Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.
- Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio"
, isto é,
deve ser menor estrito a
. Portanto ![{\displaystyle V_{\epsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ;|x-y|<\epsilon \}=B(x,\epsilon )=(x-\epsilon ,x+\epsilon )=\{y\in \mathbb {R} ;x-\epsilon <y<x+\epsilon \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f9901dee8875847a94881753eddb64a58f5665)
![{\displaystyle \bigcap _{\forall \epsilon >0}V_{\epsilon }(x)=\{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326f27e781f49a9e415e36c505f2d80aae1f42dc)
- Tome
![{\displaystyle x,y\in X,x\neq y\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\cap V_{\epsilon }(y)=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a949f409b5eda1f6f0589f5e283e136abdfd25)
Tome
Tome
, como
Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto
se, e somente, se
Usamos a notação
para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto
( A recíproca é falsa, por exemplo
)
.
.
- Todo ponto x é um ponto interior de
![{\displaystyle \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212392c529a881d24372b3e27de51dacd810a1ff)
- Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
- Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
- Nenhum ponto é ponto interior de
ou ![{\displaystyle \mathbb {Q} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73aa6e3ee6ccf048ec948763e23108342d2cfdda)
Dado
. Um ponto
é dito ponto da fronteira de
, se toda vizinhança de x intersecta
.
![{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\cap X\neq \varnothing {\mbox{ e }}V_{\epsilon }(x)\cap \mathbb {R} -X\neq \varnothing \Rightarrow x\in \partial X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4676deb2d037103c5f346d2f2411cffc221ce2d3)
- Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto
por
.
- Dizemos que um conjunto
é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja:
é aberto.
- Dizemos que um conjunto
não é conjunto aberto se ![{\displaystyle \exists \;x\in X;\forall \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\not \subset X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ee8f73d2b326e061d17246803f36faf37ff448)
- Um conjunto é aberto se
.
- O intervalo aberto
com
é aberto, de fato, dado
tomando
temos que
Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
com
não é aberto, pois, qualquer que seja ![{\displaystyle \epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset [a,b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5201f7fec6de74bdb7b1367ec5077e1b7a1e709)
é aberto, de fato, dado
tomando
temos que ![{\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754dee10eab7240664be837e10ff2fdae55bae15)
é aberto, de fato, dado
tomando
temos que ![{\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (-\infty ,b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f1fa20c35614a764d04a26aaa8125f8711609c)
- Os conjuntos
e
são abertos.
- A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
- A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
- Demonstração
1. Imediato da definição.
2.Seja
uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice
e seja:
![{\displaystyle O=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817c3acd89d3435fa3fb5583cc8f8981824a0fff)
Então se
existe um
tal que
Como
é aberto, existe um intervalo
com
tal que:
![{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O_{\lambda '}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50ef896a15de4866516326489577f8b6b0c5ca8)
Como
temos que:
![{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdc24a1e30838ddca31903832d1492712a44f1b)
E portanto
é aberto.
3.Seja
uma família finita de conjuntos aberto e seja
e
Como
e cada
é aberto. Existem intervalos
tais que:
![{\displaystyle x\in (a_{k},b_{k})\subseteq O_{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8b519e0a922c94ef8828e703b9b915e6ee1e1c)
Naturalmente vale que
Agora definimos:
![{\displaystyle a=\max\{a_{k}\}_{k=1}^{n}\quad b=\min\{b_{k}\}_{k=1}^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dea5d1ca872bc1264fe4e76648afda76a36ae0b)
É fácil ver que
e também que:
![{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O_{k},k=1,\ldots ,n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807c004c89e0acd37ace53fd42081314f453d4ed)
e portanto:
![{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6bc92d74a3ccdcd1ec3399234640f2a003b36f)
O que completa a demonstração.
Seja
. As afirmativas abaixo são equivalentes.
- (1) X é aberto.
