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Análise real
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Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

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Objetivo

O objetivo principal deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de cálculo, e que esteja interessado em aprender análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. O que temos que saber primeiro para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise.

Outros objetivos[editar | editar código-fonte]

  • Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios e também suas resoluções.
  • Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
  • Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
  • Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Objetivo secundário[editar | editar código-fonte]

Existe um grande pulo entre fazer um simples curso de cálculo (na licenciatura ou áreas práticas, como engenharias, física, ...) e fazer um rigoroso curso de cálculo no bacharelado nos livros rigorosos como Guidorizzi.

Assim em vez de fazermos um livro só para desfazer essa diferença, no final do livro de análise, estaremos colocando certos conceitos que o leitor tem que ter em mãos, esta que é a diferença citada acima.

Talvez algum dia, esses conceitos possam ser separados num novo livro.

Introdução


A análise real é uma área da análise matemática que estuda o conjunto dos números reais e, principalmente, as propriedades analíticas das funções reais a valores reais. Entre os seus objetos de estudo, estão:

  • Convergência de seqüências;
  • Limite de funções;
  • Continuidade de funções;
  • Diferenciação;
  • Integração.

Sendo assim, este livro começa definindo de forma precisa o que são "números reais" e o que se pode fazer com eles, ou seja, quais são as operações definidas sobre este conjunto numérico, e quais as suas propriedades. A presença de tais formalismos em um livro de análise é essencial. Uma razão muito simples para isso é que não se pode começar a provar teoremas sobre números reais, sem que se tenha deixado claro sobre o que exatamente está sendo falado. Essa é uma das grandes diferenças entre um livro de cálculo e um livro de análise: Em cálculo o mais importante é aprender a aplicar os conceitos e teoremas (da análise matemática), realizando cálculos. Na análise, procura-se desenvolver formalmente toda a teoria que garante o funcionamento daqueles teoremas, fazendo-se uma análise dessa teoria, levando em conta toda a estrutura lógica que interliga tais teoremas. Em certo sentido, em cálculo usam-se os teoremas para fazer contas, e na análise usa-se a lógica para fazer teoremas.

Com o conhecimento adquirido na formação escolar, tem-se ainda apenas uma idéia intuitiva do que são os números reais. Às vezes não se tem a familiaridade necessária com esse conceito para poder responder com segurança questões como:

  • "Por que não se extrai raiz quadrada de números negativos, como ?" e
  • "Por que não se pode dividir por zero, e escrever ?"

Mesmo que a verdade fosse dita, alguns alunos não ficariam satisfeitos com a explicação. Mesmo que a resposta possa não ser útil para muitas pessoas, para os futuros matemáticos, e professores de matemática, é preciso oferecer alguma explicação convincente. No caso:

  • Pode-se, sim, extrair raiz quadrada de números negativos, mas o resultado será um número complexo.
  • Mesmo que alguém quisesse definir a segunda expressão como sendo algum número real (e admita, até você já quis fazer isso, não?), imediatamente seriam deduzidos fatos contraditórios.

Um exemplo (talvez um pouco informal) de uma tentativa frustrada de definir essa última expressão, mas que oferece alguma intuição a respeito é:

  • Se fosse igual a , ou seja, então ao multiplicar ambos os membros pelo denominador (às vezes chamado de passar o zero para a direita) seria concluído que . Nada é mais absurdo que isso!

Sendo assim, já que qualquer tentativa de escolher um valor real para atribuir à expressão leva a uma contradição como a anterior, é muito mais útil deixar tal expressão indefinida, do que estudar uma teoria cheia de contradições!

Neste livro, a abordagem escolhida para a construção da teoria é aquela em que se procura definir os números a partir de alguns axiomas (uma teoria axiomática). Em termos leigos, os axiomas correspondem às propriedades que se acredita que os números reais deveriam ter. Com base nessas propriedades, demonstram-se muitas outras (leia-se "todas as outras"), de forma que tudo aquilo que se pode fazer com os números reais esteja bem justificado.

Faça uma boa leitura e, se encontrar algum erro ao longo do texto, seja audaz: Faça você mesmo a correção! Melhorias no texto sempre serão bem vindas, e em caso de dúvida pode-se ainda consultar os autores.

Lógica

Afirmação[editar | editar código-fonte]

  • todos os quadrados são retângulos
  • qualquer losango é um quadrilátero.
  • alguns triângulos são equilátero.


Implicação[editar | editar código-fonte]

É uma sentença resultante de uma sentença que pode ser uma afirmação ou uma negação.

  • Duas retas r e s são paralelas. Isso quer dizer que o coeficiente angular da reta r é igual ao coeficiente angular da reta s.

Conjunto

Noções de Teoria dos Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Definição de Conjunto

Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.
Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: .
Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: .
Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.
  • Exemplo: Seja um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que .
Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:
  • significa “existe”;
  • significa “existe um único”;
  • significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
  • significa “se ... então ...” ou “implica que”;
  • significa “se, e somente se,”.

Exemplos de Conjuntos importantes[editar | editar código-fonte]

Conjunto dos naturais[editar | editar código-fonte]

O Conjunto

Conjunto dos inteiros[editar | editar código-fonte]

O Conjunto

Conjunto dos racionais[editar | editar código-fonte]

O Conjunto

Conjunto dos iracionais[editar | editar código-fonte]

Conjunto dos reais[editar | editar código-fonte]

O Conjunto dos reais são todos os números racionais e os irracionais.

  • (visto como subconjunto dos complexos)

Conjunto dos complexos[editar | editar código-fonte]

O Conjunto

Conjunto definido através de propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Exemplo:
    • O exemplo anterior deve ser escrito assim:

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo . Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.

  • exemplo: seja natural positivo e seja inteiro negativo . Vamos tomar elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B . Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
    • A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: . Vamos tomar . Logo , pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

Conjuntos Ordenados[editar | editar código-fonte]

Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

Números Naturais[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números naturais (Alguns autores tomam — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos ). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais é que têm uma relação de equivalência satisfazendo as relações de equivalência seguintes:

  1. Reflexividade
    Qualquer que seja
  2. Simétrico
    Qualquer que seja ;
  3. Transitividade
    Qualquer que seja se e , então ;

Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.

  • A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
  • A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
  • A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.

Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:

  1. Tricotomia
    Qualquer que seja, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:
    A notação significa que ou , e a notação significa que ou .
  2. Transitividade de < and >.
    Qualquer que seja , se e , então .
    Qualquer que seja , se e , então .

Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto e as operações de adição satisfazem o seguinte axioma:

  1. Fechamento
    Qualquer que seja .
  2. Comutatividade
    Qualquer que seja .
  3. Associatividade
    Qualquer que seja .
    Significa que podemos escrever sem ambiguidade
  4. Compatibilidade com ordem
    Qualquer que seja

Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

  1. Fechamento
    Qualquer que seja .
  2. Identidade
    Qualquer que seja .
  3. Commutatividade
    Qualquer que seja .
  4. Associatividade
    Qualquer que seja ,
    significa que podemos escrever ambiguosamente .
  5. Distributividade
    Qualquer que seja .
  6. Compatibilidade com ordernados
    Qualquer que seja .

Leia mais[editar | editar código-fonte]

Subconjunto

Definição de Subconjunto[editar | editar código-fonte]

Quando um conjunto é parte de uma certa coleção dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos .

  • Ex: . Como , isto é, todo elemento que pertence a , pertence a , por isso dizemos que é subconjunto de .
  • Mais formalmente, se , também

exemplo[editar | editar código-fonte]

Consideremos os seguintes conjuntos

  • Provaremos que De fato, seja então , sendo que pode ser escrito na forma , onde claramente , logo
  • Agora vejamos que provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que então existe tal que , porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional o qual não pertence a , fato que nos fornece uma contradição. Portanto

Parte de um conjunto[editar | editar código-fonte]

significa que todos os elementos de estão em .

lê-se está contido em .
Podemos definir como , considerando que não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

Subconjunto próprio[editar | editar código-fonte]

é subconjunto próprio de e .

