Análise real/PA

Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:

Sequência estacionária

Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.

• Ex. $(a_{n})=(5,5,5,5,5,5,5)$.
  • O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".

Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.

PA de ordem 1

Vamos definir PA de ordem 1 como uma sequência não-estacionária, tal que a diferença dos seus termos seja uma sequência estacionária.

Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes. Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.

• Ex. $(b_{n})=(2,7,12,17,...)$ é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".

Sequência diferença

Vamos definir o operador diferença $\Delta b_{n}=b_{n+1}-b_{n}$ e a sequência diferença $(a_{n})=(\Delta b_{n})=(\Delta b_{1},\Delta b_{2},...)$.

• Retomando o exemplo anterior $(b_{n})=(2,7,12,17,...)$. Vamos definir $a_{n}$:
• $\Delta b_{1}=b_{2}-b_{1}=7-2=5;\Delta b_{2}=b_{3}-b_{2}=12-7=5$.
• Assim $(a_{n})=(5,5,5,...)$

PA de ordem 3

• Vamos tomar $(a_{n})$ uma sequência cujo termo $a_{n}$ é determinado por um polinômio $a_{n}=n^{3}-n$.
  • A sequência $(a_{n})=(0,6,24,60,120,210,...)$ não é uma sequência estacionária.
• Vamos tomar a sequência diferença de $(a_{n})$. Assim $\Delta (a_{n})=(6,18,36,60,90,...)$
  • Vemos que $\Delta a_{1}=a_{2}-a_{1}=6-0=6$ é diferente de $\Delta a_{2}=a_{3}-a_{2}=24-6=18$.
  • Logo $(\Delta (a_{n}))$ não é uma sequência estacionária.
  • Mas $\Delta (a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=(n+1)^{3}-(n+1)-(n^{3}-n)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-n^{3}+n\Rightarrow \Delta a_{n}=3n^{2}+3n$
• Vamos tomar a sequência diferença de $(\Delta a_{n})$. Assim $\Delta ^{2}(a_{n})=(12,18,24,30,...)$
  • Vemos que $\Delta ^{2}a_{1}=\Delta a_{2}-\Delta a_{1}=18-6=12$ é diferente de $\Delta ^{2}a_{2}=\Delta a_{3}-\Delta a_{2}=36-18=18$.
  • Logo $\Delta ^{2}(a_{n})$ não é uma sequência estacionária.
  • Mas $\Delta ^{2}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)^{2}+3(n+1)-(3n^{2}+3n)=3n^{2}+6n+3+3n+3-3n^{2}-3n\Rightarrow \Delta ^{2}a_{n}=+6n+6$
• Vamos tomar a sequência diferença de $(\Delta ^{2}a_{n})$. Assim $\Delta ^{3}(a_{n})=(6,6,6,6,...)$
  • Vemos que $\Delta ^{3}a_{1}=\Delta ^{2}a_{2}-\Delta ^{2}a_{1}=18-12=6$ é igual de $\Delta ^{3}a_{2}=\Delta ^{2}a_{3}-\Delta ^{2}a_{2}=24-18=6$.
  • Logo $\Delta ^{3}(a_{n})$ é uma sequência estacionária.
  • Mas $\Delta ^{3}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=6(n+1)+6-(6n+6)=6n+6+6-6n-6\Rightarrow \Delta ^{3}a_{n}=6$
• Como $(\Delta ^{3}a_{n})$ é uma sequência estacionária, logo $(\Delta ^{2}a_{n})$ é uma PA de ordem 1, logo $(\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 2, logo $(a_{n})$ é uma PA de ordem 3.
  • Percebemos que $(\Delta ^{3}a_{n})$ sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
  • Percebemos que $(\Delta ^{2}a_{n})$ é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
  • Percebemos que $(\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
  • Percebemos que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.

Somatório de uma PA

O somatório dos termos de uma PA $(a_{n})$ de ordem 1, do primeiro ao enésimo-termo é dada por: $\sum a_{n}={n(a_{1}+a_{n}) \over 2}$

• Percebemos que $\sum a_{n}={1 \over 2}\cdot {\bigg (}n(a_{1}+a_{n}){\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\bigg (}na_{1}+n(a_{1}+(n-1)r{\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\bigg (}2na_{1}+n(n-1)r{\bigg )}={1 \over 2}\cdot {\bigg (}n^{2}+r(2a_{1}-1)n{\bigg )}$ é um polinômio em n de grau 2.

