Análise real/Desigualdades
Aspeto
Ordem entre dois números naturais
[editar | editar código-fonte]Um número "m" é menor que o outro "n", se existe um natural "p" tal que o maior "n" é igual ao menor "m" adicionado a esse natural "p":
Definiçao da ordem entre dois números naturais: .
- Ou seja, o maior "n" é o "p"-sucessor de "m", ié, .
- Ou também
Definição da Relação de Ordem(definição da desigualdade): .
É considerada uma definição, mesmo que possamos provar. Pois o "p" indica que se somarmos 1 p-vezes ao menor número, teremos o maior. Dessa maneira "m" é dito menor que "n".
Transitividade da relação de ordem
[editar | editar código-fonte]Teorema: .
Prova:
- Sejam . Pela definição da Relação de ordem, .
- Pela associatividade da adição dos naturais temos que .
- Pela definição da relação de ordem .
1 é o menor natural
[editar | editar código-fonte]Tomado qualquer natural diferente de 1, teremos que esse natural é maior que 1, isto é,
Teorema: .
Prova:
- Por indução sobre m, devemos mostrar que é válido para o primeiro m possível, que no caso é o sucessor de 1, que é 2, assim: 1<2.
- Devemos supor que seja válido para qualquer m tomado, ou seja, para quando m = k, ou seja, 1<k.
- Devemos agora, provar ser válido para m = k+1. No entanto, k+1 é o sucessor de k, logo k<k+1, como por hipótese da indução 1<k, pela transitividade da relação de ordem, 1<k+1.
o sucessor de um número é maior que esse número
[editar | editar código-fonte]Mostre que
- Vamos mostrar por indução sobre n, que
- Devemos mostrar que é válido para p = 1, ou seja, . Mas .
- Suponhamos que é válido para p = k, ou seja, .
- Como
- onde a implicação 1 é pela identidade de sucessão, a implicação 2 é pela sucessão de um natural, a implicação 3 é pela comutatidade da adição e a implicação 4 é pela definição de desigualdade.
o sucessor do emésimo-sucessor de um natural
[editar | editar código-fonte]Mostre que
- Vamos provar por indução sobre m:
- Vamos mostrar que é válido para m = 1, ou seja .
- Como tal que
- Suponha válido para m = k, ou seja,
- Mostrar válido para m = k + 1, ou seja,
- Como
- .
- onde as implicações 1 e 5 são pela definição de desigualdade, a implicação 2 pela identidade de sucessão, a implicação 3 é pela definição de sucessor e a implicação 4 é pela definição de k-sucessor.
Monotonicidade
[editar | editar código-fonte]Dados dois naturais, a relação de ordem não se perde somando ou multiplicando um natural qualquer por ambos os membros.
Teorema:
Prova:
- adição:
- Por hipótese temos que m<n. Pela definição da desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n.
- Pela recíproca da lei de corte para adição, temos que .
- Pela lei comutativa da adição, temos que m+p+q = n+p, logo m+p<n+p.
- multiplicação: Como m<n, pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n, assim , pela lei distributiva, temos que m.p+q.p = n.p, logo
Tricotomia
[editar | editar código-fonte]Dados . Das três possibilidades, somente uma é verdadeira:
- 1) m = n
- 2) m<n
- 3) n<m.
- Demonstração: Fixemos m natural. Queremos mostrar que para qualquer n, natural, dado, teremos que m = n ou m<n ou n<m (isto é, m e n são comparáveis).
- Suponha que exista um conjunto X, subconjunto dos números naturais que são comparáveis com m. Assim .
- Vamos provar que por indução sobre n.
- Devemos mostrar que é válido para n = 1, isto é, 1=m ou 1<m ou m<1:
- caso m = 1, então 1 = 1
- caso m é natural e diferente de 1, pelo axioma de que "1 é o menor natural", então 1 < m.
- Portanto 1 é comparável com m e
- Vamos supor que é válido para , ou seja, das três possibilidade, uma é verdadeira, k=m ou k<m ou m<k e assim .
- provar válido para n = k+1, ou seja, que das três possibilidade, uma é verdadeira, k+1=m ou k+1<m ou m<k+1 e assim .
- caso k=m, logo k+1=m+1, e assim k+1 é o sucessor de m, e portanto m<k+1 e .
- caso k<m, pelo axioma da ordem de dois números .
- caso .
- caso 1<p, pela monotonicidade k+1<k+p. Como k+p = m, logo .
- Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto .
- caso m<k, pelo axioma da ordem de dois números .
- caso logo pela transitividade da relação de ordem, .
- caso 1<p, pela monotonicidade, m+1<m+p. Pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+1+q=m+p. Como m+p = k, logo m+1+q=k, e assim m+1+q+1 = k+1, portanto m+1<k+1. Como m<m+1, pela transitividade da relação de ordem m < k+1 .
- Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto .
- Devemos mostrar que é válido para n = 1, isto é, 1=m ou 1<m ou m<1:
relatividade entre múltiplos de um natural
[editar | editar código-fonte]Sejam
- Vamos fixar m e n naturais. Faremos a indução sobre p, assim:
- para quando p = 1, temos que
- Suponha que seja válido para p = k, isto é, que .
- Mostrar válido para p = k+1, ou seja, que .
- Pela propriedade distributiva .
- Por hipóteses .
- Pela comutatividade da adição .
- Pela propriedade distributiva
- Tomemos , assim .
Lei do Corte para desigualdades
[editar | editar código-fonte]Dados m,n,p naturais, de forma que ou que , então ocorre em ambas que m < n.
- adição. Como . Pela definição de ordem, existe um q natural tal que . Pela comutatividade da adição, . Pela lei do corte da adição, m+q=n. Pela relação de ordem entre dois números, m<n.
- multiplicação.
- 1ª Prova: Como . Pela definição de ordem, existe um r natural tal que .
- Pela relatividade entre dois múltiplos naturais, temos que . Pela propriedade distributiva, . Pela lei do corte da multiplicação, . Pela relação de ordem entre dois números, .
- 2ª prova: ou Pela tricotomia, temos que dados m,n naturais temos que m=n ou m<n ou n<m.
- caso m=n, logo mp=np (não atende nossa hipótese)
- caso n<m, logo pela monotonicidade temos que np<mp, para qualquer p natural (também não atende a nossa hipótese)
- logo m<n, pois as outras duas possibilidades são incompatíveis com a nossa hipótese e pela tricotomia uma das três comparações é verdade.
- 1ª Prova: Como . Pela definição de ordem, existe um r natural tal que .