $K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}$
  • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}$
  • Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos
• Temos que $A,B\subset A\cup B$.

Propriedades Básicas:

• NULO: $A\cup \varnothing =A$
  • Basta verificarmos que $A\cup \varnothing \subset A$ e depois que $A\subset A\cup \varnothing$. Assim $\forall \;x\in A\cup \varnothing \Leftrightarrow x\in A$
• IDENTIDADE: $A\cup A=A$
  • $\forall \;x\in A\cup A\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in A$
• COMUTATIVIDADE: $A\cup B=B\cup A$
  • $\forall \;x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A$
• SUBCONJUNTO: $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A$
  • $\Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B,\;teremos\;x\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :\forall \;x\in A\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\cup B,\;logo\;$ $A\subset A\cup B$.
  • $\forall \;x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B,\;como\;B\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.\;Portanto\;A\cup B=A$
• ASSOCIATIVA: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).$
  • $\forall \;x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).$
• $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cup C\subset B\cup D$
  • $\forall \;x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;ou\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cup D.$

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\},\;ou\;seja\;,x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B$

Exemplos:

• NULO: $A\cap \varnothing =\varnothing .$
  • $\forall x\in A\cap \varnothing \Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in \varnothing .$
• IDENTIDADE: $A\cap A=A.$
  • $\forall x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in A.$
• COMUTATIVIDADE: $A\cap B=B\cap A.$
  • $\forall x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.$
• SUBCONJUNTO: $A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A.$
  • $\Rightarrow :\forall x\in B,\;como\;B\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.$
  • $\Leftarrow :\;Como\;B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B\Rightarrow x\in A\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in A\cap B,\;logo\;$ $B\subset A\cap B$.
  • $\forall x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.\;Portanto\;A\cap B=B\;.$
• ASSOCIATIVA: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).$
  • $\forall \;x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\;e\;x\in C\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;e\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\;e\;x\in C\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).$

• $A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cap C\subset B\cap D$
  • $\forall x\in A\cap C\Rightarrow x\in A\;e\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;e\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cap D.$

Diferença

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

• $Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}$.
• $A\setminus B\;e\;A-B$ significam a mesma coisa.

Exemplo 1

• $A\setminus B=A\cap B^{C}$
  • $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\cap B^{C}\Rightarrow A\setminus B\subset A\cap B^{C}$.
  • $Tome\;x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\setminus B\Rightarrow A\cap B^{C}\subset A\setminus B$.

Exemplo 2

• $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$
  • $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}$.
    • $Como\;A\cap B\subset B\Rightarrow B^{C}\subset (A\cap B)^{C}$. Logo $x\in B^{C}\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$.
    • $Portanto\;x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)$.
  • $Tome\;x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\not \in (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}$.
    • $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B$
    • $Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow$
    • $\Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B$.

Exemplo 3

• $A,B\subset K;tal\;que\;A\cap B=\varnothing ,A\cup B=K\Rightarrow K-A=B\land K-B=A$.

Exemplo 4

• $A-A=\varnothing$.
  • Suponha que $A-A\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A-A\Rightarrow \exists \;x\in A\;e\;x\not \in A$. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

teorema

• $A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B$.
  • $\Rightarrow :A\setminus B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A\subset B$.
  • $\Leftarrow :Suponha\;que\;A-B\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A\setminus B\Rightarrow \exists \;x\in A,x\not \in B.\;Absurdo,\;pois\;A\subset B,\Rightarrow \forall x\in A,x\in B$.
• $A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$.
  • $\Rightarrow :A=A-B\Rightarrow A\subset A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$.
  • $\Leftarrow :A\cap B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow A\subset A-B$.
    • $\forall x\in A-B\Rightarrow x\in A,x\not \in B\Rightarrow A-B\subset A$.
    • $\therefore A=A-B$.
• $A-B=\varnothing =B-A\Leftrightarrow A=B$.
  • $\Rightarrow :A-B\subset B-A\Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A=B$.
  • $\Leftarrow :A=B\Rightarrow \;dado\;x\in A-B,x\in A,x\not \in B\Rightarrow x\in B\;e\;x\not \in B\Rightarrow A-B=\varnothing$. Analogamente $B-A=\varnothing$.

teorema

• $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow A\cap C=\varnothing$
  • $A\setminus (B\setminus C)=A\setminus (B\setminus (B\cap C))=A\setminus (B\setminus ((B\cap C)\cap A)\cup ((B\cap C)\setminus A))=A\setminus (B\setminus ((A\cap B\cap C)\cup ((B\cap C)\setminus A)))=...$ $...=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap B\cap C)\}$. Como $A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}$
  • $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)$
  • $\therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)$

