Com origem histórica na antiguidade, o cálculo integral foi particularmente enriquecido a partir do momento em que Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Willelm Leibniz (1646-1716) lhe descobriram propriedades inversas da derivação. Até então foi sempre um assunto intimamente ligado ao cálculo de áreas e de volumes, que a partir de meados do século XVI sofre um desenvolvimento metodológico notável promovido principalmente, por Johann Kepler (1571-1630), Galileu Galilei (1584-1642), Buonaventura Cavalieri (1598-1647) e Evangelista Torricelli (1608-1647). Da sua importância bastará recordar o papel das áreas na descrição das leis físicas dos movimentos dos planetas, propostas por Kepler na sua Investigationes Astronomicae , e a segunda obra do mesmo autor, Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, exclusivamente dedicada ao cálculo de volumes de sólidos.
Inspirando-se essencialmente no princípio da exaustão , largamente utilizado pelos matemáticos da Grécia antiga, desde Eudoxo (408-355 a.C.) até Arquimedes (287-213 a.C.), a base desse desenvolvimento encontra-se na introdução dos chamados indivisíveis ou infinitésimos , particularmente especificados de forma mais rigorosa por matemáticos do século XIX, entre os quais, Georg Bernhard Riemann (1826-1866). (Para uma descrição histórica detalhada sobre este tema veja-se[ 1] [ 2] [ 3]
A integral de Riemann pode ter várias formulações. A versão que iremos apresentar é a devida a Jean-Gaston Darboux (1842-1917), publicada em 1875 nos Annales de l'École Normale Supérieur de Paris. Esta escolha apresenta algumas vantagens, pois sendo então a integral de Riemann uma consequência das integrais superior e inferior , as propriedades destes refletem-se necessariamente nas daquele. Esta ideia é explorada sempre que possível, com proveito em muitos casos.
A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.
Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos. Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
Por ser 0<y<f(x), temos que
f
(
x
)
>
0
;
∀
x
∈
R
{\displaystyle f(x)>0;\forall x\in \mathbb {R} }
Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
(f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos
P
1
=
{
t
0
;
t
1
;
t
2
}
com
t
0
=
a
e
t
2
=
b
{\displaystyle P_{1}=\{t_{0};t_{1};t_{2}\}{\mbox{ com }}t_{0}=a{\mbox{ e }}t_{2}=b}
[
t
0
,
t
1
]
e
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle [t_{0},t_{1}]{\mbox{ e }}[t_{1},t_{2}]}
Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas) (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a Sejam
m
=
inf
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
e
M
=
sup
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
{\displaystyle m={\mbox{inf}}\{f(x);x\in [a,b]\}{\mbox{ e }}M={\mbox{sup}}\{f(x);x\in [a,b]\}}
m
(
b
−
a
)
≤
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle m(b-a)\leq M(b-a)}
P
0
=
{
a
,
b
}
temos
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle P_{0}=\{a,b\}{\mbox{ temos }}{\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
(A2) Sejam
m
i
e
M
i
{\displaystyle m_{i}\;e\;M_{i}}
t
i
−
t
i
−
1
{\displaystyle t_{i}-t_{i-1}}
Podemos calcular a área da partição
P
1
{\displaystyle P_{1}}
Por falta
A
(
f
a
l
t
a
)
=
m
1
(
t
1
−
t
0
)
+
m
2
(
t
2
−
t
1
)
=
S
_
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle A(falta)=m_{1}(t_{1}-t_{0})+m_{2}(t_{2}-t_{1})={\underline {S}}(f;P_{1})}
Onde
m
1
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
0
,
t
1
]
}
e
m
2
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
1
,
t
2
]
}
{\displaystyle m_{1}=inf\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}m_{2}=inf\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}
Por sobra
A
(
s
o
b
r
a
)
=
M
1
(
t
1
−
t
0
)
+
M
2
(
t
2
−
t
1
)
=
S
¯
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle A(sobra)=M_{1}(t_{1}-t_{0})+M_{2}(t_{2}-t_{1})={\overline {S}}(f;P_{1})}
Onde
M
1
=
s
u
p
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
0
,
t
1
]
}
e
M
2
=
s
u
p
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
1
,
t
2
]
}
{\displaystyle M_{1}=sup\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}M_{2}=sup\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}
Como
m
1
≤
M
1
e
m
2
≤
M
2
{\displaystyle m_{1}\leq M_{1}{\mbox{ e }}m_{2}\leq M_{2}}
S
_
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})}
(A3) Seja
m
(
b
−
a
)
=
m
(
t
2
−
t
0
)
. Tomando
t
1
∈
[
t
0
,
t
2
]
, temos
m
(
t
2
−
t
1
+
t
1
−
t
0
)
=
{\displaystyle m(b-a)=m(t_{2}-t_{0}){\mbox{. Tomando }}t_{1}\in [t_{0},t_{2}]{\mbox{, temos }}m(t_{2}-t_{1}+t_{1}-t_{0})=}
