Análise real/Produto Cartesiano

Conjunto de Pares ordenados

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d$.

Repare que $(a,b)\neq (b,a)$ salvo se a = b e que $(a,a)\neq a$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas $(a,b,c)$ ou n-uplas ordenadas $(a_{1},...,a_{n})$.

Plano Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado $A\times B$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que $a\in A\;e\;b\in B$. Em símbolos: $A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}$.

Ex.: $A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}$ e, por simplicidade, o denotamos $A^{2}$.

Ex.: De maneira análoga definimos $A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},$

Ex.: $A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}$

Ex: Sejam $A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}$

Exemplos importantes de Planos Cartesianos: $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Diagonal de um Plano Cartesiano

A diagonal mais simples é do quadrado $A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado $A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}$

• Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo $A\times B$. Supondo que o $\min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :$ $\Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}$

Ex.: $A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}$

Propriedades de Plano Cartesiano

• Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
  • $(a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d$