Uma sequência de números reais é uma função
que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é
quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas
Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é
ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia.
Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais
.
Exemplos:
- A sequência dos números naturais
dada por
ou mais simplesmente 
- A sequência de fibonacci
com 
com
ou mais simplesmente 
- A sequência
é uma forma de representar
ou seja, 
Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.
Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência
é dita:
- estritamente crescente se

- não-decrescente se

- estritamente decrescente se

- não-crescente se

- monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
- estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
- limitada superiormente se existe
tal que 
- limitada inferiormente se existe
tal que 
- limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se
tal que 
- ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
- Cauchy se

Dizemos que uma sequência
converge para o número real
quando, qualquer que seja
dado,
tal que, se
então
Para dizer que
converge para
normalmente escrevemos
ou
ou apenas
quando não houver dúvida que o limite trata de
tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência
fica arbitrariamente próxima de
desde que se tome um
suficientemente grande.
Exemplos
- A sequência
converge para
De fato, dado
pela propriedade arquimediana da reta real, existe
tal que
portanto
Logo
e concluimos que 
Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.
Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.
- Seja
uma sequência de números reais convergente com
Suponha que
seja tal que
queremos mostrar que
.
- Suponha, por absurdo, que
então
. Tomemos então
.(3)
- Por um lado,
assim
tal que
.(4)
- Por outro lado
logo
tal que
.(5)
- Tome
para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim
(2)
- Contudo
.
- (1) pela desigualdade triangular
- Mas é um absurdo concluir que
. Portanto foi um absurdo ter suposto que
. Então podemos concluir que x=y.
Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência
todos os termos estarão no intervalo (b,c).
Seja
, logo:
- Se
( resp.
), então existe
tal que
.
- Se
, então
.
- Tome
(1), logo
tal que
.
- O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.
Toda sequência convergente é limitada.
Seja
, assim para
tal que
Além disso, o conjunto
é finito, não-vazio e limitado, então existe
e
. Tome
. Como temos que
para todo
Dadas duas sequências
e
convergentes, com
e
e um número real
então valem as seguintes propriedades:



Se
e
então:

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado
existem
naturais tais que, se
então
e
Portanto, se
e
então
Logo
As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.
Se
então
Como bn é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |bn| < B para todo n.
Então, dado ε > 0, temos que
Como an é uma sequência que converge para 0, existe n0 tal que, para todo n > n0, |an - 0| < ε / B.
Finalmente, fazendo as contas, temos que |an bn - 0| < |an| |bn| < (ε / B) . B = ε.
Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n0 tal que para todo n > n0, |an bn - 0| < ε - precisamente a definição de limite.
Toda sequência de números reais monótona limitada converge.
Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.
Seja
uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é,
se
e existe
tal que
para todo
Desta forma, o conjunto
é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então
tem supremo.
Seja
vou mostrar que
Como
qualquer que seja
não é o supremo de
então existe
com
Como a sequência
é não-decrescente, se
temos
sendo a o supremo de
podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então
que significa que, se
então
Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então
Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente
Sejam
uma sequência em
convergente para
- Se
então 
- Se
então 
- (1)Seja
, então existe
tal que
. Somando
a todos os lados da desigualdade temos que 
- (2)Dado
tal que
Como
temos
e portanto
e consequentemente 
Sejam
e
duas sequências em
convergentes, com
e
- Se
para todo
natural, então 
- Se
então 
- (1)Se
para todo
natural, então
para todo
e, pelo lema anterior,
e portanto 
Seja 
Sejam
sequências em
Se
e
para todo
então
e
Seja
e
dado.
Por um lado, como
existe
tal que, se
então
Por outro lado, como também temos que, como
existe
tal que, se
então
Pela desigualdade
se
então
Logo
Uma subsequência de uma sequência
é uma função
onde
e
é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é
Como
é enumerável, seus elementos podem ser escritos como
e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que
se
Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo
Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.
Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.
Seja
uma sequência convergente para
e
uma subsequência de
Como
dado
existe
tal que, se
então
Em especial, se
temos
Logo
Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.
Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente
Definição(Valor de aderência):
é "valor de aderência" de uma sequência
se, e somente se,
é limite de alguma das subsequências de
se, e somente se,
Seja
uma sequência limitada.
- Se a sequência
é convergente, então o valor de aderência é único
- Se a sequência
possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes 
- Se a sequência
possui n+2 subsequências convergindo para
Então a e b são o menor e maior valor de aderência e 
- Se
subsequências de
que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então
são monótonas e
é crescente ou não-decrescente e
é decrescente ou não-crescente
- (1)
possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como
é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
- (2) Temos
- Também

- (3)Seja
Temos
. Tome

e ![{\displaystyle c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (a+\epsilon ,b-\epsilon )\subset (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5368931035ef4e1f4a2e46e6c6b0eecbe45eae)
- (4) por (2) é verdade que
Mas não pode existir

- Se
fosse decrescente ou não-crescente, teríamos
Como
para algum
(contradição). Da mesma forma fazemos com 
Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.
Seja
uma sequência convergente para um ponto
Como
converge para
qualquer que seja
existe
tal que, se
então
Portanto, se
então
Portanto
é de Cauchy.
Se
é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem
reais tais que
para todo n natural.
Como
é uma sequência de Cauchy, dado
existe
natural tal que, se
então
portanto
de onde concluimos que
Como
é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir
Desta forma definindo
e
temos que
para todo
natural. Como queríamos.
Se
em
é uma sequência de Cauchy com subsequência
convergente para
então
converge para
Dado
como
converge para
existe
tal que se
então
Como
é Cauchy, existe
então
Tome agora
. Assim, pela desigualdade triangular, se
então
Seja
uma sequência qualquer e considere o conjunto
Se
for infinito, então
tem subsequência não decrescente, caso contrário
tem subsequência decrescente.
Se
é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência
monótona. Como
é Cauchy,
é limitada e portanto a subsequência
também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que
converge, logo
converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.
Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para
é imediato, pois
).
Seja portanto
uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.
Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:
![{\displaystyle I_{0}=[0,1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc3191c2646a7ef7208a79b30429f59c8eab92c)
- Seja
e sejam
,
e
. Então definimos
se
, e
caso contrário.
Por construção, é fácil ver que
. Além disso, temos que
.
Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos
. Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).
Assim, temos que existe a,
. Mas, pela propriedade de que
, temos que
, ou seja, a é diferente de cada um dos xn.
Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.
Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.