Análise real/Unicidade dos números reais

Existem várias maneira de construir o conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)

Dizemos que $\phi :\mathbb {F} \to \mathbb {K}$ é um isomorfismo entre corpos ordenados se:

$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\forall a,b\in \mathbb {F}$ ;
$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b),\forall a,b\in \mathbb {F}$ ;
$\forall a,b\in \mathbb {F}$ , com $a<b\Rightarrow \phi (a)<\phi (b)$ ;
$\phi (a)=\phi (b)\Rightarrow a=b$ , isto é, $\phi$ é injetiva;
$\forall y\in \mathbb {K} ,\exists x\in \mathbb {F} |y=\phi (x)$ , ou seja, é sobrejetiva.

Proposição

Se $\mathbb {F} ,\mathbb {K}$ são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

Demonstração

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.

A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função $\phi$ entre os corpos $\mathbb {F}$ e $\mathbb {K}$ e então provar que essa função é um isomorfismo.

Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que $\mathbb {F} ,\mathbb {K}$ são corpos, então existe $0,1\in \mathbb {F}$ e $0',1'\in \mathbb {K}$ , nada mais natural que definirmos:

Seja $f:\mathbb {Q} \subset \mathbb {F} \to \mathbb {K}$ definida da seguinte maneira: $f(0)=0'$

$f(1)=1'$

E por indução, para cada $n\geq 1$ , temos:

$f(n)=f(n-1)+1'$

$f(-n)=-f(n)$

Se $n\not =0$ , então sabemos que $\exists f(n)^{-1}\in \mathbb {K}$ , pois como $n\not =0$ , então $f(n)\not =0'$ .

Portanto podemos definir:

$f(m/n)=f(m)f(n)^{-1}$ .

Desta forma a função $f$ mapeia $\mathbb {Q} \subset \mathbb {F}$ em $\mathbb {Q} ':=f(\mathbb {Q} )\subset \mathbb {K}$ .

Vamos mostrar que $f$ é um isomorfismo de corpos ordenados de $\mathbb {Q}$ em $\mathbb {Q} '.$

$f$ preserva a soma:

Por definição, temos $f(n+1)=f(n)+1'=f(n)+f(1)$ , para todo n natural.

Suponha que $f(n+m)=f(n)+f(m)$ , para todo $m$ tal que $1\leq m<k$ .

$f(n+(k-1))+f(1)=f(n)+f(k-1)+f(1)=f(n)+f(k)$ , pela hipótese de indução.

$f$ preserva o produto:

$f$ preserva a ordem:

$f$ é injetora:

$f$ é sobrejetora;

Seja $\phi :\mathbb {F} \to \mathbb {K}$ definida da seguinte maneira:

Para cada $a\in \mathbb {F}$ , sejam, $X_{a}=\{x\leq a;x\in \mathbb {Q} \subset \mathbb {F} \}$ . Como $X_{a}\not =\emptyset$ , podemos definir $\phi (a)=\sup\{f(x);x\in X_{a}\}.$

Agora vamos provar que $\phi$ é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.

$\phi$ preserva a soma:

$\phi$ preserva o produto:

$\phi$ preserva a ordem:

$\phi$ é injetora:

$\phi$ é sobrejetora;

Dado $y\in \mathbb {F} ,y=sup\{q'\in \mathbb {Q} ';q<y\}.$