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Análise real/Desigualdade

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Teorema (Desigualdade de Bernouli)

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Em todo corpo ordenado K, se e , vale

  • Mostrar válido para n=1
  • Supor válido para n=k
  • Mostrar válido para n= k+1
    • De multiplicamos por ambos os membros pois .
      • Logo (porque k x2 é não-negativo).
    • E finalmente

Prova 2(binômio de newton)

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.

  • Devemos mostrar que
    • Como é verdade.
  • Assim é verdade para
    • como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
      • verdade
  • portanto é válido para todo n natural
Mostrar que .

Prova:

  • Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1:
  • Suponha ser válido para quando n = k:
  • Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é,
    • Pela hipótese temos que , onde , pois k é um número natural.
    • .
    • Vamos verificar que
 Use o teorema da indução com 1 deslocado para provar que 
  • Prova: Tome
  • Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para
  • Temos que mostrar que vale para quando .
  • Suponha que seja válido para quando
  • Vamos mostrar que é válido para quando
    • a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.
Prove que  é decrescente a partir do terceiro termo.
Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para . Tome
  • vamos mostrar que é válido para .
  • suponhamos que é válido para .
  • Observação: .
  • Vamos mostrar que é válido para .
    • a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.
 é decrescente a partir do terceiro termo, ou seja, .
Prova:
  • Vamos provar por indução sobre n: .
  • Mostrar que é válido para n=3: .
  • Supor válido para n=k: .
  • Provar válido para n=k+1: .
    • Pelo axioma anterior é verdade que