Análise real/Coleção de conjuntos

Coleção de Conjuntos

Seja X um conjunto cujos objetos sejam conjuntos, nesse caso os objetos são denominados membros e o conjunto coleção.

Ex.: $C=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}$

Ex.: $P=\{A,B,C,D\},{\mbox{ onde }}A=\varnothing ,B=\{1\},C=\{2\},D=\{1,2\}$. Nesse caso P é o conjunto dos subconjuntos de D, essa família tem o nome de conjunto das partes de D e é geralmente escrita como P(D), de forma que $P(D)=\{X;X\subset D\}$.

Coleção das partes de um conjunto

O Conjunto das partes P(A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

Ex.: Seja $X=\{a,b,c\}$, logo $P(X)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}=\{Y;Y\subset X\}$.

teorema de Cantor

Se A é um conjunto, não existe uma função $f:A\rightarrow P(A)$ que seja sobrejetiva.

• Prova:

União de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A união dos membros da família C é escrita assim: $\bigcup _{A\in C}A=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcup _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcup _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para algum }}A\in C\}$ onde x são os elementos dos membros de C.

${\displaystyle }$

Intersecção de membros

Seja C uma família cujos membros são $A_{1},...,A_{n}$. Assim $C=\{A_{1},...,A_{n}\},$ onde n é quantidade de membros da família C.

Geralmente não nos referimos a essa quantidade n, e dizemos apenas que os membros são do "tipo" A e que $A\in C$.

A intersecção dos membros da família C é escrita assim: $\bigcap _{A\in C}A=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}$.

Como em geral não nos referimos a essa quantidade n, diremos apenas $\bigcap _{A\in C}A$.

• Definiremos $\bigcap _{A\in C}A=\{x;x\in A{\mbox{ para todo }}A\in C\}$ onde x são elementos de todos os membros de C.

Anel de Conjuntos

Uma família de conjuntos ${\mathfrak {F}}$, denomina-se um anel de conjuntos, se satisfaz as seguintes propriedades:

• $Se\;A,B\in {\mathfrak {F}},logo\;A\triangle B,A\cap B\in {\mathfrak {F}}$

${\displaystyle }$

• Unidade de uma família de subconjuntos ${\mathfrak {F}}$:
  • $E\in {\mathfrak {F}}$ é a unidade de ${\mathfrak {F}},se\forall \;A\in {\mathfrak {F}},implicar\;que\;A\cap E=A$

Exemplo 1

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.

• $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\}\}$, onde a é um elemento qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow \varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\{a\}\cap \{a\},\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\{a\}\triangle \{a\}\in {\mathfrak {F}}$
  • Mas $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing \cap \{a\}=\varnothing \triangle \varnothing ,\{a\}\triangle \{a\}=\varnothing$.
  • Também $\{a\}\cap \{a\}=\varnothing \triangle \{a\}=\{a\}$
• A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a\},$ pois:
  • $\{a\}\cap \varnothing =\varnothing \;e\;\{a\}\cap \{a\}=\{a\}$

Exemplo 2

Considere ${\mathfrak {F}}$ a família de subconjuntos de um conjunto com 2 elementos, onde ${\mathfrak {F}}$ é um anel de conjuntos.

• $Seja\;{\mathfrak {F}}=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$, onde a,b são elementos qualquer.
• Assim $\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow$:
  • $\varnothing \cap \varnothing ,\varnothing \cap \{a\},\varnothing \cap \{b\},\varnothing \cap \{a,b\},\{a\}\cap \{a\},\{a\}\cap \{b\},\{a\}\cap \{a,b\},\{b\}\cap \{b\},\{b\}\cap \{a,b\},\{a,b\}\cap \{a,b\}$
  • $\varnothing \triangle \varnothing ,\varnothing \triangle \{a\},\varnothing \triangle \{b\},\varnothing \triangle \{a,b\},\{a\}\triangle \{a\},\{a\}\triangle \{b\},\{a\}\triangle \{a,b\},\{b\}\triangle \{b\},\{b\}\triangle \{a,b\},\{a,b\}\triangle \{a,b\}$
• A unidade de ${\mathfrak {F}}$ é $\{a,b\},$ pois:
  • $\{a,b\}\cap \varnothing =\varnothing ,\{a,b\}\cap \{a\}=\{a\},\{a,b\}\cap \{b\}=\{b\}\;e\;\{a,b\}\cap \{a,b\}=\{a,b\}$