Análise real/Isomorfismo

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Partição de um conjunto e União Disjunta[editar | editar código-fonte]

Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:

  • O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
    • Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
    • Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}

Relação de Equivalência[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto R de  é uma relação de equivalência em A se, e somente se,

Relação Binária[editar | editar código-fonte]

A relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:

  • (reflexiva)
  • (simétrica)
  • (transitiva)

classe de equivalência[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:

  • .

Pares e impares dos inteiros[editar | editar código-fonte]

Pares:

Impares

Conjunto quociente[editar | editar código-fonte]

O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:

O Conjunto [editar | editar código-fonte]

Operações nos naturais[editar | editar código-fonte]

Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.

    • Ex:

Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b

Aplicação entre e [editar | editar código-fonte]

  • Consideremos uma aplicação .

Isomorfismo[editar | editar código-fonte]