Diferença Simétrica

• Definição 1: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup B\;e\;x\not \in A\cap B\}$
• Definição 2: $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)$

teorema

Teorema: Mostrar que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Prova:

• $Tome\;x\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\lor x\in (B\setminus A)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\in B]\land [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\not \in A]\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow$
  • $\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in B^{C}\lor x\in A^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B^{C}\cup A^{C})]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B\cap A)^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\not \in (B\cap A)]\Rightarrow$
  • $[x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]$
• $\Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
  • $\forall x\in A\cap (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;ou\;(x\in A\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cap B\;ou\;x\in A\cap C\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  • $\forall x\in A\cup (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;e\;(x\in A\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup B\;e\;x\in A\cup C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C\Leftrightarrow A-C=\varnothing$
  • $\Rightarrow :A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que $A-C=\varnothing$.
  • $Ao\;observar\;a\;igualdade\;A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)$, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, $A-C=\varnothing$, é suficiente para dizermos que $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$

Complementar

Complementar de um conjunto

• Seja $A\subset K\Rightarrow K-A=\complement _{K}A=\{x\in K;x\not \in A\}$. (O complementar de um subconjunto sobre um conjunto é um modo diferente de ver a diferença entre um conjunto e seu subconjunto.)
  • Dado $x\in K,A\subset K$. Temos que só uma é verdadeira $x\in A{\mbox{ ou }}x\not \in A$.
  • Quando é claro quem é o conjunto K, podemos omiti-lo, assim o complementar de A em relação a K fica somente $A^{C}$
  • $(A^{C})^{C}=A$
    • Considere Dado $x\in (A^{C})^{C}\Rightarrow x\not \in A^{C}\Rightarrow x\in A$. Analogamente seja, $x\in A\Rightarrow x\not \in A^{C}\Rightarrow x\in (A^{C})^{C}$.

Propriedades

Propriedades de conjuntos

Sejam $A,B\subset K$.

• $A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B$.
  • $Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B$
• $A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B$.
• $A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}$.
  • Dado $x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}$. 1 Suponha que $A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B$ que opõe-se da nossa hipótese.

teorema

• $A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A$
  • $\Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.$
  • $\Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.$
  • $\Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.$
  • $\Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.$

Relações de Morgan

• $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
  • $\forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow$
    • $\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}$ (1)
  • $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}$ (2)
  • Por (1) e (2), temos que $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
• $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$
  • $\forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}$
  • $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$

exemplos

• $\varnothing \in \varnothing$
  • Considere K, um conjunto qualquer e $A=K\cap K^{C}$. Suponha que $\varnothing \in A$. Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo $\varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}$. Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto $\varnothing \not \in \varnothing$
• $\varnothing \subset \varnothing$
  • Por contradição $\varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing$. O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
  • Suponha um conjunto A qualquer e que $\varnothing \not \subset A$, isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
• $\varnothing \in \{\varnothing \}$
  • O conjunto das partes do conjunto $\{\}$, é $\{\varnothing \}$. Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
• $\varnothing \subset \{\varnothing \}$
  • Tomemos as parte do conjunto $\{\}$, que é $\{\varnothing \}$. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: $\{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}$

condições entre conjuntos

Considere $A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}$. Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

• $A\cap B^{C}\subset C$
  • $\forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.$
    • $\therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
    • Devemos aqui ter bem claro que $x\in U-A$ significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
• $A^{C}\cup B^{C}\subset C$
  • $\forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C$
    • $\therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.

• $A^{C}\cup B\subset C^{C}$
  • $\forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C$
    • $\therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.

• $A^{C}\subset B^{C}\cup C$
  • $\forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C$
    • $\therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.

• $A\subset B^{C}\cup C^{C}$
  • $\forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C$
    • $\therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.

Coleção de conjuntos

Coleção de Conjuntos

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.: $C=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}$

Ex.: $P=\{A,B,C,D\},{\mbox{ onde }}A=\varnothing ,B=\{1\},C=\{2\},D=\{1,2\}$. Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que $P(D)=\{X;X\subset D\}$.

Coleção das partes de um conjunto

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja $X=\{a,b,c\}$, logo $P(X)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}=\{Y;Y\subset X\}$.

teorema de Cantor

Se A é um conjunto, não existe uma função $f:A\rightarrow P(A)$ que seja sobrejetiva.

