Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.
Seja
;
;
;
Dizemos que
é contínua em
se, e somente se, para todo
, existe um
tal que:

Seja
;
;
;. Dizemos que
é contínua em
se
é contínua em
, para todo
.
Dizemos que
em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em
.
Se
é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que
.
- A função identidade
é contínua em toda a reta. De fato, dado
e
real, tomando
, temos que, se
.
- A função quadrado
também é contínua em toda a reta.
Demonstração
Dado
, e
real, temos
.
Como estamos trabalhando com
próximo de
, temos
, para algum
real.
Definindo
, se
.
Portanto
é contínua em
, para todo
real.
- A função
é contínua em toda a reta para qualquer natural n.
Demonstração
Fixemos um ponto
e
, e procedemos com a fatoração da potência:

Definamos, agora,
![{\displaystyle \delta =\min \left[{\frac {\varepsilon }{n(|x_{0}|+1)^{n-1}}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1785b342b1250566988eab7bb9d44eec9f55c6f)
Por definição,
, portanto, se
, temos:

Assim:

Sejam
funções contínuas e
um número real, então valem as seguintes propriedades:
é contínua;
é contínua;
é contínua;
é contínua em todos os pontos onde
não se anula.
Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:
é descontínua em
se, e somente se, houver duas seqüências
e
tal que
.
Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:
Se
e
são contínuas, então a composição
é contínua sobre A.
Seja
;
.
Uma vez que f é contínua,
.
Desde que g é contínua,
.
Assim
, por isso
é contínua sobre A.
Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.
Seja f(x) uma função contínua. Se
e
, então
.
Seja
, e seja
.
Seja
. Pela continuidade,
.
Se f(c) < m, então
, por isso
. Mas então
, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.
Se f(c) > m, desde então
,
. Mas desde que
, por isso
= m, o que implica que
, uma contradição.
Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.
Seja
contínuo
Então
(i)
é limitado
(ii)Se
são respectivamente o limite superior e inferior do
, então existem
tais que
(i)Suponhamos que, se possível
é ilimitado.
Seja
. Em seguida,
é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados
e
(para outra,
seria ilimitada sobre
contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo
.
Similarmente, partindo
em dois intervalos fechados e deixar
ser um dos quais
é ilimitado.
Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes
tais que
é ilimitada sobre cada um deles.
Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja
Como
é contínua em
, existe
tal que
Mas, por definição, existe sempre
tal que
, contradizendo a hipótese de que
é ilimitado sobre
. Assim,
é limitada sobre
(ii) Considere-se, se possível,
mas
.
Considere a função
. Pela propriedade algébricas de continuidade,
é contínuo. No entanto,
sendo um ponto relativo de
,
é ilimitado sobre
, contradizendo (i). Daí,
. Da mesma forma, podemos mostrar que
.
Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.
Seja 
Seja
é contínua em
se, e somente se, para cada vizinhança aberta
de
, existe uma vizinhança aberta
de
tal que
Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.
Seja 
Seja 
Dizemos que
é uniformemente contínua sobre
se, e somente se, para cada
existe
tal que, se
e
então
Continudade no wiki em inglês