Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função
(lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada
associa um único elemento
(lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.
- Note que não pode haver exceção à regra: todo
possui uma imagem
. Por outro lado, pode existir
que não seja imagem de nenhum
. Note também que, dado
, não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento
pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer
com
.
Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes:
Sejam
, onde f e g tenham regras iguais.
é uma função se
é uma função se ![{\displaystyle g(A_{2})\subset B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2087b81974d91a669d93b6ca578a691ad86745ee)
- Exemplo:
.
. Mas certamente
não existem porque
.
- Mas podemos definir uma função
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow h:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,onde\;h(x)=x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aafd4e5db4c1fd29216960a419aec0deb6a107)
Seja
.
Definamos
. B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,
. y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.
Dado
, uma função que relaciona cada
com um
.
- A imagem inversa de um
vai existir se existir um
- Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
- Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.
Exemplo
- Tome
. O conjunto Imagem de f é o conjunto
- Como
![{\displaystyle x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} .Como\;f(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow f(x)=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bb5f947da7a3b3ca4f3013e5c558df90738a0f)
- Assim, o conjunto
![{\displaystyle Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \}=6\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617aa894aab99793cb1c06ccce0c0b70d6d5838a)
- O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto
.
- Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo
![{\displaystyle x=f^{-1}(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9166d98a238b0a0027d76789b0e8f1def00254c2)
Seja
. O gráfico da função f é o conjunto
.
Uma função
é chamada função identidade se
Implicações:
.
- a imagem inversa de
sempre será
.
Uma função
é chamada função constante se
Implicações:
é a única imagem da função, ou seja,
.
Dado
, definimos a função característica ou indicadora de A por
(também denotada por
) por
.
- A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que
, pois I associa a cada subconjunto
a função
.