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Análise real/Série

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Definição de série

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Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência , têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

  • Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência , como somaremos todos os seus termos? vamos tomar como uma sequência de soma dos termos de . Assim:

  • , ,

Convergência de uma série

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Teste do termo geral

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Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se é uma série convergente então

Demonstração

tomando limites, temos:

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica que não é convergente[1], apesar de seu termo geral convergir para zero [2].

Propriedades de séries

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Seja convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

  • converge para a + b
  • converge para ta
  • converge para ab
  • converge para p.
    • Se

Série geométrica

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A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:

Por outro lado, se , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

Onde "a" é o termo inicial da série.

  1. Veja, por exemplo, esta página
  2. Conforme se vê nesta página