Análise real/Espaços métricos

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Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:

  • é um número real, não negativo e finito
  • (simetria)
  • (desigualdade triangular)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O espaço vetorial euclidiano , onde , é um espaço vetorial de dimensão
    • É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no . Outras métricas são:
  • , onde é denominado de espaço métrico discreto.
  • Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

Convergência em espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma sequência de pontos converge para um ponto se e somente se:

Diz-se que uma sequência de pontos é de Cauchy se para todo , existe um N tal que

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.

Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.

Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Espaço métrico (topologia)