Análise real/Série

Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . Assim:

$s_{1}=a_{1}\;$ , $s_{2}=\sum _{n=1}^{2}a_{n}\;$ , $s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\;$
$s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$

Convergência de uma série

Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$ é uma série convergente então $\lim \;a_{n}=0$

Demonstração: $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\,$

tomando limites, temos:

\lim a_{n}=s-s=0\,

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum _{1}^{\infty }1/n\,$ que não é convergente^[1], apesar de seu termo geral convergir para zero ^[2].

Propriedades de séries

Seja $\sum a_{n}=\;a,\sum b_{n}=b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

$\sum a_{n}+\sum b_{n}=\sum (a_{n}+b_{n})\;$ converge para a + b
$t\sum a_{n}=\sum ta_{n}\;$ converge para ta
$(\sum a_{n})(\sum b_{n})=\;$ converge para ab
$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ converge para p.
- $p=a-\sum _{n=1}^{n_{0}-1}a_{n}\,$
- Se $a_{n}\geq 0,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow p<a$