• Prova:

União de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A união dos membros da família C é escrita assim: $\bigcup _{A\in C}A=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcup _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcup _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para algum }}A\in C\}$ onde x são os elementos dos membros de C.

${\displaystyle }$

Intersecção de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A intersecção dos membros da família C é escrita assim: $\bigcap _{A\in C}A=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcap _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcap _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para todo }}A\in C\}$ onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de Conjuntos

Uma família de conjuntos ${\mathfrak {F}}$, denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:

• $Se\;A,B\in {\mathfrak {F}},logo\;A\triangle B,A\cap B\in {\mathfrak {F}}$

${\displaystyle }$

• Unidade de uma família de subconjuntos ${\mathfrak {F}}$:
  • $E\in {\mathfrak {F}}$ é a unidade de ${\mathfrak {F}},se\forall \;A\in {\mathfrak {F}},implicar\;que\;A\cap E=A$

Exemplo 1

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.

• $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\}\}$, onde a é um elemento qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\{a\}\cap \{a\},\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\{a\}\triangle \{a\}\in {\mathfrak {F}}$
  • Mas $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing \cap \{a\}=\varnothing \triangle \varnothing ,\{a\}\triangle \{a\}=\varnothing$.
  • Também $\{a\}\cap \{a\}=\varnothing \triangle \{a\}=\{a\}$
• A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a\},$ pois:
  • $\{a\}\cap \varnothing =\varnothing \;e\;\{a\}\cap \{a\}=\{a\}$

Exemplo 2

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.

• $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$, onde a,b são elementos qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow$:
  • $\varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}$
  • $\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\varnothing \triangle \{b\},\varnothing \triangle \{a,b\},\{a\}\triangle \{a\},\{a\}\triangle \{b\},\{a\}\triangle \{a,b\},\{b\}\triangle \{b\},\{b\}\triangle \{a,b\},\{a,b\}\triangle \{a,b\}$
• A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a,b\},$ pois:
  • $\{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}\;e\;\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}$

Produto Cartesiano

Conjunto de Pares ordenados

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d$.

Repare que $(a,b)\neq (b,a)$ salvo se a = b e que $(a,a)\neq a$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas $(a,b,c)$ ou n-uplas ordenadas $(a_{1},...,a_{n})$.

Plano Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado $A\times B$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que $a\in A\;e\;b\in B$. Em símbolos: $A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}$.

Ex.: $A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}$ e, por simplicidade, o denotamos $A^{2}$.

Ex.: De maneira análoga definimos $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},$

Ex.: $A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}$

Ex: Sejam $A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}$

Exemplos importantes de Planos Cartesianos: $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Diagonal de um Plano Cartesiano

A diagonal mais simples é do quadrado $A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado $A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}$

• Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo $A\times B$. Supondo que o $\min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :$ $\Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}$

Ex.: $A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}$

Propriedades de Plano Cartesiano

• Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
  • $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d$

Equações

Equação

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui uma igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras.

• a idéia de uma equação é determinar o valor de cada incógnita.

Teo

• $a=b,c=d\Leftrightarrow a+c=b+d\;e\;a-c=b-d$
• $a=b,c=d\Leftrightarrow a\cdot c=b\cdot d\;e\;a/c=b/d$
• $a=b\Leftrightarrow a\cdot a=b\cdot b\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}$

exemplo

• ${\sqrt {x}}=4\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=4\cdot 4\Leftrightarrow x=16$
• ${\sqrt {x}}+x=2\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+x-x=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=2-x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(2-x)\cdot (2-x)\Leftrightarrow x=4-4x+x^{2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x^{2}-4x-x+4-4=x-x-4\Leftrightarrow x^{2}-5x=-4\Leftrightarrow x^{2}-5x+{25 \over 4}=-4+{25 \over 4}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={-16+25 \over 4}\Leftrightarrow (x-{5 \over 2})^{2}={9 \over 4}\Leftrightarrow x-{5 \over 2}={3 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}=-{3 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x-{5 \over 2}+{5 \over 2}={3 \over 2}+{5 \over 2}\;ou\;x-{5 \over 2}+{5 \over 2}=-{3 \over 2}+{5 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $x={8 \over 2}\;ou\;x={2 \over 2}\Leftrightarrow x=4\;ou\;x=1$
• ${\sqrt {x}}+3=x\Leftrightarrow {\sqrt {x}}+3-3=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}=x-3\Leftrightarrow {\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=(x-3)\cdot (x-3)\Leftrightarrow x=x^{2}-6x+9\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x^{2}-6x-x+9-9=x-x-9\Leftrightarrow x^{2}-7x=-9\Leftrightarrow x^{2}-7x+{49 \over 4}=-9+{49 \over 4}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={-36+49 \over 4}\Leftrightarrow (x-{7 \over 2})^{2}={13 \over 4}\Leftrightarrow x-{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $\Leftrightarrow x-{7 \over 2}+{7 \over 2}={{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\;ou\;x-{7 \over 2}+{7 \over 2}=-{{\sqrt {1}}3 \over 2}+{7 \over 2}\Leftrightarrow$
  • $x={7+{\sqrt {1}}3 \over 2}\;ou\;x={7-{\sqrt {1}}3 \over 2}$

