Matemática elementar/Exponenciais

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Definição de Potência[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma , onde n é o expoente e x é a base.

A potência , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ( = 1).

A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

Operações com Potências[editar | editar código-fonte]

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

Para efetuar a multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]


Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

Divisão[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

(1)
Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como e então .

Observe que isto não é a prova que pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.

Equações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo af(x) = bg(x)[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo

onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).

No caso mais geral:

é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva:

O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar ou (exercício), mas é bem mais simples transformar e :

Aplicando a propriedade :

Agora temos uma equação da forma :

Verificando:

(ok)

Equações do tipo f(ax) = 0[editar | editar código-fonte]

As equações do tipo

são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada é resolvida pela substituição . Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva a equação

De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como , temos:

Usando agora a propriedade :


Ainda temos um problema! É preciso transformar em uma expressão onde esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade :

Então a expressão fica:

Resolvendo:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Ou seja, as duas raízes são:

A primeira solução, y = -3, gera uma equação sem solução em x, porque é sempre um valor positivo e não pode ser igual a -3.

A segunda solução fornece:

Ou seja:

x = -1

Verificando, temos que:

(ok)

Inequações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Gráficos de funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

81²+81²+81²=

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Exponenciação
Wikisource
O Wikisource tem material relacionado a este artigo: Potências e raízes dos números
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