Em todo corpo ordenado K, se
e
, vale
- Mostrar válido para n=1

- Supor válido para n=k

- Mostrar válido para n= k+1
- De
multiplicamos
por ambos os membros pois
.
- Logo
(porque k x2 é não-negativo).
- E finalmente

.
- Devemos mostrar que
- Como
é verdade.
- Assim
é verdade para
- como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
verdade
- portanto é válido para todo n natural
Mostrar que
.
Prova:
- Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1:

- Suponha ser válido para quando n = k:

- Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é,
- Pela hipótese temos que
, onde
, pois k é um número natural.
.
- Vamos verificar que


Use o teorema da indução com 1 deslocado para provar que
- Prova: Tome

- Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para

- Temos que mostrar que vale para quando
.
- Suponha que seja válido para quando

- Vamos mostrar que é válido para quando

- a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.
Prove que
é decrescente a partir do terceiro termo.
- Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para
. Tome 
- vamos mostrar que é válido para
.
- suponhamos que é válido para
.
- Observação:
.
- Vamos mostrar que é válido para
.

- a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.
é decrescente a partir do terceiro termo, ou seja,
.
- Prova:
- Vamos provar por indução sobre n:
.
- Mostrar que é válido para n=3:
.
- Supor válido para n=k:
.
- Provar válido para n=k+1:
.
- Pelo axioma anterior é verdade que
![{\displaystyle {\bigg (}{k+2 \over k+1}{\bigg )}^{k+1}<k+1\Leftrightarrow (k+2)^{k+1}<(k+1)^{k+2}\Leftrightarrow {\sqrt[{(k+2)(k+1)}]{(k+2)^{k+1}}}<{\sqrt[{(k+1)(k+2)}]{(k+1)^{k+2}}}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90758d594ac776eb5926aaacb1aa60c5d04938c7)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\sqrt[{k+2}]{k+2}}<{\sqrt[{k+1}]{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0bb8364e3caebc382e87b87353fb869fc65a4e)