Análise real/2Funções

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Relação entre duas funções[editar | editar código-fonte]

Igualdade de funções[editar | editar código-fonte]

Sejam duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

  • são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se .
  • "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
  • "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.
Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Restrição de uma função[editar | editar código-fonte]

Sejam . Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se . Neste caso escrevemos .

Função Composta[editar | editar código-fonte]

Sejam tais que .

Definimos a função composta  que a cada  associa .
  • BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado temos que temos . Neste caso podemos aplicar g e encontrar .
    • Na prática é assim: .
  • não atrapalha a composição. Suponha Observamos que . Portanto a função composição é possível.
  • ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se , então temos que .
  • Para definimos por .

Função Inversa[editar | editar código-fonte]

Seja .

Definimos .
  • . Assim .
    • Exemplo .
  • Sejam tais que . Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos .
  • Não devemos confundir da definição acima com . Sempre que aplicamos em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica num elemento y, pode-se entender como , caso a inversa exista, ou , a imagem inversa de um conjunto unitário.
  • Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa ficando subentendido que o domínio de é f(A) (e não B). Desta forma .