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

  • O , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Quando que um conjunto não é um subconjunto[editar | editar código-fonte]

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, , basta exibir um e provar que .

  • Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que . Segue que , mas . Logo .

Inclusão

Propriedades da relação de inclusão[editar | editar código-fonte]

reflexidade[editar | editar código-fonte]

  • Ao tomarmos um elemento do primeiro conjunto, este elemento também pertence ao segundo conjunto. Assim todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

antisimetria[editar | editar código-fonte]

  • prova: tome

transitividade[editar | editar código-fonte]

  • prova: dado

Relação de dois conjuntos[editar | editar código-fonte]

Igualdade[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é igual ao outro se um conjunto é subconjunto do outro. Não podendo ser subconjunto próprio. .

Disjuntos[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

  • são disjuntos.

Exemplos:

  • . Logo A não é disjunto dele próprio.
  • . Logo A,B não são disjuntos.
  • . Logo A,B são disjuntos.

Operação

Operações entre conjuntos[editar | editar código-fonte]

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

  • Ex:
    • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União[editar | editar código-fonte]

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

    • Veremos mais para frente que ao qual são três conjuntos disjuntos
  • Temos que .

Propriedades Básicas:

  • NULO:
    • Basta verificarmos que e depois que . Assim
  • IDENTIDADE:
  • COMUTATIVIDADE:
  • SUBCONJUNTO:
    • .
  • ASSOCIATIVA:

Intersecção[editar | editar código-fonte]

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

Exemplos:

  • NULO:
  • IDENTIDADE:
  • COMUTATIVIDADE:
  • SUBCONJUNTO:
    • .
  • ASSOCIATIVA:

Diferença[editar | editar código-fonte]

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

  • .
  • significam a mesma coisa.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

    • .
    • .

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

    • .
      • . Logo .
      • .
    • .
      • .

Exemplo 3[editar | editar código-fonte]

  • .

Exemplo 4[editar | editar código-fonte]

  • .
    • Suponha que . Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

teorema[editar | editar código-fonte]

  • .
    • .
    • .
  • .
    • .
    • .
      • .
      • .
  • .
    • .
    • . Analogamente .

teorema[editar | editar código-fonte]

    • . Como

Diferença Simétrica[editar | editar código-fonte]

  • Definição 1:
  • Definição 2:

teorema[editar | editar código-fonte]

Teorema: Mostrar que 

Prova:

Distributividade do conjuntos[editar | editar código-fonte]

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

    • . Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que .
    • , que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, , é suficiente para dizermos que

Complementar

Complementar de um conjunto[editar | editar código-fonte]

  • Seja . (O complementar de um subconjunto sobre um conjunto é um modo diferente de ver a diferença entre um conjunto e seu subconjunto.)
    • Dado . Temos que só uma é verdadeira .
    • Quando é claro quem é o conjunto K, podemos omiti-lo, assim o complementar de A em relação a K fica somente
      • Considere Dado . Analogamente seja, .

Propriedades

Propriedades de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Sejam .

  • .
  • .
  • .
    • Dado . 1 Suponha que que opõe-se da nossa hipótese.

teorema[editar | editar código-fonte]

Relações de Morgan[editar | editar código-fonte]

      • (1)
    • (2)
    • Por (1) e (2), temos que

exemplos[editar | editar código-fonte]

    • Considere K, um conjunto qualquer e . Suponha que . Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo . Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto
    • Por contradição . O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
    • Suponha um conjunto A qualquer e que , isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
    • O conjunto das partes do conjunto , é . Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
    • Tomemos as parte do conjunto , que é . Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim:

condições entre conjuntos[editar | editar código-fonte]

Considere . Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

      • . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
      • Devemos aqui ter bem claro que significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
      • . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
      • . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.
      • . Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.
      • . Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.

Coleção de conjuntos

Coleção de Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.:
Ex.: . Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que .

