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Análise real/Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos

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Definição (partição)

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é partição de se, e , se .

Definição (Seqüências de Cauchy)

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Uma seqüência em é dita de Cauchy se, dado tal que, se então .

Definição (conjunto fechado em )

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Um conjunto é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de é ponto de F.

Definição (conjunto conexo)

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é dito conexo se e são os únicos subconjuntos abertos e fechados de

Seja um corpo ordenado arquimediano. Em são equivalentes:


1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de é convergente;

2[2']) Todo subconjunto não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];

3[3']) Seja um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então, tem máximo e mínimo;

4) é conexo.

5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição de, com , para todo , e , isto é é um corte de Dedekind, então, em existe maior elemento, ou, em , existe menor elemento.

6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja uma seqüência de intervalos, satisfazendo , para todo , então .

7) é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em de Cauchy então (x_n) é convergente.

Demonstração

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As equivalências são evidentes e serão deixadas como exercício.

1) 2)

Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.

Como A , podemos pegar e como A é limitado superiormente, existe majorante de A.

Seja , se for majorante de A, então definimos , e e caso não seja majorante de A, definimos e .

Suponha que e estejam definidas, , se for majorante de A, então definimos , e e caso não seja majorante de A, definimos e .

Definimos duas seqüências e que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente é um limitante inferior de e é um limitante superior de , e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.

Sejam e .

Suponha, por absurdo que , então , tomando , como , existe tal que . Portanto , como , definindo , existe tal que, . Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de e .

Por construção, temos para todo natural.