Análise real/PBO

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Teorema (Princípio da boa ordenação)[editar | editar código-fonte]

Princípio da boa ordenação.svg

Todo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo, ou seja, se .

Prova
  • Devemos mostrar o complementar de em relação ao assim
    • Tomemos um subconjunto  : formado pelos elementos que não estão em , ou seja, .
  • a quem pertence o elemento
    • Se o teorema está demonstrado, pois é o menor elemento do .
    • Se logo
  • O conjunto
    • Agora tomemos um subconjunto de , chamado onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim
  • mostrar que
    • Pela construção do conjunto , temos que . Se , teríamos e logo . Como não faz sentido, logo , portanto
  • Devemos mostrar que é o menor elemento de
    • Como todos os antecessores de são os elementos de , temos que é o menor elemento de , pois os elementos menores que estão em

Teorema (Boa Ordem = Indução)[editar | editar código-fonte]

Vale o Princípio da Boa Ordem se, e somente se, vale o Princípio da Indução.

Demonstração
  • Suponha válido o Princípio da Boa Ordem. Seja satisfazendo as propriedades do princípio da indução.
    • Suponhamos, por absurdo, que . Isto significa que existe algum elemento de que não pertence a A e, portanto, o conjunto é não vazio.
    • Pelo Princípio da Boa Ordem, B possui um elemento mínimo . Com certeza m > 1, pois como . Assim, é um natural menor que m.
    • Pela minimalidade de m, temos que e portanto . Pelo 2ª propriedade do princípio da indução, concluímos que , o que é um absurdo.
  • Suponha válido o Princípio da Indução. Seja não vazio.
    • Suponhamos por absurdo que B não possua elemento mínimo. Em particular, (senão 1 seria elemento mínimo de B). Seja .
    • Observamos inicialmente que . De fato, se , então existiria , ou seja, n < n.
      • Tendo temos também n < m qualquer que seja , em particular, tomando obtemos n < n o que é absurdo. Concluímos que .
    • Mostraremos a seguir que . Vejamos agora que isto é suficiente para concluir a demonstração. Neste caso temos contradizendo a hipótese .
    • Mostremos, por indução, que . Já sabemos que e portanto qualquer que seja , ou seja, . Tomemos . Por definição de A temos qualquer que seja , logo para todo . Se então é um elemento mínimo de B. Como, por hipótese, B não possui elemento mínimo, segue que e portanto para qualquer . Concluímos que . Pelo Princípio da Indução .
Nota: Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros).

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Mostre que, dados .
  • Dados , pela lei da tricotomia, temos três possibilidades .
    • Caso , tome , assim
    • Caso , tome , assim
    • Caso . Tome . A não é vazio, pois .
      • Pelo Princípio da Boa Ordem (P.B.O.), .

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Se

  • Considere . Pelo PBO,