Coleção das partes de um conjunto[editar | editar código-fonte]

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja , logo .

teorema de Cantor[editar | editar código-fonte]

Se A é um conjunto, não existe uma função que seja sobrejetiva.

  • Prova:

União de membros[editar | editar código-fonte]

Seja C uma família cujos membros são . Assim onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que .
A união dos membros da família C é escrita assim: .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas .
  • Definiremos onde x são os elementos dos membros de C.


Intersecção de membros[editar | editar código-fonte]

Seja C uma família cujos membros são . Assim onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que .
A intersecção dos membros da família C é escrita assim: .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas .
  • Definiremos onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Uma família de conjuntos , denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:


  • Unidade de uma família de subconjuntos :
    • é a unidade de

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Considere a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde é um anel de conjuntos.

  • , onde a é um elemento qualquer.
  • Assim
    • Mas .
    • Também
  • A unidade de é pois:

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Considere a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde é um anel de conjuntos.

  • , onde a,b são elementos qualquer.
  • Assim :
  • A unidade de é pois:

Produto Cartesiano

Conjunto de Pares ordenados[editar | editar código-fonte]

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., .

Repare que salvo se a = b e que . De maneira análoga definimos triplas ordenadas ou n-uplas ordenadas .

Plano Cartesiano[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado ) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que . Em símbolos: .

Ex.: e, por simplicidade, o denotamos .
Ex.: De maneira análoga definimos
Ex.:
Ex: Sejam
Exemplos importantes de Planos Cartesianos: .

Diagonal de um Plano Cartesiano[editar | editar código-fonte]

A diagonal mais simples é do quadrado . Da mesma forma temos a diagonal do quadrado

  • Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo . Supondo que o
Ex.:

Propriedades de Plano Cartesiano[editar | editar código-fonte]

  • Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim

Equações

Equação[editar | editar código-fonte]

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui uma igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras.

  • a idéia de uma equação é determinar o valor de cada incógnita.

Teo[editar | editar código-fonte]

exemplo[editar | editar código-fonte]

Funções

Função[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada associa um único elemento (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo possui uma imagem . Por outro lado, pode existir que não seja imagem de nenhum . Note também que, dado , não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer com .

Conjuntos Básicos de uma função[editar | editar código-fonte]

Domínio de uma Função[editar | editar código-fonte]

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam , onde f e g tenham regras iguais.

  • é uma função se é uma função se
  • Exemplo: .
    • . Mas certamente não existem porque .
    • Mas podemos definir uma função

Imagem e Contra-domínio de uma Função[editar | editar código-fonte]

Seja .

Definamos . B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,
  • . y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma Função[editar | editar código-fonte]

Dado , uma função que relaciona cada com um .

  • A imagem inversa de um vai existir se existir um
    • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
    • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.
Exemplo
  • Tome . O conjunto Imagem de f é o conjunto
    • Como
    • Assim, o conjunto
  • O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto .
  • Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo

Gráfico "Algébrico" de uma função[editar | editar código-fonte]

Seja . O gráfico da função f é o conjunto .

Exemplos Básicos de Função[editar | editar código-fonte]

Função Identidade[editar | editar código-fonte]

Uma função é chamada função identidade se Implicações:

  • .
  • a imagem inversa de sempre será .

Função Constante[editar | editar código-fonte]

Uma função é chamada função constante se Implicações:

  • é a única imagem da função, ou seja, .

Função Característica[editar | editar código-fonte]

Dado , definimos a função característica ou indicadora de A por (também denotada por ) por .

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que , pois I associa a cada subconjunto a função .

2Funções

Relação entre duas funções[editar | editar código-fonte]

Igualdade de funções[editar | editar código-fonte]

Sejam duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

  • são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se .
  • "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
  • "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.
Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Restrição de uma função[editar | editar código-fonte]

Sejam . Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se . Neste caso escrevemos .

Função Composta[editar | editar código-fonte]

Sejam tais que .