=
m
(
t
2
−
t
1
)
+
m
(
t
1
−
t
0
)
≤
m
2
(
t
2
−
t
1
)
+
m
1
(
t
1
−
t
0
)
⇒
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
_
(
f
;
P
1
)
, pois
m
≤
m
1
e
m
≤
m
2
{\displaystyle =m(t_{2}-t_{1})+m(t_{1}-t_{0})\leq m_{2}(t_{2}-t_{1})+m_{1}(t_{1}-t_{0})\Rightarrow {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1}){\mbox{, pois }}m\leq m_{1}{\mbox{ e }}m\leq m_{2}}
(A4) o fato que
S
¯
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
(A2),(A3)e(A4)
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
_
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até
|
S
¯
(
f
;
P
∞
)
−
S
_
(
f
;
P
∞
)
|
<
ϵ
,
o
n
d
e
P
∞
{\displaystyle |{\overline {S}}(f;P_{\infty })-{\underline {S}}(f;P_{\infty })|<\epsilon ,onde\;P_{\infty }}
lim
P
i
→
P
∞
|
t
i
−
t
i
−
1
|
=
0
{\displaystyle \lim _{P_{i}\to P_{\infty }}|t_{i}-t_{i-1}|=0}
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
P
k
−
1
, Q cujo
Q
=
P
k
−
1
∪
{
c
}
{\displaystyle P_{k-1}{\mbox{, Q cujo }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}}
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
k
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})}
Sejam
P
k
−
1
=
{
t
0
,
t
1
,
.
.
.
,
t
l
−
1
,
t
l
,
t
l
+
1
,
.
.
.
t
k
−
1
,
t
k
}
e
Q
=
P
k
−
1
∪
{
c
}
onde
c
∈
[
t
l
−
1
,
t
l
]
{\displaystyle P_{k-1}=\{t_{0},t_{1},...,t_{l-1},t_{l},t_{l+1},...t_{k-1},t_{k}\}{\mbox{ e }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}{\mbox{ onde }}c\in [t_{l-1},t_{l}]}
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
=
∑
i
=
1
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
l
−
1
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
+
m
l
(
t
l
−
t
l
−
1
)
+
∑
i
=
l
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})=\sum _{i=1}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{l}(t_{l}-t_{l-1})+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})}
S
_
(
f
;
Q
)
=
∑
i
=
1
l
−
1
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
+
m
′
(
c
−
t
l
−
1
)
+
m
″
(
t
l
−
c
)
+
∑
i
=
l
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;Q)=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m'(c-t_{l-1})+m''(t_{l}-c)+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})}
Onde
m
′
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
l
−
1
,
c
]
}
e
m
″
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
c
,
t
i
]
}
{\displaystyle m'=inf\{f(x);x\in [t_{l-1},c]\}{\mbox{ e }}m''=inf\{f(x);x\in [c,t_{i}]\}}
É verdade que
m
l
(
t
l
−
t
l
−
1
)
=
m
l
(
t
l
−
c
+
c
−
t
l
−
1
)
=
m
l
(
t
l
−
c
)
+
m
l
(
c
−
t
l
−
1
)
como
m
l
≤
m
′
e
m
l
≤
m
″
{\displaystyle m_{l}(t_{l}-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c+c-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c)+m_{l}(c-t_{l-1}){\mbox{ como }}m_{l}\leq m'{\mbox{ e }}m_{l}\leq m''}
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)}
De forma análoga se demonstra que
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
k
−
1
)
{\displaystyle {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})}
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\overline {S}}(f;Q)}
Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
e
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q){\mbox{ e }}{\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
⇒
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\Rightarrow {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
limitada e
P
∗
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\mbox{ limitada e }}P^{*}}
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
sup
S
_
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})}
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
inf
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})}
Pelo Lema 1
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
sup
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
inf
S
¯
(
f
;
P
∗
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})\leq {\overline {S}}(f;P^{*})}
Logo
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {S}}(f;P^{*})}
Seja
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
Q
∗
{\displaystyle Q^{*}}
Q
∗
=
P
∗
∪
{
c
}
{\displaystyle Q^{*}=P^{*}\cup \{c\}}
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
,
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx,{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
Em particular
Q
⊂
Q
∗
{\displaystyle Q\subset Q^{*}}
Seja
P
=
Q
∖
c
{\displaystyle P=Q\setminus {c}}
P
⊂
P
∗
{\displaystyle P\subset P^{*}}
Pelo Lema 1
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}
A
⊂
A
′
⇒
s
e
a
∈
A
e
a
′
∈
A
′
,
l
o
g
o
a
≤
a
′
