Análise real/Convergência uniforme

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A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

Definição[edit | edit source]

Uma seqüência de funções definida em um conjunto é dita convergir uniformemente se existe uma função tal que:

Para todo , existe um  tal que:

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual[edit | edit source]

Como comparação, uma sequência de funções converge pontualmente para uma função se, e somente se:

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada um N que se aplica a todo x.

Exemplos[edit | edit source]

Exemplo 1[edit | edit source]

Considere a seqüência:

A convergência uniforme é válida com .

Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual[edit | edit source]

Considere o conjunto e a seguinte seqüência de funções definidas em :

Observa-se que para cada fixo converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada existe um x suficiente próximo à origem tal que:

Convergência uniforme preserva continuidade[edit | edit source]

Teorema Seja uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto . Suponha que converge uniformemente para uma função então f é uma função contínua.

Demonstração Seja e , devemos mostrar que existe um tal que:

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

Da continuidade de , temos que existe um tal que:

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

E das desigualdades e , vale que se :

Convergência uniforme e a integração[edit | edit source]

Teorema Seja uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função , então é integrável a Riemann e vale a igualdade:

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo , exite um tal que:

Como é integrável, vale que:

Assim, valem as desigualdades:

E, portanto:

Tomando o limite , temos:

Como é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

E o resultado segue.