Análise real/Completude

Completude

Os números racionais $\mathbb {Q}$ satisfazem todos os axiomas de Corpo Arquimediano, detalhadas no capítulo anterior. Por isso, se quisermos justificar a necessidade dos números reais então claramente precisamos de algo a mais. Este "algo mais" é a completude. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa completude, mas a maioria deles exige de nós conhecer um pouco sobre sequências, que nós não introduziremos até o próximo capítulo, portanto, de momento, só podemos dar uma definição.

Intuitivamente, é fácil ver que $\mathbb {Q}$ tem "buracos", por exemplo, podemos dividir $\mathbb {Q}$ em duas partes, a primeira formada pelos números que são negativos ou cujo quadrado é menor que 2, e a segunda formada pelos números positivos cujo quadrado é maior que 2. Como a raiz quadrada de dois não é um número racional, vemos que esta divisão de $\mathbb {Q}$ foi feita de forma que todos os números da primeira metade são menores que todos os números da segunda metade, mas não ficou nenhum número separando as duas.

Se lembrarmos dos axiomas da geometria, um deles diz que "um ponto divide uma reta em duas partes". Podemos pegar este axioma e virá-lo ao avesso, ou seja, "se uma reta está dividida em duas partes, então tem um ponto separando as duas". Note que $\mathbb {Q}$ pode ser dividido em duas partes sem que haja um "ponto" (um número racional) no meio.

Em $\mathbb {R}$, sempre que for feita uma divisão em duas partes, de modo que todos os números da primeira parte sejam menores que os números da segunda parte, então tem que existir um número real no meio, separando as duas partes; este número pertence ou à primeira parte, ou à segunda.

Cota Superior

Seja $A\subseteq \mathbb {R} .$ Dizemos $b\in \mathbb {R}$ é uma cota superior para $A$ se

$\forall s\in A:s\leq b$

Por exemplo, $3$ é uma cota superior para $[0,1],$ assim como $1,$ mas ${\frac {1}{2}}$ não é, porque $1\in [0,1]$ e $1>{\frac {1}{2}}.$ Um conjunto com uma cota superior $b$ é dito ser limitado superiormente por $b$.

Supremo e Ínfimo

Dizemos que $s$ é o extremo superior ou supremo de $A$ se $s$ é a menor das cotas superiores de $A,$ e $b$ é qualquer extremo superior para $A$ então $s\leq b.$ Mais formalmente:

$(\forall a\in A:a\leq s){\mbox{ e }}(\forall b\in \mathbb {R} :((\forall a\in A:a\leq b)\implies (s\leq b)))$

Do mesmo modo, dizemos que $b\in \mathbb {R}$ é cota inferior para $A$ se

$\forall a\in A:a\geq b$

E dizemos que $i$ é a maior das cotas inferiores ou ínfimo de $A$ se:

$(\forall a\in A:a\geq i){\mbox{ e }}(\forall b\in \mathbb {R} :((\forall a\in A:a\geq b)\implies (i\geq b)))$

É fácil ver que o supremo (ou ínfimo), se existem, devem ser únicos. Se existem, o supremo e ínfimo de um conjunto $A$ são indicadas $\sup A$ e $\inf A$ respectivamente.

O axioma completude

Agora estamos finalmente prontos para indicar o último axioma, que é de completude:

• Se $S\subseteq \mathbb {R}$ é não-vazio e tem uma cota superior, então $S$ tem o menor das cotas superiores.
• Se $S\subseteq \mathbb {R}$ é não-vazio e tem uma cota inferior, então $S$ tem a maior das cotas inferiores.

É de salientar, neste ponto, a fim de evitar possíveis confusões que, geralmente, nos estudo dos conjuntos ordenados, a definição de completude, é que cada subconjunto tem a menor cota superior, e não há qualquer condição de que seja não-vazio ou limitado superiormente. No entanto, nós, realmente, desejamos impor estas duas condições neste caso.

