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Análise real/Conjunto

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Noções de Teoria dos Conjuntos

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Definição de Conjunto

Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.
Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: .
Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: .
Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.
  • Exemplo: Seja um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que .
Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:
  • significa “existe”;
  • significa “existe um único”;
  • significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
  • significa “se ... então ...” ou “implica que”;
  • significa “se, e somente se,”.

Exemplos de Conjuntos importantes

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Conjunto dos naturais

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O Conjunto

Conjunto dos inteiros

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O Conjunto

Conjunto dos racionais

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O Conjunto

Conjunto dos iracionais

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Conjunto dos reais

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O Conjunto dos reais são todos os números racionais e os irracionais.

  • (visto como subconjunto dos complexos)

Conjunto dos complexos

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O Conjunto

Conjunto definido através de propriedades

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  • Exemplo:
    • O exemplo anterior deve ser escrito assim:

Conjunto vazio

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Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo . Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.

  • exemplo: seja natural positivo e seja inteiro negativo . Vamos tomar elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B . Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
    • A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: . Vamos tomar . Logo , pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

Conjuntos Ordenados

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Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

Números Naturais

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O conjunto dos números naturais (Alguns autores tomam — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos ). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais é que têm uma relação de equivalência satisfazendo as relações de equivalência seguintes:

  1. Reflexividade
    Qualquer que seja
  2. Simétrico
    Qualquer que seja ;
  3. Transitividade
    Qualquer que seja se e , então ;

Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.

  • A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
  • A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
  • A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.

Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:

  1. Tricotomia
    Qualquer que seja, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:
    A notação significa que ou , e a notação significa que ou .
  2. Transitividade de < and >.
    Qualquer que seja , se e , então .
    Qualquer que seja , se e , então .

Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto e as operações de adição satisfazem o seguinte axioma:

  1. Fechamento
    Qualquer que seja .
  2. Comutatividade
    Qualquer que seja .
  3. Associatividade
    Qualquer que seja .
    Significa que podemos escrever sem ambiguidade
  4. Compatibilidade com ordem
    Qualquer que seja

Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

Multiplicação

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  1. Fechamento
    Qualquer que seja .
  2. Identidade
    Qualquer que seja .
  3. Commutatividade
    Qualquer que seja .
  4. Associatividade
    Qualquer que seja ,
    significa que podemos escrever ambiguosamente .
  5. Distributividade
    Qualquer que seja .
  6. Compatibilidade com ordernados
    Qualquer que seja .