é partição de
se,
e
, se
.
Uma seqüência
em
é dita de Cauchy se, dado
tal que, se
então
.
Um conjunto
é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de
é ponto de F.
é dito conexo se
e
são os únicos subconjuntos abertos e fechados de
Seja
um corpo ordenado arquimediano. Em
são equivalentes:
1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de
é convergente;
2[2']) Todo subconjunto
não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];
3[3']) Seja
um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então,
tem máximo e mínimo;
4)
é conexo.
5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição
de
, com
, para todo
, e
, isto é
é um corte de Dedekind, então, em
existe maior elemento, ou, em
, existe menor elemento.
6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja
uma seqüência de intervalos, satisfazendo
, para todo
, então
.
7)
é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em
de Cauchy então (x_n) é convergente.
As equivalências
são evidentes e serão deixadas como exercício.
1)
2)
Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.
Como A
, podemos pegar
e como A é limitado superiormente, existe
majorante de A.
Seja
, se
for majorante de A, então definimos
, e
e caso
não seja majorante de A, definimos
e
.
Suponha que
e
estejam definidas,
, se
for majorante de A, então definimos
, e
e caso
não seja majorante de A, definimos
e
.
Definimos duas seqüências
e
que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente
é um limitante inferior de
e
é um limitante superior de
, e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.
Sejam
e
.
Suponha, por absurdo que
, então
, tomando
, como
, existe
tal que
. Portanto
, como
, definindo
, existe
tal que,
. Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de
e
.
Por construção, temos
para todo
natural.