Podemos também trocar têm uma cota superior por é limitado superiormente e têm uma cota inferior por é limitado inferiormente.

Outros axiomas de completude

Existem outros maneiras equivalentes de definir o axioma completude, mas envolvem sequências, então devemos falar sobre elas depois de discutido esse tema. Por causa da existência dessas outras formas, esse axioma é algumas vezes chamado de axioma do menor das cotas superiores.

Completude

O significade de completeness: é um axioma relacionado com supremo e ínfimo. Que busca uma 'completude' nesses conceitos.

Propriedades de supremo e ínfimo

Nós estaremos fazendo muito trabalho com a Menor das cotas superiores, por isso será importante saber como usá-los de forma eficiente nas provas. Aqui estão algumas definições e propriedades que são úteis a este respeito:

Unicidade do supremo, isto é, da menor das cotas superiores

Todo conjunto não vazio que é limitado superiormente têm um único menor das cotas superiores, ou supremo (dito $\sup S$).

Prova

Sejam $a$ e $b$ duas menores cotas superiores de um conjunto $S.$

Se $a>b,$ então $b$ é uma cota superior para $S,$ $a$ não pode ser a menor das cotas superiores. Assim $a\leq b.$ Similarmente, $a\geq b.$ Assim $a=b,$ então $S$ pode ter somente uma menor das cotas superiores.

Unicidade do infímo, isto é, da maior das cotas inferiores

Todo conjunto não vazio S que é limitado inferiormente têm um único maior das cotas inferiores, ou ínfimo (dito $\inf S$).

Prova

Seja S não-vazio e limitado inferiormente. Seja $T:=\{-x:x\in S\}.$

Como S é não-vazio, $\exists x\in S.$ Assim $-x\in T,$ então T é não-vazio.

Como S é limitado inferiormente, $\exists M:\forall x\in S:x>M.$

Então $x\in T\implies -x\in S\implies -x>M\implies x<-M.$

Logo T é limitado superiormente por -M, e portanto T têm a menor das cotas superiores, $\beta .$

Como $x\in S\implies -x\in T\implies -x<\beta \implies x>-\beta ,$ $-\beta$ é uma cota inferior para S.

Seja $\alpha$ uma cota inferior para S.

Logo $x\in T\implies -x\in S\implies -x>\alpha \implies x<-\alpha ,$ então $-\alpha$ é uma cota superior para T.

Como $\beta$ é a menor cota superior para T, $-\alpha \geq \beta ,$ e assim $\alpha \leq -\beta .$

Assim toda cota inferior para S é menor ou igual a $-\beta$

Ou seja, $-\beta$ é a maior cota inferior para S.

A unicidade segue similarmente ao da maior das cotas superiores.

Teorema (Ordenação dos Sups e Infs)

Se $S\subseteq T,$ onde S é não-vazio e T é limitado, então $\inf T\leq \inf S\leq \sup S\leq \sup T$

Prova

Como S é não-vazio, ele contêm um elemento x. Por definição, $\inf S\leq x$ e $x\leq \sup S,$ então $\inf S\leq \sup S.$

Como T é limitado superiormente, ele têm a maior das cotas superiores, $\sup T.$

Como t é em particular uma cota superior para T, $\forall x\in T:x\leq \sup T.$ Como $S\subseteq T,$ $x\in S\implies x\in T\implies x\leq \sup T.$

Logo $\sup T$ é uma cota superior para S, Então $\sup S$ existe e por definição $\sup S\leq \sup T.$

Similarmente, $\inf S\geq \inf T.$

Propriedade do supremo e ínfimo

$Seja\;X\subset \mathbb {R} \;e\;c\in \mathbb {R} ;$

• supremo

1. $c<sup\;X\Rightarrow \exists x\in X;c<x$
2. $x\leq c,\forall \;x\in X\Rightarrow supX\leq c$

• ínfimo

1. $inf\;X<c\Rightarrow \exists x\in X;x<c$
2. $c\leq x,\forall \;x\in X\Rightarrow c\leq infX$

Existência de um elemento tão próximo do supremo quanto queremos

Seja $X\subset \mathbb {R}$ não vazio e limitado superiormente por $M\in \mathbb {R} ,M=supX$. Para qualquer $n\in \mathbb {N}$ dado, deve existir pelo menos um $x\in X$ tal que $M-{1 \over n}<x\leq M$.

