Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.
- Ex.:
![{\displaystyle C=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20b8fc60d8da3ed9aafb8b170e5c6bebbad5674)
- Ex.:
. Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que
.
O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
- Ex.: Seja
, logo
.
Se A é um conjunto, não existe uma função
que seja sobrejetiva.
Seja C uma família cujos membros são
. Assim
onde n é quantidade de membros da família C.
- Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que
.
- A união dos membros da família C é escrita assim:
.
- Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas
.
- Definiremos
onde x são os elementos dos membros de C.
Seja C uma família cujos membros são
. Assim
onde n é quantidade de membros da família C.
- Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que
.
- A intersecção dos membros da família C é escrita assim:
.
- Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas
.
- Definiremos
onde x são elementos de todos os membros de C.
Uma família de conjuntos
, denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:
![{\displaystyle Se\;A,B\in {\mathfrak {F}},logo\;A\triangle B,A\cap B\in {\mathfrak {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60b00e17615bc5029acf4526a69a7d3e6fc5126)
- Unidade de uma família de subconjuntos
:
é a unidade de ![{\displaystyle {\mathfrak {F}},se\forall \;A\in {\mathfrak {F}},implicar\;que\;A\cap E=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf24bec605b6b06f77f169c7530aef650545a9d4)
Considere
a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde
é um anel de conjuntos.
, onde a é um elemento qualquer.
- Assim
- Mas
.
- Também
![{\displaystyle \{a\}\cap \{a\}=\varnothing \triangle \{a\}=\{a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f8df985e937e91c5284e9a342a18b1102d172c)
- A unidade de
é
pois:
![{\displaystyle \{a\}\cap \varnothing =\varnothing \;e\;\{a\}\cap \{a\}=\{a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afb99ad0c1d9d99791fbc3ece4b9e79d225d2bf)
Considere
a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde
é um anel de conjuntos.
, onde a,b são elementos qualquer.
- Assim
:
![{\displaystyle \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c3f08d3481b4614e3646132e0deb7ae0bebe67)
![{\displaystyle \varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\varnothing \triangle \{b\},\varnothing \triangle \{a,b\},\{a\}\triangle \{a\},\{a\}\triangle \{b\},\{a\}\triangle \{a,b\},\{b\}\triangle \{b\},\{b\}\triangle \{a,b\},\{a,b\}\triangle \{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e06e48d4702c6a6fe202edd6580ac032f4eb9d)
- A unidade de
é
pois:
![{\displaystyle \{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}\;e\;\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf773c311bfea8221eb5cd1a42d44efbf1f46ef)