- (2) Todo ponto de X é ponto interior.
- (3) X é uma vizinhança de seus pontos.
Vamos mostrar que
- Assumindo (1), Seja
. Como por hipótese, X é aberto, temos que
. Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
- Seja agora (2) verdadeiro. Se
, então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e.,
existe um aberto em X contendo x. Logo, por definição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
- Finalmente, assumindo (3), tome para cada
um aberto
tal que
.
Então
é aberto pois é união de abertos.
Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂
- Todo ponto a de um conjunto
é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante ![{\displaystyle x_{n}=a\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143cb307f15b70e3937421ecce7fb2e1e3d3b38c)
- Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto
possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.
valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto
- O único valor de aderência de
é a.
As seguintes afirmações são equivalentes:
é ponto aderente de ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Para todo
existe um ponto
tal que ![{\displaystyle \left|x-a\right|\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86c2bad7f548aeed5e4d8a48ffa6d54ae0a62a7)
para todo
Demonstração
1→2: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência
tal que
Da definição de limite de sequências, para todo
existe um
tal que
Como
basta definir
e o resultado segue.
2→3:Suponha que
e
Como
e o resultado segue.
3→1:Defina a sequência
escolhendo-os de forma que
Esta sequência tem a propriedade que
e
logo
e o resultado segue.
Define-se o fecho de um conjunto X como o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por
![{\displaystyle {\bar {X}}:=\left\{a\in \mathbb {R} :\forall \epsilon >0.B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2d721655c38435b20d53ebca46cea4ac47da2d)
- Os fechos de
e
são eles mesmos
- O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
- Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo
uma sequência de números racionais
que converge para x. Ou seja, o fecho de
é ![{\displaystyle \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212392c529a881d24372b3e27de51dacd810a1ff)
- Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de
e
são eles mesmos.
- O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que
Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.
Um conjunto
é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho:
- São fechados:
.
- Não são fechados:
.
Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.
a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:
![{\displaystyle O=\mathbb {R} \backslash X\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf44cf86175e981f485046bb29f62365e275f244)
Suponha por absurdo que
não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto
tal que:
![{\displaystyle \forall \epsilon >0;B(x,\epsilon )\nsubseteq O\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4941e6a165c81f319943830445df5b79700c738b)
Como
temos que
![{\displaystyle B(x,\epsilon )\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon )\cup X\neq \emptyset \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70eb9965af076b5d39aa9bd6dbe46f9577c1deb8)
Esta propriedade implica que
e como X é fechado,
o que contraria a hipótese inicial de que
e
b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:
![{\displaystyle X=\mathbb {R} \backslash O\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab5db41d739d52e7c651b1642895938eff5140f)
Suponha a existência de uma sequência
tal que:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335fe60f9a62bca4b9652a513b6c106088a01130)
Queremos mostrar que
Suponha, por absurdo, que
ou seja,
Como O é aberto, exite uma bola
Escolha
tal que
Isso implica
o que é uma contradição, já que
- Os conjuntos
e
são fechados.
- A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
- A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
- Demonstração
1.
é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado
se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é,
é fechado.
.
é denso em
logo:
- Dado
![{\displaystyle y\in Y\Rightarrow I_{y}\cap X\not =\emptyset ,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0b3cd5d2dda7d54fa64da817c6f343fe8107a3)
- Dado
![{\displaystyle y\in Y\Rightarrow \exists \;x\in I_{y}\cap X\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aae48950c75c19bafd2991ce8d659fc29a9798c)
- Dado
![{\displaystyle y\in Y\Rightarrow y\in {\overline {X}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb7568d0585f69e784535bcd327bac1787dc1af)
- Dado
![{\displaystyle y\in Y\Rightarrow y=limx_{n},\forall \;(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5dc0d356a23912d909943f87a94aa549d93970)
Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência
de pontos diferentes de x convergindo para x.
É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto
possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante
converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.
