Análise real/Topologia da reta

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Conceitos da topologia da reta que serão usados na Análise Real. Nota: para usar uma analogia com a geometria, um número real x também será chamado de um ponto x.

Conjunto aberto[editar | editar código-fonte]

Vizinhança[editar | editar código-fonte]

  • Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio" , isto é, deve ser menor estrito a . Portanto
  • Tome

Teorema da Vizinhança Interna[editar | editar código-fonte]

Tome

Prova[editar | editar código-fonte]

Tome , como

Ponto interior[editar | editar código-fonte]

Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto se, e somente, se

Usamos a notação para denotar o conjunto de todos os pontos interiores do conjunto

  • ( A recíproca é falsa, por exemplo )
  • .
  • .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo ponto x é um ponto interior de
  • Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a, b). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a, b); por exemplo, a não é ponto interior de (a, b) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a.
  • Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a, b] formam o intervalo aberto (a, b).
  • Nenhum ponto é ponto interior de ou

Fronteira de um conjunto[editar | editar código-fonte]

Dado . Um ponto é dito ponto da fronteira de , se toda vizinhança de x intersecta .

  • Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto por .

Definição de conjunto aberto[editar | editar código-fonte]

  • Dizemos que um conjunto é conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja:
    • é aberto.
  • Dizemos que um conjunto não é conjunto aberto se
  • Um conjunto é aberto se .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O intervalo aberto com é aberto, de fato, dado tomando temos que Portanto, o intervalo aberto é, de fato, aberto.
  • com não é aberto, pois, qualquer que seja
  • é aberto, de fato, dado tomando temos que
  • é aberto, de fato, dado tomando temos que

Propriedade dos conjuntos abertos[editar | editar código-fonte]

  1. Os conjuntos e são abertos.
  2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Demonstração

1. Imediato da definição.

2.Seja uma família de conjuntos abertos indexada pelo índice e seja:

Então se existe um tal que

Como é aberto, existe um intervalo com tal que:

Como temos que:

E portanto é aberto.

3.Seja uma família finita de conjuntos aberto e seja e Como e cada é aberto. Existem intervalos tais que:

Naturalmente vale que Agora definimos:

É fácil ver que e também que:

e portanto:

O que completa a demonstração.

Lema[editar | editar código-fonte]

Seja . As afirmativas abaixo são equivalentes.

  • (1) X é aberto.
  • (2) Todo ponto de X é ponto interior.
  • (3) X é uma vizinhança de seus pontos.

DEMONSTRACÃO[editar | editar código-fonte]

Vamos mostrar que

  • Assumindo (1), Seja . Como por hipótese, X é aberto, temos que . Logo x é ponto interior de X. Como x é arbitrário, obtemos (2).
  • Seja agora (2) verdadeiro. Se , então por hipótese, x é ponto interior de X, i.e., existe um aberto em X contendo x. Logo, por definição, X é uma vizinhança de x e (3) vale.
  • Finalmente, assumindo (3), tome para cada um aberto tal que .

Então é aberto pois é união de abertos.

Conjunto fechado[editar | editar código-fonte]

Ponto aderente[editar | editar código-fonte]

Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂

  • Todo ponto a de um conjunto é também um ponto aderente, pois ele é o limite da sequência constante
  • Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto possui 0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X.

Valor de aderência[editar | editar código-fonte]

valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto

  • O único valor de aderência de é a.

Teorema[editar | editar código-fonte]

As seguintes afirmações são equivalentes:

  1. a é ponto aderente de X
  2. Para todo existe um ponto tal que
  3. para todo Demonstração

12: Se a é um ponto aderente de X, por definição, existe um sequência tal que Da definição de limite de sequências, para todo existe um tal que Como basta definir e o resultado segue.

23:Suponha que e Como e o resultado segue.

31:Defina a sequência escolhendo-os de forma que Esta sequência tem a propriedade que e logo e o resultado segue.

Fecho[editar | editar código-fonte]

Define-se o fecho de um conjunto X como é o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Os fechos de e são eles mesmos
  • O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
  • Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo uma sequência de números racionais que converge para x. Ou seja, o fecho de é
  • Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de e são eles mesmos.
  • O fecho de qualquer intervalo (a, b), (a, b], [a, b) ou [a, b], em que a < b, é o intervalo fechado [a, b]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a, b) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a, b) que converge para a. Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a. Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N, então |a - (a + 1/n)| < ε. Reescrevendo, temos que para n > N, 1/n < b - a, ou seja, a + 1/n < b. Como a + 1/n > a, temos que Portanto, a sequência de elementos do intervalo (a, b) dada por a + 1/N, a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a, b) que converge para a.

Definição de conjunto fechado[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • São fechados: .
  • Não são fechados: .


Teorema[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.

a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:

Suponha por absurdo que não seja um conjunto aberto, ou seja, suponha a existência de um ponto tal que:

Como temos que

Esta propriedade implica que e como X é fechado, o que contraria a hipótese inicial de que e

b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O:

Suponha a existência de uma sequência tal que:

Queremos mostrar que Suponha, por absurdo, que ou seja, Como O é aberto, exite uma bola Escolha tal que Isso implica o que é uma contradição, já que

Propriedades dos conjuntos fechados[editar | editar código-fonte]

  1. Os conjuntos e são fechados.
  2. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
  3. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
Demonstração

1. é aberto. Pelo teorema "Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar é aberto" o seu complementar é fechado, isto é, é fechado.

