A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.
Uma seqüência de funções
definida em um conjunto
é dita convergir uniformemente se existe uma função
tal que:
Para todo
, existe um
tal que:
Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.
Como comparação, uma sequência de funções
converge pontualmente para uma função
se, e somente se:

A sequência converge uniformemente quando:

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada
e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada
um N que se aplica a todo x.
Considere a seqüência:

A convergência uniforme é válida com
.
Considere o conjunto
e a seguinte seqüência de funções definidas em
:

Observa-se que para cada
fixo
converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada
existe um x suficiente próximo à origem tal que:

Teorema Seja
uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto
. Suponha que
converge uniformemente para uma função
então f é uma função contínua.
Demonstração Seja
e
, devemos mostrar que existe um
tal que:

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

Da continuidade de
, temos que existe um
tal que:

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

E das desigualdades
e
, vale que se
:

Teorema Seja
uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função
, então
é integrável a Riemann e vale a igualdade:

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo
, exite um
tal que:

Como
é integrável, vale que:

Assim, valem as desigualdades:


E, portanto:

Tomando o limite
, temos:

Como
é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

E o resultado segue.