- x é ponto de acumulação se,
![{\displaystyle \forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576b079f4bb3516313d3c9d2323d9399647facac)
- x é ponto de acumulação se,
![{\displaystyle \forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a499f1462a85eb3341dcae5f92175ffcc5260317)
X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:
![{\displaystyle X'=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}\}=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d868d03c744f48092e47b58f5983e0d0cd0d038e)
Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento
que não é ponto de acumulação.
Diz-se que
é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.
Seja
um conjunto cujos pontos são todos isolados, então
.
Uma vez que os pontos de
são todos isolados, para cada
podemos fixar
tal que
. Agora
é denso em
, então
.
Fixemos para cada
algum
e definamos a função
por
. Essa função é injetora, de fato, suponha que
devemos ter que
e
. Defina
, segue que
, mas isso significa que ou
ou
e em ambos os casos concluímos que
.
Uma vez que
é injetora devemos ter
e portanto
é enumerável.
Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.
Seja
um conjunto infinito e limitado, então
possui pelo menos um ponto de acumulação.
Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito
tal que
Defina
o ponto médio deste intervalo:
![{\displaystyle M_{1}:={\frac {a+b}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022d03ce809584b88cecba82052cd52edf57a4bd)
como
e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que
ou
possui infinitos pontos. Definimos então:
- :
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{1}=M_{1},&b_{1}=b,&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{1},b]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{1}=a,&b_{1}=M_{1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085d459f18efa15109c7a403a0e13e39bc156e89)
E define-se
é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_{n},&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{n+1},b_{n}]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{n+1}=a_{n},&b_{n+1}=M_{n+1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3667b48e466cc348c138ad2582d8461ea119a7)
e, finalmente,
que será um conjunto de infinitos pontos.
Observe que a sequência
é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência
é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:
e ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50dc76bccdcafe2f6e95fa872b5e06b318160fff)
Como
estes limites deve ser idênticos:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=:x^{*}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1071fff39db02e80e65c372eb5cdf3315de5554e)
Vamos mostrar agora que
é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo
o conjunto
possui infinitos pontos. De fato, fixe
e escolha n tal que:
![{\displaystyle b_{n}-a_{n}<\epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126cc5302623f4656d237efbf752fcfbcef69b9f)
Como
temos que
Logo
Como
é infinito por construção,
é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.
Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:
Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.
Se
é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que
então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:
Demonstração
Como cada
é não vazio é possível construir a sequência
tal que:
![{\displaystyle x_{n}\in F_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f9a82a81a67b839c6904be57c551bedf5ac501)
Do fato de os conjuntos
são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor
é uma sequência convergente para algum real
De
se
temos que
e como cada um destes conjuntos é fechados,
para todo k. Daí temos que o limite
e o resultado segue.
A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto
pertence ao fecho
de um conjunto
se e somente se a distância se
ate
é nula.
Definimos a distância entre um conjunto
e um ponto
como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.
![{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}|x-y|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ad191253c325be12f2eefe73d229752d7a4fdd)
![{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\notin S\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcb0ad8df0016180d59b83223e5262072871ee7)
![{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a529588631f4835ea0f11b15d0af163cf84e827)
Demonstração
1. Se
todo ponto
tem a propriedade que:
![{\displaystyle |x-y|\geq {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59f47103f8db29cb74e416770a878e79d1359d1)
e o resultado segue.
2. Do fato que
e da definição de ínfimo, temos:
![{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)\geq {\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a832b3208747d13f8c10a11e6036048aecf0526b)
Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto
e defina
![{\displaystyle \delta :={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2642f591880198a17bd1c335a6d71eb7d473afd)
Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência
tal que
![{\displaystyle y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<\delta +1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b475ee96826f24d404131b8f5c402ae896abcbc6)
Como
da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos
tais que:
![{\displaystyle z_{n}\in S{\hbox{ e }}|z_{n}-y_{n}|<1/n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611fd8d725cab36d476e48547a31c56eebae4421)
Da desigualdade triangular, temos:
![{\displaystyle |z_{n}-x|\leq |z_{n}-y_{n}|+|y_{n}-x|<\delta +2/n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778e947f925045a3e017913013619f7164a65294)
Agora, basta estimar:
![{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)\leq \inf _{n=1}^{\infty }|z_{n}-x|=\delta ={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cf767119f3067fa2ce54c6e7e414e8dded77c1)
E o resultado segue.
3. Resta-nos demonstrar que se
é um conjunto fechado então
Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência
tal que
![{\displaystyle y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c6212bf70a993d20b028fac042be80711c7c21)
Da definição de limite, temos que:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42b99597cb2cc6ba53efcc5ef930e69a16ed6e8)
Como
é um conjunto fechado, o limite
da sequência
deve pertencer a
Assim, o resultado segue.
Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.
a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência
que converge para um número real
. Como
é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de
converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.
b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência
tal que
Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.
Suponha que X é fechado e limitado e seja
uma sequência contida em X. A sequência
é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite
como X é fechado,
o que completa a demonstração.
Seja
um conjunto na reta e
um coleção de conjuntos abertos
indexados por um índice
Dizemos que
é uma cobertura de
se:
![{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\supseteq X\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb2ad1aaee6d4ca4f52dc626eb791396d18a51d)
- A família de abertos
dada por
é uma cobertura para o conjuntos dos número reais, ![{\displaystyle \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212392c529a881d24372b3e27de51dacd810a1ff)
- A família de abertos
dada por
é uma cobertura do intervalo ![{\displaystyle (0,1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4322e4f3ac13328d2d401b21e53483157a2304b)
- A família de abertos
dada por
onde o índice
pertence a
é uma cobertura do intervalo ![{\displaystyle (-1,1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319a283e0444b8d2695460f7755507298f36ac06)
Seja
uma cobertura de
e
Dizemos que
é uma subcobertura de
se
é também uma cobertura de X.
Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:
- Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.
- Demonstração
Começamos demonstrando o seguinte lema:
- Lema
Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e
então
Demonstração
Define-se:
![{\displaystyle r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6958c7029389ad30c7befd03f65fd64bc6af0f94)
É claro que
para todo ponto
em
Agora constróem-se os abertos:
ou seja, a bola de centro y e raio ![{\displaystyle r(y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ae1c6cfd67016face756ff4bc3bca8ccf820ff)
Eles formam uma cobertura para
![{\displaystyle K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329a29563b46f53cda33cf43439b14cebf3936d8)
Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos
tais que:
![{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda145474d898a58c88c4c10e79c0a1ac7a6d36f)
Da simples definição de
sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em
de raio
![{\displaystyle O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3241bca57fc490de9bef4587a6cf8afa071a3e)
Define-se:
![{\displaystyle \delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c39b582cdf3b7b07135d7dbdccfb7611f1e8cc6)
temos:
![{\displaystyle O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )\subseteq B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce65a82f8d221b81337521c8c9e7d32ed1e4d6da)
Tomando a união, temos:
![{\displaystyle K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0027d9db22df60d57f3b2596726e7b1691f82c)
O que completa a demonstração.
- Todo conjunto de Heine-Borel é fechado
Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja
pelo lema anterior
e, portanto,
isso significa que:
![{\displaystyle K^{c}\subseteq {\overline {K}}^{c}\Longrightarrow {\overline {K}}\subseteq K\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dd8c32a1010d2f171d4c3c0737ed417e472921)
e portanto K é fechado.
- Todo conjunto de Heine-Borel é limitado
Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:
![{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }(-n,n)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae59299c50f36b8764e42719cf38dd87cee783b4)
Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:
![{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1b2a6fa86d4d8a3716db3cfddfc39fd157119)
Logo K é limitado.