Análise real/Subconjunto

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Definição de Subconjunto[editar | editar código-fonte]

Quando um conjunto é parte de uma certa coleção dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos .

  • Ex: . Como , isto é, todo elemento que pertence a , pertence a , por isso dizemos que é subconjunto de .
  • Mais formalmente, se , também

exemplo[editar | editar código-fonte]

Consideremos os seguintes conjuntos

  • Provaremos que De fato, seja então , sendo que pode ser escrito na forma , onde claramente , logo
  • Agora vejamos que provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que então existe tal que , porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional o qual não pertence a , fato que nos fornece uma contradição. Portanto

Parte de um conjunto[editar | editar código-fonte]

significa que todos os elementos de estão em .

lê-se está contido em .
Podemos definir como , considerando que não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

Subconjunto próprio[editar | editar código-fonte]

é subconjunto próprio de e .

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

  • O , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Quando que um conjunto não é um subconjunto[editar | editar código-fonte]

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, , basta exibir um e provar que .

  • Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que . Segue que , mas . Logo .