{\displaystyle A\subset A'\Rightarrow se\;a\in A\;e\;a'\in A',logo\;a\leq a'}
sup A = sup A', pois
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
B
⊂
B
′
⇒
s
e
b
∈
B
e
b
′
∈
B
′
,
l
o
g
o
b
≤
b
′
{\displaystyle B\subset B'\Rightarrow se\;b\in B\;e\;b'\in B',logo\;b\leq b'}
inf B = inf B', pois
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
sup
S
_
(
f
;
P
)
=
sup
S
_
(
f
;
Q
)
≤
inf
S
¯
(
f
;
Q
)
=
inf
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P)={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;Q)\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;Q)={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P)}
Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)
(a) Se
A
=
{
a
∈
A
}
,
B
=
{
b
∈
B
}
{\displaystyle A=\{a\in A\},B=\{b\in B\}}
A
+
B
=
{
a
+
b
;
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A+B=\{a+b;a\in A,b\in B\}}
(b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B Dado
a
∈
A
,
b
∈
B
,
t
e
m
o
s
a
≥
i
n
f
A
,
b
≥
i
n
f
B
⇒
a
+
b
≥
i
n
f
A
+
i
n
f
B
{\displaystyle a\in A,b\in B,temos\;a\geq infA,b\geq infB\Rightarrow a+b\geq infA+infB}
Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B, Dado
ϵ
>
0
,
∃
a
′
∈
A
,
b
′
∈
B
;
a
′
<
i
n
f
A
+
ϵ
2
,
b
′
<
i
n
f
B
+
ϵ
2
⇒
a
′
+
b
′
<
i
n
f
A
+
i
n
f
B
+
ϵ
{\displaystyle \epsilon >0,\exists a'\in A,b'\in B;a'<infA+{\epsilon \over 2},b'<infB+{\epsilon \over 2}\Rightarrow a'+b'<infA+infB+\epsilon }
portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B o sup se mostra analogamente Sejam
f
,
g
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
(a)
s
u
p
(
f
+
g
)
≤
s
u
p
(
f
)
+
s
u
p
(
g
)
{\displaystyle sup(f+g)\leq sup(f)+sup(g)}
(b)
i
n
f
(
f
+
g
)
≥
i
n
f
(
f
)
+
i
n
f
(
g
)
{\displaystyle inf(f+g)\geq inf(f)+inf(g)}
Se
A
=
f
(
[
a
,
b
]
)
,
B
=
g
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle A=f([a,b]),\;B=g([a,b])}
C
=
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
⊂
A
+
B
{\displaystyle C=\{f(x)+g(x);x\in [a,b]\}\subset A+B}
pelo teorema
i
n
f
(
A
+
B
)
≤
i
n
f
(
C
)
≤
s
u
p
(
C
)
≤
s
u
p
(
A
+
B
)
{\displaystyle inf(A+B)\leq inf(C)\leq sup(C)\leq sup(A+B)}
lema 3 temos
(a)
s
u
p
(
f
+
g
)
=
s
u
p
(
C
)
≤
s
u
p
(
A
+
B
)
=
s
u
p
(
A
)
+
s
u
p
(
B
)
=
s
u
p
(
f
)
+
s
u
p
(
g
)
{\displaystyle sup(f+g)=sup(C)\leq sup(A+B)=sup(A)+sup(B)=sup(f)+sup(g)}
(b)
i
n
f
(
f
+
g
)
=
i
n
f
(
C
)
≥
i
n
f
(
A
+
B
)
=
i
n
f
(
A
)
+
i
n
f
(
B
)
=
i
n
f
(
f
)
+
i
n
f
(
g
)
{\displaystyle inf(f+g)=inf(C)\geq inf(A+B)=inf(A)+inf(B)=inf(f)+inf(g)}
Sejam
c
∈
[
a
,
b
]
,
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle c\in [a,b],f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
(a)
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
_
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(b)
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
¯
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(a)Sejam
A
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
,
B
=
{
S
_
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
{\displaystyle A=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}
A
+
B
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
+
S
_
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
b
]
,
Q
)
;
∀
Q
⊂
Q
∗
}
{\displaystyle A+B=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P)+{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\underline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}
pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
s
u
p
(
A
+
B
)
=
s
u
p
(
A
)
+
s
u
p
(
B
)
=
∫
_
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=sup(A+B)=sup(A)+sup(B)={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(b)Sejam
A
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
,
B
=
{
S
¯
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
{\displaystyle A=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}
A
+
B
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
+
S
¯
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
b
]
,
Q
)
;
∀
Q
⊂
Q
∗
}
{\displaystyle A+B=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P)+{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\overline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}
pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
i
n
f
(
A
+
B
)
=
i
n
f
(
A
)
+
i
n
f
(
B
)
=
∫
¯
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=inf(A+B)=inf(A)+inf(B)={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
Seja
A
′
⊂
R
{\displaystyle A'\subset \mathbb {R} }
A
=
{
x
∈
A
′
;
M
≤
x
≤
N
}
;
A
∩
[
M
,
N
]
≠
∅
{\displaystyle A=\{x\in A';M\leq x\leq N\};A\cap [M,N]\neq \emptyset }
