Análise real/Coleção de conjuntos

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Coleção de Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.:
Ex.: . Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que .

Coleção das partes de um conjunto[editar | editar código-fonte]

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja , logo .

teorema de Cantor[editar | editar código-fonte]

Se A é um conjunto, não existe uma função que seja sobrejetiva.

  • Prova:

União de membros[editar | editar código-fonte]

Seja C uma família cujos membros são . Assim onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que .
A união dos membros da família C é escrita assim: .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas .
  • Definiremos onde x são os elementos dos membros de C.


Intersecção de membros[editar | editar código-fonte]

Seja C uma família cujos membros são . Assim onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que .
A intersecção dos membros da família C é escrita assim: .
Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas .
  • Definiremos onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Uma família de conjuntos , denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:


  • Unidade de uma família de subconjuntos :
    • é a unidade de

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Considere a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde é um anel de conjuntos.

  • , onde a é um elemento qualquer.
  • Assim
    • Mas .
    • Também
  • A unidade de é pois:

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Considere a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde é um anel de conjuntos.

  • , onde a,b são elementos qualquer.
  • Assim :
  • A unidade de é pois: