Análise real/Propriedades-Funções
Aspeto
Função Sobrejetiva
[editar | editar código-fonte]Uma função é dita sobrejetiva se , ou seja, se .
- Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.
- Exemplo. Seja . A função f, definida por , não é sobrejetiva de A em mas é sobrejetiva de A em .
- Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, é sobrejetiva.
Função Injetiva
[editar | editar código-fonte]Uma função é dita injetiva se ocorre uma destas:
- para quaisquer tais que temos ;
- são tais que , então ;
- .
- Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.
Função Bijetiva
[editar | editar código-fonte]Uma função é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.
- Exemplo: Sejam . Consideremos as funções definidas por .
- Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.
Teorema de Cantor
[editar | editar código-fonte]Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função que seja sobrejetiva.
- Prova 1
- para que f não seja sobrejetiva, . Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
- Pela f ser uma função, .
- Tomemos , assim . As outras funções que existir deverá ter que
- Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.
- Prova 2
- Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
- Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
- É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.