Funções

Função

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função $f:A\mapsto B$ (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada $x\in A$ associa um único elemento $f(x)$ (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo $x\in A$ possui uma imagem $f(x)\in B$. Por outro lado, pode existir $y\in B$ que não seja imagem de nenhum $x\in A$. Note também que, dado $x\in A$, não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento $y\in B$ pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer $f(x_{1})=f(x_{2})$ com $x_{1}\neq x_{2}$.

Conjuntos Básicos de uma função

Domínio de uma Função

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam $f:A_{1}\mapsto B\land g:A_{2}\mapsto B$, onde f e g tenham regras iguais.

• $f$ é uma função se $f(A_{1})\subset B\;e\;g$ é uma função se $g(A_{2})\subset B.$
• Exemplo: $f:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} \;e\;g:(2\mathbb {Z} -1)\mapsto \mathbb {Z} ,com\;f(x)=x+2\;e\;g(x)=x+2$.
  • $f(2)=2+2=4\;e\;g(3)=3+2=5$. Mas certamente $f(3)\;e\;g(2)$ não existem porque $2\not \in 2\mathbb {Z} -1\;e\;3\not \in 2\mathbb {Z}$.
  • Mas podemos definir uma função $h(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\g(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.=$ $\left\{{\begin{matrix}x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow h:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,onde\;h(x)=x+2$

Imagem e Contra-domínio de uma Função

Seja $f:A\mapsto B,B'\subset B$.

Definamos $B'=\{y\in B;\exists \;x\in A:tal\;que\;y=f(x)=y\}=\{f(x);x\in A\}$. B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,

• $\forall x\in A:f:A\mapsto B\Rightarrow \exists !y\in B;tal\;que;f(x)=y$. y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma Função

Dado $f:A\mapsto B$, uma função que relaciona cada $x\in A$ com um $f(x)\in B$.

• A imagem inversa de um $y\in B$ vai existir se existir um $x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\;ou\;seja,x=f^{-1}(y).$
  • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
  • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.

Exemplo

• Tome $f:3\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,sendo\;que\;f(x)=2x$. O conjunto Imagem de f é o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=f(x),para\;algum\;x\in 3\mathbb {Z} \}=$
  • Como $x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} .Como\;f(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow f(x)=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z}$
  • Assim, o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \}=6\mathbb {Z}$
• O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto $\{x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\forall \;y\in Im_{f}\}=$ $=\{x\in A,tal\;que\;x=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y),\forall \;y\in Im_{f}\}=A$.
• Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo $x=f^{-1}(f(x))$

Gráfico "Algébrico" de uma função

Seja $f:A\mapsto B;f(A)\subset B$. O gráfico da função f é o conjunto $G(f)=\{(a,f(a));a\in A\}$.

Exemplos Básicos de Função

Função Identidade

Uma função $I:A\mapsto B$ é chamada função identidade se $\forall x\in A,I(x)=x.$ Implicações:

• $A\subset B$.
• a imagem inversa de $x\in B,$ sempre será $x\in A,ou\;seja,I^{-1}(x)=x.$.

Função Constante

Uma função $f:A\mapsto B,f(x)=c$ é chamada função constante se $\forall x\in A,f(x)=c.$ Implicações:

• $c\in B$ é a única imagem da função, ou seja, $Im_{f}=\{c\}$.

Função Característica

Dado $A\subset C$, definimos a função característica ou indicadora de A por $I_{A}:C\mapsto \{0,1\}$ (também denotada por $X_{A}$ ) por $I_{A}(x)={\begin{cases}0,{\mbox{ se }}x\not \in A\\1,{\mbox{ se }}x\in A\end{cases}}$.

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que $I:P(C)\mapsto F(C;\{0,1\}){\mbox{ ou }}I\in F(P(C);F(C;\{0,1\}))$, pois I associa a cada subconjunto $A\in P(C)$ a função $I_{A}$.

