Análise real/Sequências

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Definição[editar | editar código-fonte]

Uma sequência de números reais é uma função que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais .

Exemplos:

  • A sequência dos números naturais dada por ou mais simplesmente
  • A sequência de fibonacci com
  • com ou mais simplesmente
  • A sequência é uma forma de representar ou seja,

Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

Classificação das sequências[editar | editar código-fonte]

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência é dita:

  1. estritamente crescente se
  2. não-decrescente se
  3. estritamente decrescente se
  4. não-crescente se
  5. monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
  6. estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
  7. limitada superiormente se existe tal que
  8. limitada inferiormente se existe tal que
  9. limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se tal que
  10. ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
  11. Cauchy se

Propriedades de uma sequência[editar | editar código-fonte]

Convergência de uma sequência[editar | editar código-fonte]

Dizemos que uma sequência converge para o número real quando, qualquer que seja dado, tal que, se então Para dizer que converge para normalmente escrevemos ou ou apenas quando não houver dúvida que o limite trata de tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência fica arbitrariamente próxima de desde que se tome um suficientemente grande.

Exemplos

  • A sequência converge para De fato, dado pela propriedade arquimediana da reta real, existe tal que portanto Logo e concluimos que

Divergência de uma sequência[editar | editar código-fonte]

Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.

Proposição (unicidade do limite)[editar | editar código-fonte]

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • Seja uma sequência de números reais convergente com Suponha que seja tal que queremos mostrar que .
  • Suponha, por absurdo, que então . Tomemos então .(3)
  • Por um lado, assim tal que .(4)
  • Por outro lado logo tal que .(5)
  • Tome para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim (2)
  • Contudo .
    • (1) pela desigualdade triangular
  • Mas é um absurdo concluir que . Portanto foi um absurdo ter suposto que . Então podemos concluir que x=y.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência todos os termos estarão no intervalo (b,c).

Seja , logo:

  • Se ( resp. ), então existe tal que .
  • Se , então .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • Tome (1), logo tal que .
  • O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja , assim para tal que Além disso, o conjunto é finito, não-vazio e limitado, então existe e . Tome . Como temos que para todo

Proposição (operações com sequências)[editar | editar código-fonte]

Dadas duas sequências e convergentes, com e e um número real então valem as seguintes propriedades:

Se e então:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado existem naturais tais que, se então e

Portanto, se e então Logo

As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Se então

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como bn é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |bn| < B para todo n.

Então, dado ε > 0, temos que Como an é uma sequência que converge para 0, existe n0 tal que, para todo n > n0, |an - 0| < ε / B.

Finalmente, fazendo as contas, temos que |an bn - 0| < |an| |bn| < (ε / B) . B = ε.

Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n0 tal que para todo n > n0, |an bn - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)[editar | editar código-fonte]

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.

Seja uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, se e existe tal que para todo Desta forma, o conjunto é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então tem supremo. Seja vou mostrar que Como qualquer que seja não é o supremo de então existe com Como a sequência é não-decrescente, se temos sendo a o supremo de podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então que siginifica que, se então Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então

Proposição[editar | editar código-fonte]

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Lema[editar | editar código-fonte]

Sejam uma sequência em convergente para

  1. Se então
  2. Se então

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • (1)Seja , então existe tal que . Somando a todos os lados da desigualdade temos que
  • (2)Dado tal que Como temos e portanto e consequentemente

Proposição[editar | editar código-fonte]

Sejam e duas sequências em convergentes, com e

  1. Se para todo natural, então
  2. Se então

Demonstração[editar | editar código-fonte]

  • (1)Se para todo natural, então para todo e, pelo lema anterior, e portanto
  • Seja

Teorema (do confronto)[editar | editar código-fonte]

Sejam sequências em Se e para todo então e

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja e dado.

Por um lado, como existe tal que, se então

Por outro lado, como também temos que, como existe tal que, se então

Pela desigualdade se então

Logo

Subsequências[editar | editar código-fonte]

Uma subsequência de uma sequência é uma função onde e é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é

Como é enumerável, seus elementos podem ser escritos como e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que se Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

Proposição (convergência de subsequências)[editar | editar código-fonte]

Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência convergente para e uma subsequência de Como dado existe tal que, se então Em especial, se temos Logo

Proposição (divergência de subsequências)[editar | editar código-fonte]

Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente

Valor de aderência[editar | editar código-fonte]

Definição(Valor de aderência): é "valor de aderência" de uma sequência se, e somente se, é limite de alguma das subsequências de se, e somente se,

Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência limitada.

  1. Se a sequência é convergente, então o valor de aderência é único
  2. Se a sequência possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes
  3. Se a sequência possui n+2 subsequências convergindo para Então a e b são o menor e maior valor de aderência e
  4. Se subsequências de que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então são monótonas e é crescente ou não-decrescente e é decrescente ou não-crescente

Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)[editar | editar código-fonte]

  • (1) possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
  • (2) Temos
    • Também
  • (3)Seja Temos . Tome
    • e
  • (4) por (2) é verdade que Mas não pode existir
    • Se fosse decrescente ou não-crescente, teríamos Como para algum (contradição). Da mesma forma fazemos com

sequências de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência convergente para um ponto Como converge para qualquer que seja existe tal que, se então Portanto, se então Portanto é de Cauchy.

Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada[editar | editar código-fonte]

Se é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem reais tais que para todo n natural.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como é uma sequência de Cauchy, dado existe natural tal que, se então portanto de onde concluimos que

Como é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir Desta forma definindo e temos que para todo natural. Como queríamos.

Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge[editar | editar código-fonte]

Se em é uma sequência de Cauchy com subsequência convergente para então converge para

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Dado como converge para existe tal que se então Como é Cauchy, existe então Tome agora . Assim, pela desigualdade triangular, se então

Lema: toda sequência tem subsequência monótona[editar | editar código-fonte]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência qualquer e considere o conjunto Se for infinito, então tem subsequência não decrescente, caso contrário tem subsequência decrescente.

Teorema: toda sequência real de Cauchy converge[editar | editar código-fonte]

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Se é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência monótona. Como é Cauchy, é limitada e portanto a subsequência também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que converge, logo converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

Os números reais não são enumeráveis[editar | editar código-fonte]

Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para é imediato, pois ).

Seja portanto uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.

Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:

  • Seja e sejam , e . Então definimos se , e caso contrário.

Por construção, é fácil ver que . Além disso, temos que .

Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos . Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).

Assim, temos que existe a, . Mas, pela propriedade de que , temos que , ou seja, a é diferente de cada um dos xn.

Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.

Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.