Em todo corpo ordenado K, se
e
, vale
- Mostrar válido para n=1
![{\displaystyle (1+x)^{1}=1+x\;e\;1+1\cdot x=1+x\Rightarrow (1+x)^{1}\geq 1+1\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ac417f01b4cd00b9ebe19337728e0a0229b27a)
- Supor válido para n=k
![{\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6353ac2a59805ff88245e439bd19c0b60d5483cc)
- Mostrar válido para n= k+1
- De
multiplicamos
por ambos os membros pois
.
- Logo
(porque k x2 é não-negativo).
- E finalmente
![{\displaystyle (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53074b9a4ea266af78cbf507425341787190dd76)
.
- Devemos mostrar que
- Como
é verdade.
- Assim
é verdade para
- como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
verdade
- portanto é válido para todo n natural
Mostrar que
.
Prova:
- Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1:
![{\displaystyle {1 \over 2}\leq {1 \over {\sqrt {2+1}}}\Rightarrow {\sqrt {3}}<{\sqrt {4}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7137c6190843653f7874b5cde2eb7399e73e34b6)
- Suponha ser válido para quando n = k:
![{\displaystyle {1 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {5 \over 6}\cdot ...\cdot {2k-1 \over 2k}\leq {1 \over {\sqrt {2k+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361412e6599625208d193cf146508a03b2bea52d)
- Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é,
- Pela hipótese temos que
, onde
, pois k é um número natural.
.
- Vamos verificar que
![{\displaystyle {1 \over {\sqrt {2k+1}}}\cdot {2k+1 \over 2k+2}\leq {1 \over {\sqrt {2(k+1)+1}}}\Rightarrow {\sqrt {2k+3}}\cdot {\sqrt {2k+1}}\leq 2k+2\Rightarrow (2k+3)\cdot (2k+1)\leq (2k+2)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36e71b14fb14cc515f5ea08dc504af96c8d7e89)
![{\displaystyle \Rightarrow 4k^{2}+8k+3\leq 4k^{2}+8k+4\Rightarrow 3\leq 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c53a217f931339bd3537b40b35b48e9352c1e9b)
Use o teorema da indução com 1 deslocado para provar que
- Prova: Tome
![{\displaystyle A=\{n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;n^{2}<2^{n}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbf43998bacb7b9a86ab55213120892db0c1da3)
- Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para
![{\displaystyle n\leq 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f479a85808234f4fd858f754d197c3d317c55d6)
- Temos que mostrar que vale para quando
.
- Suponha que seja válido para quando
![{\displaystyle n=k:n^{2}<2^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53211f1dba9eeacbff597ef0321adf04f35e3444)
- Vamos mostrar que é válido para quando
![{\displaystyle (k+1)^{2}=_{1}k^{2}+2k+1<_{2}2^{k}+2k+1<_{3}2^{k}+2^{k}=_{4}2^{k}\cdot 2^{1}=_{5}2^{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed9c108f7b0bf3cb1270d26e3640a38131bf6de)
- a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.
Prove que
é decrescente a partir do terceiro termo.
- Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para
. Tome ![{\displaystyle A={\bigg \{}n\in \mathbb {N} ,tal\;que\;\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}<n{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8ab1139c43b82b4175a83ed83d359838966c9a)
- vamos mostrar que é válido para
.
- suponhamos que é válido para
.
- Observação:
.
- Vamos mostrar que é válido para
.
![{\displaystyle \left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}=_{1}\left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k+1 \over k}\right)^{k+1}<_{2}\left({k+2 \over k+1}\right)^{k+1}\cdot \left({k+1 \over k+2}\right)^{k+1}\cdot (k+1)=_{3}k+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5402e35691bfc6d0f430d58876b477b2dd402e86)
- a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.
é decrescente a partir do terceiro termo, ou seja,
.
- Prova:
- Vamos provar por indução sobre n:
.
- Mostrar que é válido para n=3:
.
- Supor válido para n=k:
.
- Provar válido para n=k+1:
.
- Pelo axioma anterior é verdade que
![{\displaystyle {\bigg (}{k+2 \over k+1}{\bigg )}^{k+1}<k+1\Leftrightarrow (k+2)^{k+1}<(k+1)^{k+2}\Leftrightarrow {\sqrt[{(k+2)(k+1)}]{(k+2)^{k+1}}}<{\sqrt[{(k+1)(k+2)}]{(k+1)^{k+2}}}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90758d594ac776eb5926aaacb1aa60c5d04938c7)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\sqrt[{k+2}]{k+2}}<{\sqrt[{k+1}]{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0bb8364e3caebc382e87b87353fb869fc65a4e)