A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.
Uma seqüência de funções
definida em um conjunto
é dita convergir uniformemente se existe uma função
tal que:
Para todo
, existe um
tal que:
Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.
Como comparação, uma sequência de funções
converge pontualmente para uma função
se, e somente se:
![{\displaystyle \forall \epsilon >0,\ \forall x\in S\ \exists N\in \mathbb {N} \ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42967db07385ee175af9f5fa2b9019b052bd8cd3)
A sequência converge uniformemente quando:
![{\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in S\ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee59a673e76b14ddc1fde1d58ec99ca6d748539d)
Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada
e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada
um N que se aplica a todo x.
Considere a seqüência:
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74ed597cfdf59c4be1ed22e1ab555b3349499f9)
A convergência uniforme é válida com
.
Considere o conjunto
e a seguinte seqüência de funções definidas em
:
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{nx}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a1255de7ab6f67dee5fcde757a2c0d08198333)
Observa-se que para cada
fixo
converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada
existe um x suficiente próximo à origem tal que:
![{\displaystyle |f_{n}(x)-0|\geq \varepsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d67dfb79237e3bf88a243649b6cf251126b57)
Teorema Seja
uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto
. Suponha que
converge uniformemente para uma função
então f é uma função contínua.
Demonstração Seja
e
, devemos mostrar que existe um
tal que:
![{\displaystyle |x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8785178126a0b0d4922606e1855381796b35d331)
Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que
![{\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon /3,n\geq N\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8437e670f126c6e1d56c00c3fceee5c1c162a3d5)
Da continuidade de
, temos que existe um
tal que:
![{\displaystyle |x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|\leq \varepsilon /3\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1800b3a73302e19650ab715a95f31dc0c495a5b2)
Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:
![{\displaystyle \Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \left|f(x_{0})-f_{N}(x_{0})\right|+\left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|+\left|f_{N}(x)-f(x)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96383ed9f54b9d2c54811a5dcd7f4ad2a2fed3e1)
E das desigualdades
e
, vale que se
:
![{\displaystyle \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5318431a27d5b9aecab623212011fc9fa3900820)
Teorema Seja
uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função
, então
é integrável a Riemann e vale a igualdade:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83be8a381641e190169ff85e3a3efc0196cd7a9c)
Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo
, exite um
tal que:
![{\displaystyle f_{n}(x)-\varepsilon \leq f(x)\leq f_{n}(x)+\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54599866ddc365dcb6017a4cd34b31c12159bfcd)
Como
é integrável, vale que:
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1a6dcfe438d2788a89eb60c8d78a269ec0186c)
Assim, valem as desigualdades:
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)+\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx+(b-a)\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499ec9f848f6cc23d7c02253af03d73728b73a3a)
![{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\geq {\underline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)-\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-(b-a)\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc90beaace10e851f76c9479e419654d79a15e6e)
E, portanto:
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b9df59b559f76e0fa0beeb610140ae57ba353d)
Tomando o limite
, temos:
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7601994706eb863f8abed169c046c9baad23f58)
Como
é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f77e73a56dbe7b389d38f6cf7983defe50279d1)
E o resultado segue.