Em todo corpo ordenado K, se e , vale
- Mostrar válido para n=1
- Supor válido para n=k
- Mostrar válido para n= k+1
- De multiplicamos por ambos os membros pois .
- Logo (porque k x2 é não-negativo).
- E finalmente
.
- Devemos mostrar que
- Como é verdade.
- Assim é verdade para
- como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
- verdade
- portanto é válido para todo n natural
Mostrar que .
Prova:
- Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1:
- Suponha ser válido para quando n = k:
- Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é,
- Pela hipótese temos que , onde , pois k é um número natural.
- .
- Vamos verificar que
Use o teorema da indução com 1 deslocado para provar que
- Prova: Tome
- Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para
- Temos que mostrar que vale para quando .
- Suponha que seja válido para quando
- Vamos mostrar que é válido para quando
- a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.
Prove que é decrescente a partir do terceiro termo.
- Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para . Tome
- vamos mostrar que é válido para .
- suponhamos que é válido para .
- Observação: .
- Vamos mostrar que é válido para .
- a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.
é decrescente a partir do terceiro termo, ou seja, .
- Prova:
- Vamos provar por indução sobre n: .
- Mostrar que é válido para n=3: .
- Supor válido para n=k: .
- Provar válido para n=k+1: .
- Pelo axioma anterior é verdade que