Análise real/Variação total

Oscilação

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a oscilação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• ${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f):=\sup _{[a,b]}f(x)-\inf _{[a,b]}f(x)\,$

Propriedades

• Se $f\,$ é um função não decrescente, então:

${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(b)-f(a)\,$

• Se $f\,$ é um função não crescente, então:

${\hbox{osc}}_{[a,b]}(f)=f(a)-f(b)\,$

Variação em uma partição

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um partição $P:=\left\{x_{0}:=a,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}:=b\right\}\,$ de um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• ${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

Propriedades

1. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:

${\hbox{var}}_{P}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{P}(f),~~\forall \alpha \in \mathbb {R} \,$

Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função monótona definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:

${\hbox{var}}_{P}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que $f\,$ é uma função crescente, da definição de variação temos:

${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

Como $x_{i}\geq x_{i-1}\,$, temos que $\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=f(x_{i})-f(x_{i-1})\geq 0\,$, logo:

${\hbox{var}}_{P}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})-f(x_{i-1})=f(x_{n})-f(x_{0})=f(b)-f(a)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

3. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e sejam $f:D\to \mathbb {R} \,$ e $g:D\to \mathbb {R} \,$ funções reais definidas em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então:

${\hbox{var}}_{P}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\,$

Demonstração

${\begin{array}{rcl}{\hbox{var}}_{P}(f+g)&:=&\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})+g(x_{1})-f(x_{i-1})-g(x_{i-1)}\right|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left(\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|+\left|g(x_{i})-g(x_{i-1})\right|\right)\\&=&{\hbox{var}}_{P}(f)+{\hbox{var}}_{P}(g)\end{array}}\,$

4. Seja P uma partição cujos extremos são $x_{0}=a\,$ and $x_{n}=b\,$ e $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real definida em um domínio $D\supset [a,b]\,$ então, se P' é um refinamento de P

${\hbox{var}}_{P}f\leq {\hbox{var}}_{P'}(f)\,$

Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto $x_{k-1}\leq x'\leq x_{k}\,$. Como a seguinte desigualdade é válida:

$\left|f(x_{k-1})-f(x_{k})\right|\leq \left|f(x_{k-1})-f(x')\right|+\left|f(x')-f(x_{k})\right|\,$

o resultado segue.

Variação total

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função real. Definimos a variação de $f\,$ em um intervalo $[a,b]\,$ contido em $D\,$ como:

• ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f):=\sup _{P\in \mathbb {P} }{\hbox{var}}_{P}(f)\,$

O supremo é tomado em $\mathbb {P} \,$, o conjunto de todas as possíveis partições de $[a,b]\,$.

Propriedades

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se $f\,$ é um função monótona, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

2. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)\geq {\hbox{var}}_{[c,d]}(f)\,$, sempre que $a\leq c\leq d\leq b\,$.

3. Se $f\,$ e $g\,$ são funções reais, vale

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}(g)\,$,

4. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{[a,b]}(f),~~\forall ~\alpha \in \mathbb {R} \,$,

5. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,c]}(f)={\hbox{var}}_{[c,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[b,c]}(f),~~\forall ~c\in [a,b]\,$,

Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to \mathbb {R} \,$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]\,$ se e somente se:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)\leq \infty \,$

Teorema

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função de classe $C^{1}[a,b]\,$, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,$

Demontração

Primeiro observamos que se $P\,$ é uma partição do intervalo $[a,b]\,$, podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

${\hbox{var}}_{P}{f}=\sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|f'(x_{i}^{*})\right|(x_{i}-x_{i-1}),~~~x_{i}^{*}\in (x_{i-1},x_{i})\,$

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições $P_{k}=\left(x_{0}^{k},x_{1}^{k},\ldots ,x_{n_{k}}^{k}\right),\,$ tal que:

$0\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)-{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)\leq 1/k\,$

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições $P_{k}\,$ está convergindo para zero. Assim:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\lim _{k\to \infty }{\hbox{var}}_{P_{k}}(f)=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{n_{k}}\left|f'(x_{i}^{k}*)\right|(x_{i}^{k}-x_{i-1}^{k})=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,$

Teorema

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função de variação limitada em $D\,$. Define-se a função $F:D^{2}\to \mathbb {R} \,$ da seguinte forma:

$F(x_{0},x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}\leq x\\-{\hbox{var}}_{[x_{0},x]}(f),&x_{0}>x\\\end{array}}\right.\,$

Fixando um $x_{0}\in D\,$ é uma função não decrescente em $x\,$.

Agora define-se:

${\begin{array}{l}p(x)={\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)+f(x)\right]\\~\\q(x)={\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)-f(x)\right]\end{array}}$.

É fácil ver que $f(x)=p(x)-q(x)\,$. Resta-nos provar que tanto $p(x)\,$ como $q(x)\,$ são funções não decrescentes. Para tal, seja $y>x\,$ e fazemos a seguinte estimativa:

${\begin{array}{rcl}p(y)-p(x)&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)+f(y)\right]-{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},x)+f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[F(x_{0},y)-F(x_{0},x)\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\\&=&{\frac {1}{2}}\left[{\hbox{var}}_{[y,x](f)}\right]+{\frac {1}{2}}\left[f(y)-f(x)\right]\geq 0\end{array}}$

Da penúltipla para a última linha usamos $F(x_{0},y)-F(x_{0},x)={\hbox{var}}_{[x_{0},y](f)}-{\hbox{var}}_{[x_{0},x](f)}={\hbox{var}}_{[x,y](f)}$ e depois observamos que ${\hbox{var}}_{[x,y](f)}\geq \left|f(x)-f(y)\right|$.

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função $q(x)\,$, o resultado segue.

Existência de uma função contínua que não é de variação limitada

Considere a função:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.$

Esta função não é de variação limitada no intervalo $[0,1]\,$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

$x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,$

Assim

$\left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,$

Portanto, ${\hbox{var}}_{[0,1]}(f)\geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty \,$