Análise real/Propriedades

Propriedades de conjuntos

Sejam $A,B\subset K$.

• $A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B$.
  • $Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B$
• $A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B$.
• $A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}$.
  • Dado $x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}$. 1 Suponha que $A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B$ que opõe-se da nossa hipótese.

teorema

• $A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A$
  • $\Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.$
  • $\Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.$
  • $\Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.$
  • $\Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.$

Relações de Morgan

• $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
  • $\forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow$
    • $\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}$ (1)
  • $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}$ (2)
  • Por (1) e (2), temos que $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
• $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$
  • $\forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}$
  • $\forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$

exemplos

• $\varnothing \in \varnothing$
  • Considere K, um conjunto qualquer e $A=K\cap K^{C}$. Suponha que $\varnothing \in A$. Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo $\varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}$. Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto $\varnothing \not \in \varnothing$
• $\varnothing \subset \varnothing$
  • Por contradição $\varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing$. O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
  • Suponha um conjunto A qualquer e que $\varnothing \not \subset A$, isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
• $\varnothing \in \{\varnothing \}$
  • O conjunto das partes do conjunto $\{\}$, é $\{\varnothing \}$. Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
• $\varnothing \subset \{\varnothing \}$
  • Tomemos as parte do conjunto $\{\}$, que é $\{\varnothing \}$. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: $\{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}$

condições entre conjuntos

Considere $A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}$. Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

• $A\cap B^{C}\subset C$
  • $\forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.$
    • $\therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
    • Devemos aqui ter bem claro que $x\in U-A$ significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
• $A^{C}\cup B^{C}\subset C$
  • $\forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C$
    • $\therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.

• $A^{C}\cup B\subset C^{C}$
  • $\forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C$
    • $\therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.

• $A^{C}\subset B^{C}\cup C$
  • $\forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C$
    • $\therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.

• $A\subset B^{C}\cup C^{C}$
  • $\forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C$
    • $\therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.