Exemplo

• $a_{n}=n^{3}-n$ é um polinômio em n de grau 3.
  • Vemos que $\sum a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1^{3}-1+...+(n-1)^{3}-(n-1)+n^{3}-n=(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})-(1+2+...+n)=$
  • $={\bigg (}{n(n+1) \over 2}{\bigg )}^{2}-{\bigg (}{n(1+n) \over 2}{\bigg )}={\bigg (}{n^{2}(n+1)^{2} \over 4}{\bigg )}-{\bigg (}{2n(1+n) \over 4}{\bigg )}={\bigg (}{n^{2}(n+1)^{2}-2n(1+n) \over 4}{\bigg )}={1 \over 4}\cdot {\bigg (}n(1+n)(n^{2}+n-2){\bigg )}$.
  • $\sum a_{n}$ é um polinômio em n de grau 4.
• $\Delta a_{n}=3n^{2}+3n$ é um polinômio em n de grau 2.
  • Vemos que $\sum \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+...+\Delta a_{n}=(3\cdot 1^{2}+3\cdot 1)+(3\cdot 2^{2}+3\cdot 2)+...+3\cdot n^{2}+3\cdot n=$
  • $=3\cdot (1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3\cdot (1+2+...+n)={3n(n+1)(2n+1) \over 6}+{3n(1+n) \over 2}=$
  • $={n(n+1)(2n+1)+3n(1+n) \over 2}={2n(n+1)(n+2) \over 2}=n(n+1)(n+2)$
  • $\sum \Delta a_{n}$ é um polinômio em n de grau 3.
• $\Delta ^{2}a_{n}=+6n+6$
  • Vemos que $\sum \Delta ^{2}a_{n}=\Delta ^{2}a_{1}+\Delta ^{2}a_{2}+...+\Delta ^{2}a_{n}=6\cdot 1+6+6\cdot 2+6+...+6n+6=6\cdot (1+2+...+n)+6n=$
  • $=6\cdot {n(1+n)+6n \over 2}=3n(1+n)+6n=3n^{2}+9n$
  • $\sum \Delta ^{2}a_{n}$ é um polinômio em n de grau 2.
• $\Delta ^{3}a_{n}=6$
  • Vemos que $\sum \Delta ^{3}a_{n}=\Delta ^{3}a_{1}+\Delta ^{3}a_{2}+...+\Delta ^{3}a_{n}={\begin{matrix}\underbrace {6+6+...+6} \\n\end{matrix}}={n(6+6) \over 2}=6n$ que é um polinômio de 1º grau.

grau e ordem de uma PA

Uma sequência $(a_{n})$ é uma PA de ordem p se, e somente se, $a_{n}$ é um polinômio de grau p.

• Vamos fazer indução sobre p
• Vamos mostrar que é válido para p=1
  • Tome $(a_{n})$ uma PA de ordem 1 $\Rightarrow a_{n}=a_{1}+(n-1)r=rn+a_{1}-r$ que é um polinômio de grau 1
  • Tome $a_{n}=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)$ que nos diz que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 1.
• Vamos mostrar que é válido para p=2
  • Seja $(a_{n})$ uma PA de ordem 2 $\Rightarrow (\Delta a_{n})$ é uma PA de ordem 1, ou seja $\Delta a_{n}=\Delta a_{1}+(n-1)r$
  • Assim $\sum \Delta a_{n}$ é um polinômio de grau 2, onde $\sum \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+...+\Delta a_{n}=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+...+(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+1}-a_{1}$
  • Como $\sum \Delta a_{n}={n(\Delta a_{1}+\Delta a_{n}) \over 2}={n(2\Delta a_{1}+(n-1)r) \over 2}$ que é um polinômio de grau 2
  • Tome $a_{n}=an+b$ um polinômio de ordem 1 $\Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)$ que nos diz que $(a_{n})$ é uma PA de ordem 1.