Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação
tais que f(x) é o único elemento de Y para cada
. Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos
para
.
A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:
Dado um subconjunto
e uma função
, nós dizemos que o
A exigência
é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.
Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta:
significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.
Sejam
uma função definida em um conjunto
e
. Diz-se que existe o limite de
quando
tende a
e denota-se por:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b52333d41e6f4bfa201256e39255aafbd5e0fa1)
quando existe um
com a propriedade de que, para todo
, existe um
tal que:
![{\displaystyle 0<\left|x-x_{0}\right|\leq \delta \Longrightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a421f28825c656e152885de9eb4bb7835481206a)
Observe cuidadosamente que
não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale
.
Seja
.
Se
, então
Pela definição de limite temos
- (1)
![{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies |f(x)-L_{1}|<{\epsilon \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fac672e149a09959865bc8426e9641ef7277ee2)
- (2)
![{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;\delta >0;\;x\in A;|x-x_{0}|<\delta _{2}\implies |f(x)-L_{2}|<{\epsilon \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d96780f1a5263123f380807f3332e374bfcfd)
Seja
. Como
logo
De fato
.
Sejam
.
, então ![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b523793b7831ccb35fd1e2fbd7a57b5e1202e9d2)
![{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L\implies \forall \epsilon >0,\exists \delta _{1}>0;x\in D;|x-x_{0}|<\delta _{1}\implies L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5fdd3576eb6ae88b9860b20b7d2223c4178e7a)
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Limite Sequencial
Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:
Dado um subconjunto
e uma função
, dizemos que o
se
tal que
, e
Note-se que o requisito
corresponde com a exigência
.
Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:
Se
, e
, então
não existe.
Seja
Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:
- Dizemos que
se
.
- Dizemos que
se ![{\displaystyle \forall M>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6facb82a738e416a268bd41e1a87adefe0c8e250)
- Dizemos quet
se
.
- Dizemos quet
se
.
Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite
como
.