Definimos a função composta  que a cada  associa .
  • BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado temos que temos . Neste caso podemos aplicar g e encontrar .
    • Na prática é assim: .
  • não atrapalha a composição. Suponha Observamos que . Portanto a função composição é possível.
  • ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se , então temos que .
  • Para definimos por .

Função Inversa[editar | editar código-fonte]

Seja .

Definimos .
  • . Assim .
    • Exemplo .
  • Sejam tais que . Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos .
  • Não devemos confundir da definição acima com . Sempre que aplicamos em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica num elemento y, pode-se entender como , caso a inversa exista, ou , a imagem inversa de um conjunto unitário.
  • Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa ficando subentendido que o domínio de é f(A) (e não B). Desta forma .

Propriedades-Funções

Função Sobrejetiva[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita sobrejetiva se , ou seja, se .

Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
Exemplo. Seja . A função f, definida por , não é sobrejetiva de A em mas é sobrejetiva de A em .
  • Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, é sobrejetiva.

Função Injetiva[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita injetiva se ocorre uma destas:

  • para quaisquer tais que temos ;
  • são tais que , então ;
  • .
  • Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

Função Bijetiva[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.

Exemplo: Sejam . Consideremos as funções definidas por .
Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Teorema de Cantor[editar | editar código-fonte]

Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função  que seja sobrejetiva.
Prova 1
  • para que f não seja sobrejetiva, . Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
  • Pela f ser uma função, .
  • Tomemos , assim . As outras funções que existir deverá ter que
    • Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

2[editar | editar código-fonte]

Prova 2
  • Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
  • Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
  • É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

Propriedades interessantes sobre funções[editar | editar código-fonte]

AplicaçãodeFunções

Projeção[editar | editar código-fonte]

A projeção de um plano cartesiano é o conjunto de pontos retirando uma das coordenadas.

Ex.: Seja A x B um plano cartesiano tal que . Aqui podemos fazer duas projeções:
Ex.: Seja A x B X C um plano cartesiano tal que . Aqui podemos fazer seis projeções:
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Área de um retângulo com lados paralelos aos eixos[editar | editar código-fonte]

Consideremos um Retângulo de vértices . Assim sua área é dada pela função

Essa função não é injetiva, pois dado sendo que
Essa função é sobrejetiva pois dado um

Área de um triângulo com base paralela ao eixo x[editar | editar código-fonte]

Consideremos um Triângulo de vértices . Assim sua área é dada pela função

Essa função não é injetiva, pois dado sendo que
Essa função é sobrejetiva pois dado um

Área de um triângulo com uma incógnita[editar | editar código-fonte]

Consideremos um Triângulo de vértices . Assim sua área é dada pela função

Essa função é injetiva, pois dado .
Essa função é sobrejetiva pois dado um .

Conjunto de Funções

Conjunto de Funções[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B, denotamos por F(A;B) o conjunto de todas as funções .

Família de Funções[editar | editar código-fonte]

Sejam I e C conjuntos não vazios. Uma família de elementos de C é uma função para a qual denotamos por (em vez de ) a imagem de i por A. Dizemos que a família está indexada pelo índice , que I é o conjunto de índices e que é o i-ésimo elemento (ou membro) da família. Quando I é o conjunto dos números naturais substituímos a palavra família por sequência.

Os gramáticos que nos perdoem, mas usamos o sufixo “ésimo” em i-ésimo mesmo quando i não é um número cardinal.
Observe que na notação não aparece o contradomínio C da função. Por isto, ao introduzirmos uma família, é obrigatório dizer que tipo de objetos constituem o seu contradomínio. Por exemplo, uma família de pessoas é uma função cujo contradomínio é um conjunto de pessoas. Da mesma forma, uma família de macacos é uma função cujo contradomínio é um conjunto de macacos (agora são os biólogos que hão de nos perdoar).

