Análise real/Continuidade

Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

Definição (Continuidade em um Ponto)

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$; $f:A\to \mathbb {R}$; $c\in A$; Dizemos que $f(x)\;$ é contínua em $c\;$ se, e somente se, para todo $\epsilon >0\,$, existe um $\delta >0\,$ tal que:

• $x\in A,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$

Definição (Continuidade em um Conjunto)

Seja $A\subset D\subseteq \mathbb {R}$; $f:A\to \mathbb {R}$; $c\in A$;. Dizemos que $f$ é contínua em $A\;$ se $f$ é contínua em $c\;$, para todo $c\in A$.

Dizemos que $f\;$ em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em $A$.

Se $A\;$ é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$.

Exemplos

• A função identidade $f(x)=x$ é contínua em toda a reta. De fato, dado $\epsilon >0$ e $x_{0}$ real, tomando $\delta =\epsilon$, temos que, se $|x-x_{0}|<\delta =\epsilon$.

• A função quadrado $f(x)=x^{2}$ também é contínua em toda a reta.

Demonstração

Dado $\epsilon >0$, e $x_{0}$ real, temos

$|x^{2}-(x_{0})^{2}|=|x+x_{0}||x-x_{0}|$.

Como estamos trabalhando com $x$ próximo de $x_{0}$, temos

$|x+x_{0}|<C$, para algum $C$ real.

Definindo $\delta =\epsilon /C$, se

$|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |x-x_{0}|<\epsilon /C\Rightarrow |x+x_{0}||x-x_{0}|<C|x-x_{0}|<\epsilon$.

Portanto $f$ é contínua em $x_{0}$, para todo $x_{0}$ real.

• A função $f(x)=x^{n}\,$ é contínua em toda a reta para qualquer natural n.

Demonstração

Fixemos um ponto $x_{0}\in \mathbb {R} \,$ e $\varepsilon >0\,$, e procedemos com a fatoração da potência:

$f(x)-f(x_{0})=x^{n}-x_{0}^{n}=(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}$

Definamos, agora,

$\delta =\min \left[{\frac {\varepsilon }{n(|x_{0}|+1)^{n-1}}},1\right]$

Por definição, $\delta \leq 1\,$, portanto, se $\left|x-x_{0}\right|<\delta \,$, temos:

$|x|=|x_{0}+(x-x_{0})|\leq |x_{0}|+|x-x_{0}|\leq |x_{0}|+\delta \leq |x_{0}|+1\,$

Assim:

$\left|f(x)-f(x_{0})\right|=\left|(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}\right|\leq \delta \sum _{k=0}^{n-1}|x^{k}|\cdot |x_{0}|^{n-k-1}\leq \varepsilon$

Proposição (Operações com funções Contínuas)

Sejam $f,g:D\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ funções contínuas e $\lambda$ um número real, então valem as seguintes propriedades:

• $f+g\;$ é contínua;
• $fg\;$ é contínua;
• $\lambda f\;$ é contínua;
• $f/g\;$ é contínua em todos os pontos onde $g\;$ não se anula.

Descontinuidade

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:

• $f(x)$ é descontínua em $c\;$ se, e somente se, houver duas seqüências $(x_{n})\rightarrow c$ e $(y_{n})\rightarrow c$ tal que $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$.

Composição

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

Teorema

Se $f:B\rightarrow \mathbb {R}$ e $g:A\mapsto B$ são contínuas, então a composição $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ é contínua sobre A.

Prova

Seja $\epsilon >0$; $c\in A$.

Uma vez que f é contínua, $\exists \delta _{1}>0:|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.

Desde que g é contínua, $\exists \delta _{2}>0:|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}$.

Assim $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon$, por isso $(f\circ g)(x)$ é contínua sobre A.

O Teorema do Valor Intermediário

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

Teorema (do Valor Intermediário)

Seja f(x) uma função contínua. Se $a<b\;$ e $f(a)<m<f(b)\;$, então $\exists c\in (a,b):f(c)=M$.

Prova

Seja $S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}$, e seja $c=\sup S$.

Seja $\epsilon =|f(c)-m|$. Pela continuidade, $\exists \delta :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.

Se f(c) < m, então $|f(c+{\frac {\delta }{2}})-f(c)|<\epsilon$, por isso $f(c+{\frac {\delta }{2}})<f(c)+\epsilon =m$. Mas então $c+{\frac {\delta }{2}}\in S$, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.

Se f(c) > m, desde então $c=\sup S$, $\exists x:x\in S,c>x>c-\delta$. Mas desde que $|x-c|<\delta ,\;|f(x)-f(c)|<\epsilon$, por isso $f(x)>f(c)-\epsilon$ = m, o que implica que $x\notin S$, uma contradição. $\Box$

Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

Teorema Mínimo-Máximo

Seja $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ contínuo

Então
(i)$f([a,b])$ é limitado

(ii)Se $M,m$ são respectivamente o limite superior e inferior do $f([a,b])$, então existem $c,d\in [a,b]$ tais que $f(c)=M,f(d)=m$

Prova

(i)Suponhamos que, se possível $f$ é ilimitado.

Seja $x_{1}={\tfrac {a+b}{2}}$. Em seguida, $f\;$ é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados $[a,x_{1}]$ e $[x_{1},b]\;$ (para outra, $f\;$ seria ilimitada sobre $[a,b]$ contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo $I_{1}$.

Similarmente, partindo $I_{1}$ em dois intervalos fechados e deixar $I_{2}$ ser um dos quais $f$ é ilimitado.

Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes $[a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots$ tais que $f\;$ é ilimitada sobre cada um deles.

Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja $x_{0}\in I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots$

Como $f(x)\;$ é contínua em $x=x_{0}$, existe $\delta >0$ tal que $x\in V_{\delta }(x_{0})\implies f(x)\in (f(x_{0})-1,f(x_{0})+1)$ Mas, por definição, existe sempre $k\in \mathbb {N}$ tal que $I_{k}\subseteq V_{\delta }(x_{0})$, contradizendo a hipótese de que $f\;$ é ilimitado sobre $I_{k}$. Assim, $f\;$ é limitada sobre $[a,b]$

(ii) Considere-se, se possível, $M=\sup(f([a,b]))$ mas $M\notin f([a,b])$.

Considere a função $g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}$. Pela propriedade algébricas de continuidade, $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ é contínuo. No entanto, $M\;$ sendo um ponto relativo de $f([a,b])$, $g(x)\;$ é ilimitado sobre $[a,b]$, contradizendo (i). Daí, $M\in f([a,b])$. Da mesma forma, podemos mostrar que $m\in f([a,b])$.

Uso Geral

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

Teorema

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$
Seja $f:A\to \mathbb {R}$

$f(x)$ é contínua em $x=c\;$ se, e somente se, para cada vizinhança aberta $V$ de $f(x)\;$, existe uma vizinhança aberta $U$ de $x$ tal que $U\subseteq f^{-1}(V)$

Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

Continuidade uniforme

Seja $A\subseteq \mathbb {R}$
Seja $f:A\to \mathbb {R}$

Dizemos que $f\;$ é uniformemente contínua sobre $A\;$ se, e somente se, para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que, se $x,y\in A$ e $|x-y|<\delta$ então $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Ver também

Continudade no wiki em inglês