Matemática elementar/Conjuntos/Números irracionais

O conjunto dos números irracionais $(\mathbb {I} )$ é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por ${\tfrac {a}{b}}$, sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

• π (Pi Radiano) = 3,141592...
• e (Número de Euler) = 2,718281...
• φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

• √2 = 1,414213...
• √3 = 1,732050...
• √5 = 2,236067...
• ³√2 = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

• √6 = √2.3 = 2,449489...
• √10 = √2.5 = 3,162277...
• √30 = √2.3.5 = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais $(\mathbb {Q} )$, se, e somente se em

${\sqrt[{n}]{x^{a}y^{b}z^{c}...}}$

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

${\sqrt {5,76}}={\sqrt {2^{4}.3^{2}.5^{-2}}}$

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em $\mathbb {I}$

• Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:

π + 1 = 4,141592...

π + √2 = 4,555806...

√2 + √3 = 3,146264...

• Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:

π - 1 = 2,141592...

√10 - π = 0,020685...

√7 - √10 = -0,516526...

• Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:

√2 x √3 = √6

³√2.³√2.³√2 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).

Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.

Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.

• Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:

√6 ÷ √3 = √2

2√2 ÷ √2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).

• Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:

π² = 9,869604...

(√3)⁴ = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".

Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.

Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.