Prova

Qualquer que seja $n\in \mathbb {N}$ devemos ter que $0<{1 \over n}$. Somando $M-{1 \over n}\in \mathbb {R}$ dos dois lados da inequação, teremos que $M-{1 \over n}<M$. Como M é o supremo de X, logo $M-{1 \over n}$ não pode ser o supremo de X. Assim deve existir $x\in X,$ tal que $M-{1 \over n}<x$. Como $M=supX$, temos que $x\leq M$. Juntando as duas desigualdades, temos que $M-{1 \over n}<x\leq M$.

Dois conjuntos de cotas

Dois conjuntos, $X,Y\subset \mathbb {R}$, não vazios, são de cotas quando:

• qualquer elemento de X é cota inferior(ou superior) de Y e
• qualquer elemento de Y é cota superior(ou inferior) de X.

Consequência de dois conjuntos serem de cotas

Sejam $X,Y\subset \mathbb {R}$, conjuntos não-vazios, tal que, $x\leq y,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$ temos que:

• X é limitado superiormente
• Y é limitado inferiormente
• $\sup \;X\leq \inf \;Y$.

prova

• Tome $y\in Y$ de forma arbitrária. Por hipótese, $x\leq y,\forall \;x\in X$. Assim y é uma cota superior de X. Logo X é limitado superiormente por y. Pelo axioma do supremo, existe o sup X e é único. Tome $M=\sup \;X$. Como M é a menor das cotas superiores de X e y é uma cota superior de X, logo $M\leq y$.
• Como y foi escolhido de maneira arbitrária, temos que $\forall \;y\in Y,M\leq y$. Assim M é uma cota inferior de Y. Assim Y é limitado inferiormente por M, pelo axioma de ínfimo, existe o inf Y e é único. Tome $N=\inf \;Y$.
• Como N é a maior das cotas inferiores e M é uma cota inferior, logo $M\leq N$.

Caso particular: Igualdade

Sejam $X,Y\subset \mathbb {R}$, conjuntos não-vazios, sendo X limitado superiormente e Y limitado inferiormente. Suponha ainda que $\sup \;X\leq \inf \;Y$. Se $\forall \;n\in \mathbb {N} ,\exists \;x_{n}\in X\;e\;y_{n}\in Y$ tais que $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}$, então $\sup \;X=\inf \;Y$

prova

• Sejam $M=\sup \;X\;e\;N=\inf \;Y$. Suponha por contradição que $M\neq N$. Pela lei da tricotomia $M<N\;ou\;N<M$.
• Suponha que $M<N$. Pela definição de supremo e ínfimo, $x\leq M,\forall x\in X$ e $N\leq y,\forall y\in Y$. Pela transitividade da inequação temos que $x\leq M<N\leq y,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$
• Assim $y-x\geq N-M,\forall \;x\in X\;e\;y\in Y$. (1)
• Como $N-M\in \mathbb {R} ^{+}$ pela propriedade arquimediana, existe $n\in \mathbb {N} ,$ tal que $N-M>{1 \over n}$.
• Por hipótese temos que $\forall \;n\in \mathbb {N} ,\exists \;x_{n}\in X\;e\;y_{n}\in Y$ tais que $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}$. Pela transitividade da inequação $y_{n}-x_{n}<{1 \over n}<N-M$. (2)
• Perceba que (1) e (2) se contradizem, logo foi um absurdo considerar que M<N.
• Analogamente será um absurdo considerar que N<M.
• Portanto M=N.