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Análise real/Operação

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Operações entre conjuntos

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É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

  • Ex:
    • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

    • Veremos mais para frente que ao qual são três conjuntos disjuntos
  • Temos que .

Propriedades Básicas:

  • NULO:
    • Basta verificarmos que e depois que . Assim
  • IDENTIDADE:
  • COMUTATIVIDADE:
  • SUBCONJUNTO:
    • .
  • ASSOCIATIVA:

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

Exemplos:

  • NULO:
  • IDENTIDADE:
  • COMUTATIVIDADE:
  • SUBCONJUNTO:
    • .
  • ASSOCIATIVA:

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

  • .
  • significam a mesma coisa.
    • .
    • .
    • .
      • . Logo .
      • .
    • .
      • .
  • .
  • .
    • Suponha que . Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.
  • .
    • .
    • .
  • .
    • .
    • .
      • .
      • .
  • .
    • .
    • . Analogamente .
    • . Como

Diferença Simétrica

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  • Definição 1:
  • Definição 2:
Teorema: Mostrar que 

Prova:

Distributividade do conjuntos

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Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

    • . Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que .
    • , que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, , é suficiente para dizermos que