Análise real/Conjunto

Noções de Teoria dos Conjuntos

Definição de Conjunto

Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.

Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\in X\;$.

Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\not \in X\;$.

Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.

• Exemplo: Seja $A\;$ um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; $B\;$ é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que $A=\{1,2,3,4\},B=\{1,3,5,7\},{\mbox{ logo }}2\in A,2\not \in B$.

Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:

• $\exists$ significa “existe”;
• $\exists !$ significa “existe um único”;
• $\forall$ significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
• $\Rightarrow$ significa “se ... então ...” ou “implica que”;
• $\Leftrightarrow$ significa “se, e somente se,”.

Exemplos de Conjuntos importantes

Conjunto dos naturais

O Conjunto $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$

Conjunto dos inteiros

O Conjunto $\mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Conjunto dos racionais

O Conjunto $\mathbb {Q} =\{{a \over b};a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}$

Conjunto dos iracionais

$\mathbb {R} -\mathbb {Q} =\{x\not \in \mathbb {Q} ;x\neq {a \over b},\forall \;a,b\;\mathbb {Z} \}$

Conjunto dos reais

O Conjunto dos reais $\mathbb {R}$ são todos os números racionais e os irracionais.

• $\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$
• $\mathbb {R} =\{x;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$
• $\mathbb {R} =\{x\in \mathbb {C} ;ax^{2}+bx+c=0\;e\;b^{2}\geq 4ac\}$ (visto como subconjunto dos complexos)

Conjunto dos complexos

O Conjunto $\mathbb {C} =\{x;ax^{2}+bx+c=0:a,b,c\in \mathbb {Z} \}=\{a+bi;a,b\in \mathbb {R} \}$

Conjunto definido através de propriedades

$Y=\{y;y\;que\;satisfazem\;as\;propriedades\;P_{1},...,P_{n}\}$

• Exemplo: $Y=\{y;y\;seja\;natural,y\;seja\;maior\;que\;3,y\;seja\;menor\;ou\;igual\;a\;8\}=\{4,5,6,7,8\}$
  • O exemplo anterior deve ser escrito assim: $Y=\{y\in \mathbb {N} ;3<y\leq 8\}=\{4,5,6,7,8\}$

Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$. Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.

• exemplo: $A=\{x;x$ seja natural positivo $\}$ e $B=\{y;y$ seja inteiro negativo $\}$. Vamos tomar $C=\{$ elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B $\}$. Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
  • A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: $A=\{x\in \mathbb {N} ;x>0\}{\mbox{ e }}B=\{y\in \mathbb {Z} ;y<0\}$. Vamos tomar $C=A\cap B$. Logo $C=\varnothing$, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

Conjuntos Ordenados

Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais $\mathbb {\mathbb {N} } =\{1,2,3,\ldots \}$ (Alguns autores tomam $\{0,1,2,\ldots \}$ — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos $\mathbb {N} _{0}$). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais $\mathbb {N}$ é que têm uma relação de equivalência $=\$ satisfazendo as relações de equivalência seguintes:

1. Reflexividade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n=n;$

2. Simétrico

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n=m\Rightarrow m=n$;

3. Transitividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$ se $n=m$ e $m=l$, então $n=l$;

Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.

• A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
• A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
• A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.

Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:

1. Tricotomia

   Qualquer que seja$m,n\in \mathbb {N}$, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:

   $m<n$

   $m=n$

   $m>n$

   A notação $m\leq n$ significa que $m<n$ ou $m=n$, e a notação $m\geq n$ significa que $m>n$ ou $m=n$.

2. Transitividade de < and >.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n<m$ e $m\leq l$, então $n<l$.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N}$, se $n>m$ e $m\geq l$, então $n>l$.

Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais $\mathbb {N}$ têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto $\mathbb {N}$ e as operações de adição $+$ satisfazem o seguinte axioma:

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,n+m\in \mathbb {N}$.

2. Comutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n+m=m+n$.

3. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n+(m+l)=(n+m)+l$.

   Significa que podemos escrever sem ambiguidade $n+m+l$

4. Compatibilidade com ordem

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n<n+m$

Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

Multiplicação

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m\in \mathbb {N}$.

2. Identidade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb {N} ,\ n\times 1=n$.

3. Commutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ n\times m=m\times n$.

4. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,

   significa que podemos escrever ambiguosamente $n\times m\times l$.

5. Distributividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb {N} ,\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.

6. Compatibilidade com ordernados

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb {N} ,\ m\leq n\times m$.

Leia mais

• Conjunto estudado no ensino médio
• Teoria dos conjuntos
• Teoria dos Conjuntos (em inglês)