Seja
uma função real. Definimos a oscilação de
em um intervalo
contido em
como:
![{\displaystyle {\hbox{osc}}_{[a,b]}(f):=\sup _{[a,b]}f(x)-\inf _{[a,b]}f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85278f888c11fe6d95ad3480ac22ac67ee089f39)
- Se
é um função não decrescente, então:
![{\displaystyle {\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c38faf1b0d1cfbcc58dd7454e0a5cf5e61c14fc)
- Se
é um função não crescente, então:
![{\displaystyle {\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d49a101a31b5222bb17cad5d437d918f9391d48)
Seja
uma função real. Definimos a variação de
em um partição
de um intervalo
contido em
como:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5821bd712e4cdb3bb51da6a479bf35ca53c39f56)
1. Seja P uma partição cujos extremos são
and
e seja
uma função real definida em um domínio
então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{P}(f),~~\forall \alpha \in \mathbb {R} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8940487aad13f88b1f8ec9ca062cc4bd5ee2cb77)
- Demonstração
Imediato da definição.
2. Seja P uma partição cujos extremos são
and
e seja
uma função monótona definida em um domínio
então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7132d68bef8d012fb8f2705652294f0c39fdef4)
- Demonstração
Considere, sem perda de generalidade, que
é uma função crescente, da definição de variação temos:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5821bd712e4cdb3bb51da6a479bf35ca53c39f56)
Como
, temos que
, logo:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})-f(x_{i-1})=f(x_{n})-f(x_{0})=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52802ff15e2013b40b1559f7ecf29791c397602)
3. Seja P uma partição cujos extremos são
and
e sejam
e
funções reais definidas em um domínio
então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85800965952906aefbce291443c806c297121d09)
- Demonstração
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hbox{var}}_{P}(f+g)&:=&\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})+g(x_{1})-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left(\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_{i})-g(x_{i-1})\right|\right)\\&=&{\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\end{array}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cac4f411331ce8c85a7f497fe291c3465d2f114)
4. Seja P uma partição cujos extremos são
and
e
uma função real definida em um domínio
então, se P' é um refinamento de P
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}f\leq {\hbox{var}}_{P'}(f)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eff82021f301815d681c90c0df1b22a9461ea1d)
- Demonstração
Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto
. Como a seguinte desigualdade é válida:
![{\displaystyle \left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a08b588fd24e28f721268c1b7568dc1f9a7f37)
o resultado segue.
Seja
uma função real. Definimos a variação de
em um intervalo
contido em
como:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f):=\sup _{P\in \mathbb {P} }{\hbox{var}}_{P}(f)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89a589050852eca93125845530c282906d13b91)
O supremo é tomado em
, o conjunto de todas as possíveis partições de
.
As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.
1. Se
é um função monótona, então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5912f2b75beeb4e2f399b4d75b9c725a2bf9b9)
2. Se
uma função real, então:
, sempre que
.
3. Se
e
são funções reais, vale
,
4. Se
uma função real, então:
,
5. Se
uma função real, então:
,
Diz-se que uma função real
é de variação limitada em um intervalo
se e somente se:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3a5d9b331b9c3b50d51371fd5fb818aa3882a2)
Seja
uma função de classe
, então:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc8a642ed17c72d7d85af189c4624806df6fbbc)
- Demontração
Primeiro observamos que se
é uma partição do intervalo
, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{P}{f}=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|f'(x_{i}^{*})\right|(x_{i}-x_{i-1}),~~~x_{i}^{*}\in (x_{i-1},x_{i})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346489c414cdea57a9d7df1ad92ac28ac26e3010)
Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições
tal que:
![{\displaystyle 0\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)-{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)\leq 1/k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a653fac235fc9bdd2bede162eb6a0f89dc4fcb)
Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições
está convergindo para zero. Assim:
![{\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\lim _{k\to \infty }{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{n_{k}}\left|f'(x_{i}^{k}*)\right|(x_{i}^{k}-x_{i-1}^{k})=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c674e8700f3e77bfbfe794d54a42c828c9c3d53)
Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.
- Demontração
a.Seja
uma função de variação limitada em
. Define-se a função
da seguinte forma:
![{\displaystyle F(x_{0},x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}\leq x\\-{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}>x\\\end{array}}\right.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0977bdd557f0246923435333d7c432a9904d7e41)
Fixando um
é uma função não decrescente em
.
Agora define-se:
.
É fácil ver que
. Resta-nos provar que tanto
como
são funções não decrescentes. Para tal, seja
e fazemos a seguinte estimativa:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}p(y)-p(x)&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)+f(y)\right]-{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)+f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)-F(x_{0},x)\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[{\hbox{var}}_{[y,x](f)}\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e1979e7501e98ccfd46e4f1289cb093d3934eb)
Da penúltipla para a última linha usamos
e depois observamos que
.
A demontração sendo perfeitamente análoga para a função
, o resultado segue.
Considere a função:
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257d1eb04ff54ffbade9f0987e92fa23edab8cbc)
Esta função não é de variação limitada no intervalo
. Para provar isso considere o seguintes pontos:
![{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adef4fac973af5e00ffa11f6348a45ac1de8367)
Assim
![{\displaystyle \left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf4d40832c04965c9803d7f1bbea73fe8b5eb5)
Portanto,