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É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:
![{\displaystyle Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa565ba27bb006a3b94eb6a632c3e3f8998ad0b1)
- Ex:
- Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais
A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:
- Veremos mais para frente que
ao qual são três conjuntos disjuntos
- Temos que
.
Propriedades Básicas:
- NULO:
- Basta verificarmos que
e depois que
. Assim ![{\displaystyle \forall \;x\in A\cup \varnothing \Leftrightarrow x\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d3fe3e79db433d850d498bd0e050ae29eb7ea0)
- IDENTIDADE:
![{\displaystyle \forall \;x\in A\cup A\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515a127e41817d23ac43ca21dfdb4b3e2def45d8)
- COMUTATIVIDADE:
![{\displaystyle \forall \;x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf868a14cf40abdf2ad11910d38fb0fd622a583)
- SUBCONJUNTO:
![{\displaystyle \Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B,\;teremos\;x\in A\Rightarrow B\subset A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ea529515b92b7f1301567d202cd83312795d47)
.
![{\displaystyle \forall \;x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B,\;como\;B\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.\;Portanto\;A\cup B=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d273967e4ece28080e62d9b47990823756ddf02)
- ASSOCIATIVA:
![{\displaystyle \forall \;x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884f5310bbb4a7ce907a7d2826bc2875e1fe8e28)
![{\displaystyle \forall \;x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;ou\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cup D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f8276f048d3f8efab970a6b83330fb4749de7a)
A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:
![{\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\},\;ou\;seja\;,x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132767d7b7becd422b95a04a33d2b5e43c4638d6)
Exemplos:
- NULO:
![{\displaystyle \forall x\in A\cap \varnothing \Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in \varnothing .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3403c4f2a549a275e2ad70eb6f7d55aa14155dd)
- IDENTIDADE:
![{\displaystyle \forall x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e8e7a4ae07f6bc25fbc03605672a1b31f04136)
- COMUTATIVIDADE:
![{\displaystyle \forall x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f7e101004974307216b623ebd62c0756bd7ba9)
- SUBCONJUNTO:
![{\displaystyle \Rightarrow :\forall x\in B,\;como\;B\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d4becffd26a35bd3880934c7f14a3d985e3a0a)
.
![{\displaystyle \forall x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.\;Portanto\;A\cap B=B\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cb408e19597d406a5ff4e95e906ad96b3358e7)
- ASSOCIATIVA:
![{\displaystyle \forall \;x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\;e\;x\in C\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;e\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\;e\;x\in C\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbfcee9aad1c351a4572d25f56764fe832e0a21)
![{\displaystyle \Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1235d767d35cc89d5513b60415da638f0052d5b)
![{\displaystyle \forall x\in A\cap C\Rightarrow x\in A\;e\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;e\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cap D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4bfdd00af729a6a5d96aa5040c05dd2159de4)
A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:
.
significam a mesma coisa.
.
.
.
. Logo
.
.
.
![{\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80276679682d8d977e4ae18838a856fa2d72f684)
![{\displaystyle Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa95ca094833bcd1652c12411d799894fe2730e)
.
.
.
- Suponha que
. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Analogamente
.
. Como ![{\displaystyle A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d4a4e25ebee80616de519985b74ce467a9e19f)
![{\displaystyle (A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b019c06dd7b3e235cb3c9427618ef35051bbe8)
![{\displaystyle \therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae6382887768f344868de2970f3ee7715743e31)
- Definição 1:
![{\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup B\;e\;x\not \in A\cap B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27122eae649360ce5b6d0fe13f8d66de097b32e2)
- Definição 2:
![{\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03efb74d408a1fe9c2d96c7355ded068a7de067d)
Teorema: Mostrar que
Prova:
![{\displaystyle \Rightarrow [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\in B]\land [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\not \in A]\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce3a41638533b88059acaa17c9aded7024fd96c)
![{\displaystyle \Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cca30bc1a7819853309871abfe1c476c55d904)
![{\displaystyle \Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in B^{C}\lor x\in A^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B^{C}\cup A^{C})]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B\cap A)^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\not \in (B\cap A)]\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61897fef5841560531f7666e4663280220f1408)
![{\displaystyle [x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec766fcc4b9c2f4f3496c23aa1bce4b9e6f76adf)
![{\displaystyle \Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a1304be2b14957df99a3dd4a6fd557cbb5dc3b)
Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:
![{\displaystyle \Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;ou\;(x\in A\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cap B\;ou\;x\in A\cap C\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103fcbea1821bdb372bc986c8b9dd40026ca4fd6)
![{\displaystyle \Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;e\;(x\in A\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup B\;e\;x\in A\cup C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3716946d9debd9ae0d286d988c2795dfe15bb3fa)
. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que
.
, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese,
, é suficiente para dizermos que ![{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba1a3c108149bdf94a1569e201064330b444e89)