Análise real/Convergência pontual

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O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto e uma seqüência de funções reais definidas no domínio .

Diz que converge quando existe uma função tal que para cada ponto a seqüência numérica converge para . Ou, na notação de limites:

Equivalentemente, diz-se que converge para em se para todo e todo existe um tal que

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Seja a seguinte seqüência de funções:

É fácil ver que:

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

cujo limite é dado por:

Exemplo 3[editar | editar código-fonte]

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

cujo limite é dado por:

Exemplo 4[editar | editar código-fonte]

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

Ver também[editar | editar código-fonte]