Análise real/Funções

Função

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função $f:A\mapsto B$ (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada $x\in A$ associa um único elemento $f(x)$ (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo $x\in A$ possui uma imagem $f(x)\in B$. Por outro lado, pode existir $y\in B$ que não seja imagem de nenhum $x\in A$. Note também que, dado $x\in A$, não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento $y\in B$ pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer $f(x_{1})=f(x_{2})$ com $x_{1}\neq x_{2}$.

Conjuntos Básicos de uma função

Domínio de uma Função

Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam $f:A_{1}\mapsto B\land g:A_{2}\mapsto B$, onde f e g tenham regras iguais.

• $f$ é uma função se $f(A_{1})\subset B\;e\;g$ é uma função se $g(A_{2})\subset B.$
• Exemplo: $f:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} \;e\;g:(2\mathbb {Z} -1)\mapsto \mathbb {Z} ,com\;f(x)=x+2\;e\;g(x)=x+2$.
  • $f(2)=2+2=4\;e\;g(3)=3+2=5$. Mas certamente $f(3)\;e\;g(2)$ não existem porque $2\not \in 2\mathbb {Z} -1\;e\;3\not \in 2\mathbb {Z}$.
  • Mas podemos definir uma função $h(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\g(x),&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.=$ $\left\{{\begin{matrix}x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é par}}\\x+2,&{\mbox{se }}x{\mbox{ é ímpar}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow h:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,onde\;h(x)=x+2$

Imagem e Contra-domínio de uma Função

Seja $f:A\mapsto B,B'\subset B$.

Definamos $B'=\{y\in B;\exists \;x\in A:tal\;que\;y=f(x)=y\}=\{f(x);x\in A\}$. B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,

• $\forall x\in A:f:A\mapsto B\Rightarrow \exists !y\in B;tal\;que;f(x)=y$. y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma Função

Dado $f:A\mapsto B$, uma função que relaciona cada $x\in A$ com um $f(x)\in B$.

• A imagem inversa de um $y\in B$ vai existir se existir um $x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\;ou\;seja,x=f^{-1}(y).$
  • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
  • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.

Exemplo

• Tome $f:3\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,sendo\;que\;f(x)=2x$. O conjunto Imagem de f é o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=f(x),para\;algum\;x\in 3\mathbb {Z} \}=$
  • Como $x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} .Como\;f(x)=2x\Rightarrow f(x)=2\cdot 3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow f(x)=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z}$
  • Assim, o conjunto $Im_{f}=\{y\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=6k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \}=6\mathbb {Z}$
• O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto $\{x\in A,tal\;que\;f(x)=y,\forall \;y\in Im_{f}\}=$ $=\{x\in A,tal\;que\;x=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y),\forall \;y\in Im_{f}\}=A$.
• Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo $x=f^{-1}(f(x))$

Gráfico "Algébrico" de uma função

Seja $f:A\mapsto B;f(A)\subset B$. O gráfico da função f é o conjunto $G(f)=\{(a,f(a));a\in A\}$.

Exemplos Básicos de Função

Função Identidade

Uma função $I:A\mapsto B$ é chamada função identidade se $\forall x\in A,I(x)=x.$ Implicações:

• $A\subset B$.
• a imagem inversa de $x\in B,$ sempre será $x\in A,ou\;seja,I^{-1}(x)=x.$.

Função Constante

Uma função $f:A\mapsto B,f(x)=c$ é chamada função constante se $\forall x\in A,f(x)=c.$ Implicações:

• $c\in B$ é a única imagem da função, ou seja, $Im_{f}=\{c\}$.

Função Característica

Dado $A\subset C$, definimos a função característica ou indicadora de A por $I_{A}:C\mapsto \{0,1\}$ (também denotada por $X_{A}$ ) por $I_{A}(x)={\begin{cases}0,{\mbox{ se }}x\not \in A\\1,{\mbox{ se }}x\in A\end{cases}}$.

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que $I:P(C)\mapsto F(C;\{0,1\}){\mbox{ ou }}I\in F(P(C);F(C;\{0,1\}))$, pois I associa a cada subconjunto $A\in P(C)$ a função $I_{A}$.