Densidade[editar | editar código-fonte]

. é denso em logo:

  • Dado
  • Dado
  • Dado
  • Dado

Ponto de acumulação[editar | editar código-fonte]

Ponto de acumulação[editar | editar código-fonte]

Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência de pontos diferentes de x convergindo para x.

É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto possui um único elemento. Este elemento é um ponto de aderência, já que a sequência constante converge para ele, mas não é um ponto de acumulação, pois não existe nenhuma sequência de elementos de X diferentes de 0 convergindo para 0.

  • x é ponto de acumulação se,
  • x é ponto de acumulação se,

Conjunto Derivado[editar | editar código-fonte]

X' é o conjunto chamado derivado, onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:

Ponto isolado[editar | editar código-fonte]

Define-se como ponto isolado de um conjunto X, um elemento que não é ponto de acumulação.

Conjunto discreto[editar | editar código-fonte]

Diz-se que é um conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.

Teorema: Conjunto discreto é enumerável[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto cujos pontos são todos isolados, então .

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Uma vez que os pontos de são todos isolados, para cada podemos fixar tal que . Agora é denso em , então .

Fixemos para cada algum e definamos a função por . Essa função é injetora, de fato, suponha que devemos ter que e . Defina , segue que , mas isso significa que ou ou e em ambos os casos concluímos que .

Uma vez que é injetora devemos ter e portanto é enumerável.

Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.

Teorema de Bolzano-Weierstrass[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto infinito e limitado, então possui pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito tal que Defina o ponto médio deste intervalo:

como e X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que ou possui infinitos pontos. Definimos então:

 :

E define-se é novamente um conjunto infinito. Este processo pode ser aplicado recursivamente, definindo:

e, finalmente, que será um conjunto de infinitos pontos. Observe que a sequência é não decrescente e limitada superiormente por b e a sequência é não crescente e limitada inferiormente por a. Daí, podemos inferir a existência dos limites:

e

Como estes limites deve ser idênticos:

Vamos mostrar agora que é um ponto de acumulação de X. Para isso, devemos mostrar que para todo o conjunto possui infinitos pontos. De fato, fixe e escolha n tal que:

Como temos que Logo Como é infinito por construção, é um ponto de acumulação de X, o que completa a demonstração.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:

Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.

Teorema (Propriedade dos intervalos encaixantes)[editar | editar código-fonte]

Se é uma sequência de conjuntos fechados, limitados e não-vazios tais que então a intersecção destes conjuntos é não vazia. Isto é:

Demonstração

Como cada é não vazio é possível construir a sequência tal que:

Do fato de os conjuntos são limitados, passando a uma subsequência se necessário, pode-se supor é uma sequência convergente para algum real

De se temos que e como cada um destes conjuntos é fechados, para todo k. Daí temos que o limite e o resultado segue.

Distância de um conjunto a um ponto[editar | editar código-fonte]

A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto pertence ao fecho de um conjunto se e somente se a distância se ate é nula.

Definimos a distância entre um conjunto e um ponto como o ínfimo da distância entre os pontos de S e o ponto x.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. Demonstração

1. Se todo ponto tem a propriedade que:

e o resultado segue.

2. Do fato que e da definição de ínfimo, temos:

Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto e defina

Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência tal que

Como da definição de fecho de um conjunto, temos a existência de pontos tais que:

Da desigualdade triangular, temos:

Agora, basta estimar:

E o resultado segue.

3. Resta-nos demonstrar que se é um conjunto fechado então Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência tal que

Da definição de limite, temos que:

Como é um conjunto fechado, o limite da sequência deve pertencer a Assim, o resultado segue.

Conjuntos compactos[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X.

Todo compacto é fechado e limitado[editar | editar código-fonte]

a.Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência que converge para um número real . Como é convergente, todas as suas sub-sequências convergem para o mesmo limite x, portanto, nenhuma subsequência de converge para um ponto de X, logo X não pode ser compacto.

b.Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência tal que Esta sequência não possui nenhuma sub-sequência convergente, logo X não pode ser compacto.

Todo conjunto fechado e limitado é compacto[editar | editar código-fonte]

Suponha que X é fechado e limitado e seja uma sequência contida em X. A sequência é limitado, portanto, possui um sub-sequência convergente para um limite como X é fechado, o que completa a demonstração.

Compacidade no sentido de Heine-Borel[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto na reta e um coleção de conjuntos abertos indexados por um índice Dizemos que é uma cobertura de se:

Exemplos de cobertura[editar | editar código-fonte]

  • A família de abertos dada por é uma cobertura para o conjuntos dos número reais,
  • A família de abertos dada por é uma cobertura do intervalo
  • A família de abertos dada por onde o índice pertence a é uma cobertura do intervalo

Subcobertura[editar | editar código-fonte]

Seja uma cobertura de e Dizemos que é uma subcobertura de se é também uma cobertura de X.

Teorema de Heine-Borel[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:

Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.
Demonstração

Começamos demonstrando o seguinte lema:

Lema

Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e então Demonstração

Define-se:

É claro que para todo ponto em

Agora constróem-se os abertos:

ou seja, a bola de centro y e raio

Eles formam uma cobertura para

Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos tais que:

Da simples definição de sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em de raio

Define-se:

temos:

Tomando a união, temos:

O que completa a demonstração.

Todo conjunto de Heine-Borel é fechado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja pelo lema anterior e, portanto, isso significa que:

e portanto K é fechado.

Todo conjunto de Heine-Borel é limitado

Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K:

Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:

Logo K é limitado.

Navegando[editar | editar código-fonte]