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
(a)Se c> 0, então
c
⋅
A
=
{
c
.
x
∈
A
′
;
c
⋅
M
≤
c
⋅
x
≤
c
⋅
N
}
{\displaystyle c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\leq c\cdot x\leq c\cdot N\}}
Assim:
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
e
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot sup(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot inf(A)}
(b)Se c< 0, então
c
⋅
A
=
{
c
.
x
∈
A
′
;
c
⋅
M
≥
c
⋅
x
≥
c
⋅
N
}
{\displaystyle c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\geq c\cdot x\geq c\cdot N\}}
Assim:
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
e
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot inf(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot sup(A)}
(a)
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
N
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)}
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
M
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle inf(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)}
(b)
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
M
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)}
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
N
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle inf(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)}
Sejam
f
,
g
:
[
a
,
b
]
↦
{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto }
(a)
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
_
a
b
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
≤
∫
¯
a
b
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
≤
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\underline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\overline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx}
(b)
c>0
∫
_
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
∫
¯
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
c<0
∫
_
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
∫
¯
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
(c)
S
e
f
(
x
)
<
g
(
x
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle Sef(x)<g(x)\forall ~x\in [a,b]}
\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx Das somas de Darboux destacamos as seguintes propriedades elementares .
Para quaisquer partições
P
,
Q
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle P,Q\in {\mathcal {P}}([a,b])}
s
f
(
P
)
≤
S
f
(
Q
)
{\displaystyle s_{f}(P)\leq S_{f}(Q)}
Se
P
,
Q
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle P,Q\in {\mathcal {P}}([a,b])}
são duas partições tais que
P
⊂
Q
{\displaystyle P\subset Q}
(caso em que
Q
{\displaystyle Q}
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
então
s
f
(
P
)
≤
s
f
(
Q
)
{\displaystyle s_{f}(P)\leq s_{f}(Q)}
e
S
f
(
Q
)
≤
S
f
(
P
)
{\displaystyle S_{f}(Q)\leq S_{f}(P)}
As duas propriedades simples acima permitem-nos obter com facilidade a seguinte primeira condição de integrabilidade (ver [ 4]
Uma função
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
Para cada
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
P
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle P\in {\mathcal {P}}([a,b])}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
<
ϵ
{\displaystyle S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon }
.Para provar este teorema comecemos por observar que pelas propriedades algébricas dos ínfimos e dos supremos se tem
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
=
inf
{
S
f
(
Q
1
)
:
Q
1
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
}
−
sup
{
s
f
(
Q
2
)
:
Q
2
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
}
=
inf
{
S
f
(
Q
1
)
:
Q
1
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
}
+
inf
{
−
s
f
(
Q
2
)
:
Q
2
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
}
=
inf
{
S
f
(
Q
1
)
−
s
f
(
Q
2
)
:
Q
1
,
Q
2
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x-{\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} &=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}-\sup\{s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}+\inf\{-s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2}):Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}.\\\end{aligned}}}
Deste modo, se
f
{\displaystyle f}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
Q
1
,
Q
2
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])}
0
≤
S
f
(
Q
1
)
−
s
f
(
Q
2
)
<
ϵ
{\displaystyle 0\leq S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2})<\epsilon }
P
=
Q
1
∪
Q
2
{\displaystyle P=Q_{1}\cup Q_{2}}
0
≤
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
<
ϵ
.
