Análise real/Subconjunto

Definição de Subconjunto

Quando um conjunto $Y\;$ é parte de uma certa coleção $X\;$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos $Y\subset X$.

• Ex: $X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}$. Como $X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X$, isto é, todo elemento que pertence a $Y\;$, pertence a $X\;$, por isso dizemos que $Y\;$ é subconjunto de $X\;$.
• Mais formalmente, se $y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X$, também $Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y$

exemplo

Consideremos os seguintes conjuntos $A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.$

• Provaremos que $B\subset A.$ De fato, seja $x\in B,$ então $x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N}$, sendo que pode ser escrito na forma $x=2(2n)=2m$, onde claramente $m=2n\in \mathbb {N}$, logo $x\in A$
• Agora vejamos que $\exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que $x=2\in B$ então existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $2=4n$, porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional $n=1/2$ o qual não pertence a $\mathbb {N}$, fato que nos fornece uma contradição. Portanto $A\subset B.$

Parte de um conjunto

$Y\subset X$ significa que todos os elementos de $Y\;$ estão em $X\;$.

$Y\subset X$ lê-se $Y\;$ está contido em $X\;$.

Podemos definir $Y\subset X$ como $Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}$, considerando que $P_{1}\;$ não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

Subconjunto próprio

$Y\;$ é subconjunto próprio de $X\Leftrightarrow Y\neq X$ e $Y\subset X,mas\;X\not \subset Y$.

Conjunto vazio

• O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Quando que um conjunto não é um subconjunto

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, $X\not \subset Y\;$, basta exibir um $x\in X\;$ e provar que $x\not \in Y$.

• Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que $X\not \subset Y\;$. Segue que $2\in X\;$, mas $2\not \in Y\;$. Logo $X\not \subset Y\;$.