Análise real/PA

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:

Sequência estacionária[editar | editar código-fonte]

Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.

  • Ex. .
    • O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".

Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.

PA de ordem 1[editar | editar código-fonte]

Vamos definir PA de ordem 1 como uma sequência não-estacionária, tal que a diferença dos seus termos seja uma sequência estacionária.

Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes. Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.

  • Ex. é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".

Sequência diferença[editar | editar código-fonte]

Vamos definir o operador diferença e a sequência diferença .

  • Retomando o exemplo anterior . Vamos definir :
  • .
  • Assim

PA de ordem 3[editar | editar código-fonte]

  • Vamos tomar uma sequência cujo termo é determinado por um polinômio .
    • A sequência não é uma sequência estacionária.
  • Vamos tomar a sequência diferença de . Assim
    • Vemos que é diferente de .
    • Logo não é uma sequência estacionária.
    • Mas
  • Vamos tomar a sequência diferença de . Assim
    • Vemos que é diferente de .
    • Logo não é uma sequência estacionária.
    • Mas
  • Vamos tomar a sequência diferença de . Assim
    • Vemos que é igual de .
    • Logo é uma sequência estacionária.
    • Mas
  • Como é uma sequência estacionária, logo é uma PA de ordem 1, logo é uma PA de ordem 2, logo é uma PA de ordem 3.
    • Percebemos que sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
    • Percebemos que é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
    • Percebemos que é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
    • Percebemos que é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.

Somatório de uma PA[editar | editar código-fonte]

O somatório dos termos de uma PA de ordem 1, do primeiro ao enésimo-termo é dada por:

  • Percebemos que é um polinômio em n de grau 2.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • é um polinômio em n de grau 3.
    • Vemos que
    • .
    • é um polinômio em n de grau 4.
  • é um polinômio em n de grau 2.
    • Vemos que
    • é um polinômio em n de grau 3.
    • Vemos que
    • é um polinômio em n de grau 2.
    • Vemos que que é um polinômio de 1º grau.

grau e ordem de uma PA[editar | editar código-fonte]

Uma sequência é uma PA de ordem p se, e somente se, é um polinômio de grau p.

  • Vamos fazer indução sobre p
  • Vamos mostrar que é válido para p=1
    • Tome uma PA de ordem 1 que é um polinômio de grau 1
    • Tome um polinômio de ordem 1 que nos diz que é uma PA de ordem 1.
  • Vamos mostrar que é válido para p=2
    • Seja uma PA de ordem 2 é uma PA de ordem 1, ou seja
    • Assim é um polinômio de grau 2, onde
    • Como que é um polinômio de grau 2
    • Tome um polinômio de ordem 1 que nos diz que é uma PA de ordem 1.