Análise real/Conjunto de Funções

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Conjunto de Funções[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B, denotamos por F(A;B) o conjunto de todas as funções .

Família de Funções[editar | editar código-fonte]

Sejam I e C conjuntos não vazios. Uma família de elementos de C é uma função para a qual denotamos por (em vez de ) a imagem de i por A. Dizemos que a família está indexada pelo índice , que I é o conjunto de índices e que é o i-ésimo elemento (ou membro) da família. Quando I é o conjunto dos números naturais substituímos a palavra família por sequência.

Os gramáticos que nos perdoem, mas usamos o sufixo “ésimo” em i-ésimo mesmo quando i não é um número cardinal.
Observe que na notação não aparece o contradomínio C da função. Por isto, ao introduzirmos uma família, é obrigatório dizer que tipo de objetos constituem o seu contradomínio. Por exemplo, uma família de pessoas é uma função cujo contradomínio é um conjunto de pessoas. Da mesma forma, uma família de macacos é uma função cujo contradomínio é um conjunto de macacos (agora são os biólogos que hão de nos perdoar).

Como dito anteriormente, o uso mais frequente do termo família é quando o contradomínio é uma coleção de conjuntos. Trata-se, então, de uma família de conjuntos. Neste caso, existem notações especiais para a união e a interseção da coleção. Se é uma família de conjuntos, então a união e a interseção da família são definidas, respectivamente, por e

Exemplo. Sejam . Então: .
Se I é o conjunto dos números inteiros de m até n, então também é usual escrever .
Se I é o conjunto de todos os inteiros positivos, então as notações usuais são .
O símbolo (infinito) que aparece nas notações anteriores não é um número. Ele é apenas um símbolo tipográfico cujo papel é dizer que tanto a união quanto a interseção da família são tomadas para todo . Este mesmo símbolo aparecerá em várias notações ao longo do texto sendo que em cada uma delas seu papel será diferente.

Porém, sempre devemos ter em mente que infinito não é número!

Leia mais[editar | editar código-fonte]