Como dito anteriormente, o uso mais frequente do termo família é quando o contradomínio é uma coleção de conjuntos. Trata-se, então, de uma família de conjuntos. Neste caso, existem notações especiais para a união e a interseção da coleção. Se é uma família de conjuntos, então a união e a interseção da família são definidas, respectivamente, por e

Exemplo. Sejam . Então: .
Se I é o conjunto dos números inteiros de m até n, então também é usual escrever .
Se I é o conjunto de todos os inteiros positivos, então as notações usuais são .
O símbolo (infinito) que aparece nas notações anteriores não é um número. Ele é apenas um símbolo tipográfico cujo papel é dizer que tanto a união quanto a interseção da família são tomadas para todo . Este mesmo símbolo aparecerá em várias notações ao longo do texto sendo que em cada uma delas seu papel será diferente.

Porém, sempre devemos ter em mente que infinito não é número!

Leia mais[editar | editar código-fonte]

Naturais

Axioma da Indução[editar | editar código-fonte]

Ao querermos provar alguma sentença matemática P(n), se é verdadeira, tendo seus elementos nos naturais, usamos a indução, onde:

  • Provamos que a propriedade é válida para n = 1.
  • Supomos válida para n = k e mostramos ser válida para n = k+1, usando a equação advinda da propriedade ser válida em n = k.

Um número Natural[editar | editar código-fonte]

Definição de um número natural:

Adição dos Naturais[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Somar dois números n e p:

  • .

sucessor de um número natural[editar | editar código-fonte]

Um número natural n tem o seu sucessor como sendo s(n) = n + 1.

propriedade identidade de sucessão[editar | editar código-fonte]

Sejam a,b naturais, assim se a=b então s(a) = s(b)

  • Vamos fixar a natural e provar por indução sobre b. assim:
    • mostrar que é válido para b = 1: a=1, então s(a) = 1+1 e s(1) = 1+1, logo s(a) = s(1)
    • supor que seja válido para b = k, ou seja, a=k implica que s(a) = s(k), ou seja, a+1 = k+1.
    • Provar que seja válido para b = k+1:
        • onde as igualdades 1 e 3 ocorrem por definição de sucessão e a igualdade 2 ocorre por hipótese de indução.

o sucessor do k-ésimo sucessor[editar | editar código-fonte]

Vamos definir , para dizer que tínhamos o kº sucessor de n, logo em seguida tomamos o sucessor dele, e assim obtivemos o (K+1)º sucessor de n.

p-sucessor[editar | editar código-fonte]

  • p-sucessor de n será definido como , onde .

Exemplos:

  • Provaremos por indução que essa propriedade é válida.
    • Quando p=1, temos que .
    • Suponhamos ser válida para p = k, ou seja, .
    • provaremos que é válida para p=k+1, ou seja, que . Assim:
      • Pela hipótese temos que .
      • Pela identidade da sucessão é implicado que
      • Pela definição de sucessão ocorre que .
      • Pela definição de sucessão ocorre que .
      • Faltando apenas mostrar o porque que para todo n,k naturais, é válido que .

O sucessor de uma adição n + p[editar | editar código-fonte]

Na última prova é bem aceitável aceitar como verdadeira a igualdade . Ela é dada como válida pois é dada por definição da adição, mas é interessante prová-la por indução.

Assim vamos fazer indução sobre p em .

  • quando p = 1, temos que .
  • Supomos verdadeira para p = k, ou seja, .
  • Queremos provar que é válido para p = k+1, isto é,
    • Por hipótese, .
    • Pela identidade da sucessão temos que .
    • Mas .

ou

Definição do "Axioma da adição": .

Teorema: Associatividade da adição[editar | editar código-fonte]

.

  • Fixemos m,n naturais. Provaremos que é válido para todo p natural. Fazendo indução sobre p, temos:
    • para p = 1, provamos no teorema acima, isto é, que m + (n+1) = (m+n)+1.
    • supomos válido para p = k, isto é, .
    • Provaremos que é válido para p = k+1, ou seja, .
      • Assim, .
        • onde as igualdades 1, 2 e 4 ocorrem pelo axioma da adição e a 3 pela hipótese.

Axioma: Comuto de m e 1 na adição[editar | editar código-fonte]

Provar por indução que