Análise real/Integral de Riemann

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Integral numericky obd.svg

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

  • Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

Propriedades de uma área no [editar | editar código-fonte]

  • Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
  • Por ser 0<y<f(x), temos que .

Partição do domínio [a,b][editar | editar código-fonte]

Riemann integral irregular.gif
  • Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
  • (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
  • Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos . Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em
  • Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
  • Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superior[editar | editar código-fonte]

Integral approximations.svg
  • (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a
Sejam
. Tomando
  • (A2) Sejam ; menor e maior "altura" do retângulo de base
Podemos calcular a área da partição da seguinte forma:
Por falta conhecido como soma inferior
Onde
Por sobra conhecido como soma superior
Onde
Como . Logo
  • (A3) Seja

  • (A4) o fato que é análogo a (A3)
  • (A2),(A3)e(A4) .

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até será para nós quando . Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartição[editar | editar código-fonte]

Lema 1 (refinando uma partição)[editar | editar código-fonte]

Sejam limitada e as partições

.
Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sejam

    • Onde
  • É verdade que . Então
  • De forma análoga se demonstra que

Teorema 1[editar | editar código-fonte]

Sejam limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

Corolário[editar | editar código-fonte]

Sejam limitada, e as partições P e Q, onde .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos . Como .

Integral inferior e integral superior[editar | editar código-fonte]

Seja todas as partições de [a,b]

  • é a integral inferior de f
  • é a integral superior de f

Pelo Lema 1 .

Logo .

Lema 2 (soma conservada no refinamento)[editar | editar código-fonte]

Seja e são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim , então são únicos.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • Em particular , ou seja, tomemos uma partição que contém {c}
Seja ; onde .
Pelo Lema 1 .
  • olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}
sup A = sup A', pois
inf B = inf B', pois
  • .

Lema 3[editar | editar código-fonte]

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

  • (a) Se , então
  • (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • Dado .
Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,
  • Dado
portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B
  • o sup se mostra analogamente

Corolário[editar | editar código-fonte]

Sejam limitadas. Então

  • (a)
  • (b)

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Se , então

pelo teorema e pelo lema 3 temos
(a)
(b)

Teorema 2[editar | editar código-fonte]

Sejam limitada, então

  • (a)
  • (b)

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • (a)Sejam
      • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
  • (b)Sejam
      • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos

Lema 4[editar | editar código-fonte]

Seja e ; Dado temos:

  • (a)Se c> 0, então
    • Assim:
  • (b)Se c< 0, então
    • Assim:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • (a)
  • (b)

Teorema 3[editar | editar código-fonte]

Sejam

  • (a)
  • (b)
    • c>0
    • c<0
  • (c) , então
    • \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
    • \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Funções integráveis[editar | editar código-fonte]

Seja

Lema 5[editar | editar código-fonte]

Demonstrações[editar | editar código-fonte]