Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais

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Números racionais e frações[editar | editar código-fonte]

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Exemplo:

Frações.png

+ =

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições[editar | editar código-fonte]

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

= { / = com e }

Decimais[editar | editar código-fonte]

Decimais exatos[editar | editar código-fonte]

=

=

Decimais periódicos[editar | editar código-fonte]

= (a)

= (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica[editar | editar código-fonte]

Dízima simples[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Dízima composta[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

=> + = + = =

Conversão entre dízima e fração[editar | editar código-fonte]

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, .

Tipos de frações[editar | editar código-fonte]

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

Divisão[editar | editar código-fonte]

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

÷

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Que se resolve como mostrado acima.

Adição[editar | editar código-fonte]

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

       

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

O denominador comum é mantido:

Subtração[editar | editar código-fonte]

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação[editar | editar código-fonte]

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Radiciação[editar | editar código-fonte]

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Simplificação de frações[editar | editar código-fonte]

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

Comparação entre frações[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

  ?  

O MMC entre 5 e 7 é 35.

       

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

< <

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

  e  

Conversão entre frações impróprias e mistas[editar | editar código-fonte]

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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