{\displaystyle 0\leq S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .}
Reciprocamente, se para cada
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
P
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle P\in {\mathcal {P}}([a,b])}
0
≤
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
<
ϵ
.
{\displaystyle 0\leq S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .}
0
≤
S
f
(
Q
1
)
−
s
f
(
Q
2
)
<
ϵ
{\displaystyle 0\leq S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2})<\epsilon }
Q
1
,
Q
2
∈
P
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])}
P
.
{\displaystyle P.}
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Supondo,por exemplo, que
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
−
f
{\displaystyle -f}
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
≤
f
/
x
)
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq f/x)\leq f(b)}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
P
=
{
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
}
{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
=
∑
1
=
1
n
(
f
(
x
i
)
−
f
(
x
i
−
1
]
)
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)=\sum _{1=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1]}))(x_{i}-x_{i-1})}
(
x
i
−
x
i
−
1
)
≤
|
P
|
{\displaystyle (x_{i}-x_{i-1})\leq |P|}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
≤
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
|
P
|
{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)\leq (f(b)-f(a))|P|}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
P
{\displaystyle P}
|
P
|
<
ϵ
/
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
{\displaystyle |P|<\epsilon /(f(b)-f(a))}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
<
ϵ
{\displaystyle S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon }
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Igualmente como aplicação da condição de Riemann podemos obter a integrabilidade das funções contínuas. Para o efeito, vamos usar uma propriedade importante das funções contínuas em intervalos compactos (isto é, fechados e limitados): a de serem uniformemente contínua s. Significa isto, que para qualquer
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
α
{\textstyle |f(x)-f(y)|<\alpha }
|
x
−
y
|
<
β
{\displaystyle |x-y|<\beta }
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Comecemos por notar que, pelo teorema de Weierstrass ,
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
i
=
1
,
.
.
.
,
n
,
{\displaystyle i=1,...,n,}
m
i
=
f
(
c
i
)
{\displaystyle m_{i}=f(c_{i})}
M
i
=
f
(
d
i
)
{\displaystyle M_{i}=f(d_{i})}
c
i
,
d
i
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle c_{i},d_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}
P
=
{
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
}
{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
=
∑
i
=
1
n
(
f
(
d
i
)
−
f
(
c
i
)
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)=\sum _{i=1}^{n}(f(d_{i})-f(c_{i}))(x_{i}-x_{i-1})}
Então na condição de Riemann tomemos
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
α
=
ϵ
/
(
b
−
a
)
{\displaystyle \alpha =\epsilon /(b-a)}
β
>
0
{\textstyle \beta >0}
P
{\displaystyle P}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
|
P
|
<
β
{\displaystyle |P|<\beta }
i
=
1
,
.
.
.
,
n
,
{\displaystyle i=1,...,n,}
0
≤
(
f
(
d
i
)
−
f
(
c
i
)
)
<
ϵ
/
(
b
−
a
)
{\textstyle 0\leq (f(d_{i})-f(c_{i}))<\epsilon /(b-a)}
S
f
(
P
)
−
s
f
(
P
)
<
ϵ
.
{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)<\epsilon .}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
A condição do teorema assume um aspeto meramente técnico. Ela não nos dá qualquer indício das qualidades que a função deva verificar para ser integrável à Riemann.Um quadro qualitativo desta propriedade, aparece pela mão de Henri Lebesgue, na sua tese doutoral ("Intégrale, Longueur, Aire" (Integral, Comprimento, Área) apresentada na Faculdade de Ciências de Paris em 1902, com base no conceito de conjunto de medida de nula.
Seja
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
↑ U. BOTTAZZINI, Il Calcolo Sublime: Storia dell’Analisi Matematica da Euler a Weierstrass , Boringhieri 1981.
↑ C. B. BOYER, The History of the Calculus and its Conceptual Development , Dover 1949.
↑ C. H. EDWARDS, The Historical Development of the Calculus , Springer-Verlag 1979.
