A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.
Uma seqüência de funções definida em um conjunto é dita convergir uniformemente se existe uma função tal que:
Para todo , existe um tal que:
Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.
Como comparação, uma sequência de funções converge pontualmente para uma função se, e somente se:
A sequência converge uniformemente quando:
Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada um N que se aplica a todo x.
Considere a seqüência:
A convergência uniforme é válida com .
Considere o conjunto e a seguinte seqüência de funções definidas em :
Observa-se que para cada fixo converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada existe um x suficiente próximo à origem tal que:
Teorema Seja uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto . Suponha que converge uniformemente para uma função então f é uma função contínua.
Demonstração Seja e , devemos mostrar que existe um tal que:
Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que
Da continuidade de , temos que existe um tal que:
Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:
E das desigualdades e , vale que se :
Teorema Seja uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função , então é integrável a Riemann e vale a igualdade:
Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo , exite um tal que:
Como é integrável, vale que:
Assim, valem as desigualdades:
E, portanto:
Tomando o limite , temos:
Como é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:
E o resultado segue.