Análise real/Limites

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Definição[edit | edit source]

Lembrar que uma função de um conjunto X para um conjunto Y é uma aplicação tais que f(x) é o único elemento de Y para cada . Na análise, temos tendência para falar de funções a partir de subconjuntos para .

A definição para o limite de uma função é quase a mesma que a definição de uma seqüência. De fato, como veremos mais adiante, é possível definir limites funcionais, em termos de limites seqüenciais. Para o momento, porém, vamos apenas dar a definição:

Dado um subconjunto e uma função , nós dizemos que o

A exigência é um pouco técnico. É uma expressão que da a idéia de que o comportamento de uma função perto de um ponto não deve ser prejudicado pelo seu comportamento no ponto. Desta forma f(x) não precisa ser definida em c para ter um limite aí.

Esta definição dá um monte de problemas para um monte de gente, por isso é melhor passar algum tempo intrigante com isso, exemplos de trabalho, etc. Uma forma de conceituar a definição é esta: significa que nós podemos fazer f(x) tão próximo quanto gostarmos de L, fazendo x perto de c.

Limite em um ponto de acumulação[edit | edit source]

Sejam uma função definida em um conjunto e . Diz-se que existe o limite de quando tende a e denota-se por:

quando existe um com a propriedade de que, para todo , existe um tal que:

Observe cuidadosamente que não precisa estar definido e, quando está, não necessariamente vale

.

Teorema (Unicidade do limite)[edit | edit source]

Seja .
Se , então

Prova[edit | edit source]

Pela definição de limite temos

  • (1)
  • (2)

Seja . Como logo
De fato .

Teorema (do Confronto aplicado no limite)[edit | edit source]

Sejam .

  • , então

Prova[edit | edit source]

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Limite Sequencial

Poderíamos muito bem ter dado a seguinte definição do limite:

Dado um subconjunto e uma função , dizemos que o se tal que , e

Note-se que o requisito corresponde com a exigência .

Como um exercício para testar sua compreensão, prove que estas duas definições são equivalentes. Note-se que tendo o contrapositive dá um bom critério para determinar se ou não uma função diverge:

Se , e , então não existe.

Comportamento de uma Função Composta sendo aplicado a um limite[edit | edit source]

Seja

Teorema (função composta aplicado no Limite)[edit | edit source]

Limites Laterais[edit | edit source]

Limites no infinito[edit | edit source]

Podemos definir o que significa para uma função divergir para o infinito, e o que significa para uma função ter um limite no infinito:

  • Dizemos que se .
  • Dizemos que se
  • Dizemos quet se .
  • Dizemos quet se .

Como exercício, veja se você pode definir o que significa para uma função ter limite como .

Valor de aderência de uma função[edit | edit source]

Ver Também[edit | edit source]