↑ Predefinição:Smallcaps , Elon Lages. Curso de Análise (vol. 1) . Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, 1976. p. p,249, Teorema 4. ISBN 9-216-05138-8
![{\displaystyle [t_{0},t_{1}]{\mbox{ e }}[t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819bb6cfc1e812c411c6e416932af29fdb7ab71a)
![{\displaystyle m={\mbox{inf}}\{f(x);x\in [a,b]\}{\mbox{ e }}M={\mbox{sup}}\{f(x);x\in [a,b]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ad415d9bc62388c9ca762798bfa715ff6c7c83)
![{\displaystyle m_{1}=inf\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}m_{2}=inf\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115c3129f7fe0d56d811a8d50a65ea895e1da3d6)
![{\displaystyle M_{1}=sup\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}M_{2}=sup\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4b32ae5387d2d10c27f0c34be5cd99f24313a9)
![{\displaystyle m(b-a)=m(t_{2}-t_{0}){\mbox{. Tomando }}t_{1}\in [t_{0},t_{2}]{\mbox{, temos }}m(t_{2}-t_{1}+t_{1}-t_{0})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ef963a4bfd03cc1d5370fa06a2ec86c6c022d3)
![{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0d2d0b70573525d149ab82948308455d1853d0)
![{\displaystyle P_{k-1}=\{t_{0},t_{1},...,t_{l-1},t_{l},t_{l+1},...t_{k-1},t_{k}\}{\mbox{ e }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}{\mbox{ onde }}c\in [t_{l-1},t_{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acdb8a14e6920d29a4a6d9604f73c008a1239a5)
![{\displaystyle m'=inf\{f(x);x\in [t_{l-1},c]\}{\mbox{ e }}m''=inf\{f(x);x\in [c,t_{i}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33a272b4e5f37b7fd53c9fdac04c54653688542)
![{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\mbox{ limitada e }}P^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3c296f7450dca0effa043ba42cda944c76a58b)
![{\displaystyle c\in ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1a9da539d0c4ae16894e231068b7adbd568c66)
![{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29f67bab6714e1e0f8df2cc8b7f01c74648a666)
![{\displaystyle A=f([a,b]),\;B=g([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b698fb2d25eedc761bdfa583d16d5721ddbe9cf2)
![{\displaystyle C=\{f(x)+g(x);x\in [a,b]\}\subset A+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6118e72cd353ef28573f51ddd13b635ba7f49763)
![{\displaystyle c\in [a,b],f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775d518a95a5a52e858fe6045df89a6453ed51ce)
![{\displaystyle A=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc10694769f77e3adddb69a178f9da0c3346f43)
![{\displaystyle A+B=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P)+{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\underline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8567cb2828e6855c9c529dfafbf6d4c1540b979b)
![{\displaystyle A=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ddc2e002d9911e1b427504c1003ec5d2e1552e)
![{\displaystyle A+B=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P)+{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\overline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241a73233b7c78b2b55f582afecec46b769b01a4)
![{\displaystyle A=\{x\in A';M\leq x\leq N\};A\cap [M,N]\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d6b9ff99588040bc90534998f865c5a195105)
![{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dcb93dadeeaeeae2febb518e54f2e3f3e23a56)
![{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\underline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\overline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea07ffe15622de183e64929e3faecd1938aa47d)
![{\displaystyle Sef(x)<g(x)\forall ~x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed73585294c8f0e443b1d85de646ee2a6aac6d1)
![{\displaystyle P,Q\in {\mathcal {P}}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e232b0fc3281b533cd9977ee8418e9c5df491d4a)
![{\displaystyle P\in {\mathcal {P}}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa95c429a2f8c2f99b7639abc27d7ecc9bf46541)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} x-{\underline {\int }}_{a}^{\ b}f(x)\,\mathrm {d} &=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}-\sup\{s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1}):Q_{1}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}+\inf\{-s_{f}(Q_{2}):Q_{2}\in {\mathcal {P([a,b])}}\}\\&\\&=\inf \ \{S_{f}(Q_{1})-s_{f}(Q_{2}):Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])\}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcfe87e2f443e227ab521ce48315d93d0531b3d)
![{\displaystyle Q_{1},Q_{2}\in {\mathcal {P}}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103f1948dd05fe5f1c522ff51d8d949ce1c78eb4)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\textstyle S_{f}(P)-s_{f}(P)=\sum _{1=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1]}))(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8f522004f5b14f61588c72428d5527cca1f139)
![{\displaystyle c_{i},d_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822804b91e2dfbe9a80a12d210a9e7d044f51b0f)
![{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4932ba702175b9e0bc40b79efbc051c7ff44949)