Análise real/Variação total

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Oscilação[editar | editar código-fonte]

Seja uma função real. Definimos a oscilação de em um intervalo contido em como:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se é um função não decrescente, então:
  • Se é um função não crescente, então:

Variação em uma partição[editar | editar código-fonte]

Seja uma função real. Definimos a variação de em um partição de um intervalo contido em como:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

1. Seja P uma partição cujos extremos são and e seja uma função real definida em um domínio então:

Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são and e seja uma função monótona definida em um domínio então:

Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que é uma função crescente, da definição de variação temos:

Como , temos que , logo:

3. Seja P uma partição cujos extremos são and e sejam e funções reais definidas em um domínio então:

Demonstração


4. Seja P uma partição cujos extremos são and e uma função real definida em um domínio então, se P' é um refinamento de P

Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto . Como a seguinte desigualdade é válida:

o resultado segue.

Variação total[editar | editar código-fonte]

Seja uma função real. Definimos a variação de em um intervalo contido em como:

O supremo é tomado em , o conjunto de todas as possíveis partições de .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se é um função monótona, então:

2. Se uma função real, então:

, sempre que .

3. Se e são funções reais, vale

,

4. Se uma função real, então:

,

5. Se uma função real, então:

,

Função de variação limitada[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função real é de variação limitada em um intervalo se e somente se:

Teorema[editar | editar código-fonte]

Seja uma função de classe , então:

Demontração

Primeiro observamos que se é uma partição do intervalo , podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições tal que:

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições está convergindo para zero. Assim:

Teorema[editar | editar código-fonte]

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja uma função de variação limitada em . Define-se a função da seguinte forma:

Fixando um é uma função não decrescente em .

Agora define-se:

.

É fácil ver que . Resta-nos provar que tanto como são funções não decrescentes. Para tal, seja e fazemos a seguinte estimativa:

Da penúltipla para a última linha usamos e depois observamos que .

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função , o resultado segue.

Existência de uma função contínua que não é de variação limitada[editar | editar código-fonte]

Considere a função:

Esta função não é de variação limitada no intervalo . Para provar isso considere o seguintes pontos:

Assim

Portanto,