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Análise real/Funções

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Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função (lê-se função f de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre elementos de A e B que a cada associa um único elemento (lê-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A é o domínio de f enquanto que B é o contradomínio de f.

Note que não pode haver exceção à regra: todo possui uma imagem . Por outro lado, pode existir que não seja imagem de nenhum . Note também que, dado , não pode haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer com .

Conjuntos Básicos de uma função

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Domínio de uma Função

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Uma mesma regra pode ser definida em vários domínios diferentes: Sejam , onde f e g tenham regras iguais.

  • é uma função se é uma função se
  • Exemplo: .
    • . Mas certamente não existem porque .
    • Mas podemos definir uma função

Imagem e Contra-domínio de uma Função

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Seja .

Definamos . B' é o conjunto imagem, enquanto que B é o contra-domínio,
  • . y =f(a) é dito imagem de a pela função f ou valor da função aplicada em x = a.

Imagem Inversa de uma Função

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Dado , uma função que relaciona cada com um .

  • A imagem inversa de um vai existir se existir um
    • Aqui não queremos afirmar que nada sobre a função inversa de f. Apenas dizer quem é o conjunto "Imagem Inversa" de "f".
    • Para cada valor de y em B, x é dito imagem inversa de y, se f(x) = y.
Exemplo
  • Tome . O conjunto Imagem de f é o conjunto
    • Como
    • Assim, o conjunto
  • O conjunto imagem inversa da função f, é o conjunto .
  • Para que y esteja na imagem da função f, ele foi tomado como f(x), de algum x no conjunto A. Como a função sempre é definida por todo o domínio, então qualquer x que esteja em A, terá uma imagem, e será a imagem inversa de sua imagem. logo

Gráfico "Algébrico" de uma função

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Seja . O gráfico da função f é o conjunto .

Exemplos Básicos de Função

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Função Identidade

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Uma função é chamada função identidade se Implicações:

  • .
  • a imagem inversa de sempre será .

Função Constante

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Uma função é chamada função constante se Implicações:

  • é a única imagem da função, ou seja, .

Função Característica

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Dado , definimos a função característica ou indicadora de A por (também denotada por ) por .

A função indicadora (ou característica) é muito utilizada em teoria da integração e em probabilidade. Podemos escrever que , pois I associa a cada subconjunto a função .