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Análise real/Unicidade dos números reais

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Existem várias maneira de construir o conjunto dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)[editar | editar código-fonte]

Dizemos que é um isomorfismo entre corpos ordenados se:

  1. ;
  2. ;
  3. , com ;
  4. , isto é, é injetiva;
  5. , ou seja, é sobrejetiva.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Se são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.


A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função entre os corpos e e então provar que essa função é um isomorfismo.


Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que são corpos, então existe e , nada mais natural que definirmos:

Seja definida da seguinte maneira:

E por indução, para cada , temos:


Se , então sabemos que , pois como , então .

Portanto podemos definir:

.

Desta forma a função mapeia em .


Vamos mostrar que é um isomorfismo de corpos ordenados de em

  • preserva a soma:

Por definição, temos , para todo n natural.

Suponha que , para todo tal que .

, pela hipótese de indução.

  • preserva o produto:
  • preserva a ordem:
  • é injetora:
  • é sobrejetora;


Seja definida da seguinte maneira:

Para cada , sejam, . Como , podemos definir


Agora vamos provar que é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.

  • preserva a soma:
  • preserva o produto:
  • preserva a ordem:
  • é injetora:
  • é sobrejetora;

Dado