Existem várias maneira de construir o conjunto
dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.
Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.
Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.
Dizemos que
é um isomorfismo entre corpos ordenados se:
;
;
, com
;
, isto é,
é injetiva;
, ou seja, é sobrejetiva.
Se
são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.
A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função
entre os corpos
e
e então provar que essa função é um isomorfismo.
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que
são corpos, então existe
e
, nada mais natural que definirmos:
Seja
definida da seguinte maneira:
E por indução, para cada
, temos:
Se
, então sabemos que
, pois como
, então
.
Portanto podemos definir:
.
Desta forma a função
mapeia
em
.
Vamos mostrar que
é um isomorfismo de corpos ordenados de
em
preserva a soma:
Por definição, temos
, para todo n natural.
Suponha que
, para todo
tal que
.
, pela hipótese de indução.
preserva o produto:
preserva a ordem:
é injetora:
é sobrejetora;
Seja
definida da seguinte maneira:
Para cada
, sejam,
. Como
, podemos definir
Agora vamos provar que
é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.
preserva a soma:
preserva o produto:
preserva a ordem:
é injetora:
é sobrejetora;
Dado