2Funções

Igualdade de funções

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$ duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

• são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se $f(x)=g(x),\forall x\in A,C$.
• "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
• "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.

Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Restrição de uma função

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$. Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se $A\subset C\;e\;f(x)=g(x),\forall \;x\in A$. Neste caso escrevemos $f=g|A$.

Função Composta

Sejam $f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D$ tais que $f(A)\subset C$.

Definimos a função composta $g\circ f:A\mapsto D$ que a cada $x\in A$ associa $z=g(f(x))\in D$.

• BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado $x\in A$ temos que $y=f(x)\in f(A),como\;f(A)\subset C$ temos $y=f(x)\in C$. Neste caso podemos aplicar g e encontrar $z=g(y)=g(f(x))\in D$.
  • Na prática é assim: $Dado\;x\in A,(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,onde\;y=f(x)$.
• $B\not \subset C$ não atrapalha a composição. Suponha $f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,f(x)=2x\;e\;g:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,g(y)=3y.$ Observamos que $\mathbb {Z} \not \subset 2\mathbb {Z} ,mas\;f(\mathbb {Z} )\subset 2\mathbb {Z}$. Portanto a função composição é possível.
• ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se $f:A\mapsto B,g:C\mapsto D\;e\;h:E\mapsto F\;com\;f(A)\subset C\;e\;g(C)\subset E$, então temos que $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)=h(g(f(x))),\forall x\in A$.
• Para $f:A\mapsto A$ definimos $f^{n}:A\mapsto A$ por $f^{n}=\underbrace {f\circ ...\circ f} _{nvezes}$.

Função Inversa

Seja $f:A\mapsto B$.

Definimos $g:f(A)\mapsto A,g=f^{-1},y\in f(A),\exists x\in A;g(f(x))=x,\forall x\in A$.

• $f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {N} ,com\;f(x)=x^{2}\;e\;g:f(\mathbb {Z} )\mapsto \mathbb {Z} ,com\;g(y)={\sqrt {y}},y=f(x)$. Assim $g(y)=g(f(x))=g(x^{2})={\sqrt {(}}x^{2})=x$.
  • Exemplo $f(4)=16\;e\;g(16)=4$.
• Sejam $f:A\mapsto B{\mbox{ e }}g:B\mapsto A$ tais que $(g\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ g)(y)=y,\forall y\in B$. Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos $g=f^{-1}$.
• Não devemos confundir $f^{-1}$ da definição acima com ${\tilde {f}}^{-1}$. Sempre que aplicamos $f^{-1}$ em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica $f^{-1}$ num elemento y, pode-se entender como $f^{-1}(y)$, caso a inversa exista, ou ${\tilde {f}}^{-1}(\{y\})$, a imagem inversa de um conjunto unitário.
• Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se $f:A\mapsto B$ é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa $f^{-1}$ ficando subentendido que o domínio de $f^{-1}$ é f(A) (e não B). Desta forma $(f^{-1}\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ f^{-1})(y)=y\forall y\in f(A)$.

Propriedades-Funções

Função Sobrejetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita sobrejetiva se $f(A)=B$, ou seja, se $\forall y\in B,\exists x\in A;{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.

Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.

Exemplo. Seja $A=\{a,b\}$. A função f, definida por $f(x)=x,\forall x\in A$, não é sobrejetiva de A em $\{a,b,c\}$ mas é sobrejetiva de A em $\{a,b\}$.

• Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, $f:A\mapsto f(A)$ é sobrejetiva.

Função Injetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita injetiva se ocorre uma destas:

• para quaisquer $x,y\in A$ tais que $x\neq y$ temos $f(x)\neq f(y)$;
• $x,y\in A$ são tais que $f(x)=f(y)$, então $x=y$;
• $\forall \;y\in f(A),\exists x!\in A{\mbox{ tal que }}f(x)=y$.
• Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se $f|A$ tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que $f|A$ é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

Função Bijetiva

Uma função $f:A\mapsto B$ é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.

Exemplo: Sejam $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}$. Consideremos as funções $f:A\mapsto B,g:A\mapsto C{\mbox{ e }}h:A\mapsto A$ definidas por $f(x)=2x,g(x)=x^{2},h(x)=2\forall \;x\in A$.

Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Teorema de Cantor

Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função $f:A\mapsto P(A)$ que seja sobrejetiva.

Prova 1

• para que f não seja sobrejetiva, $P(A)\setminus f(A)\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;y\in P(A),tal\;que\;\forall \;x\in A,f(x)\neq y$