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Análise real/Derivadas

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Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.

Seja , e seja . Dizemos que é diferenciável em se, e somente se, existir tal que

.

é dita a derivada de em e é denotada por .

A função é dita diferenciável no conjunto se a derivada existir para cada . A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.

Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

Propriedades básicas

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Se f e g são diferenciáveis, então:

Demonstração

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Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)

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Se é diferenciável em , então ela é contínua em .

Demonstração

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Uma vez que é diferenciável em , .

Então

Assim, , então f é contínua em x.

Teorema (regra do produto)

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Se e são diferenciáveis, então .

, uma vez que g é contínua em x.

O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:

O problema é que pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

Lema (Caratheodory)

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Seja . Dizemos que é diferenciável em se, e somente se, existe uma função contínua que satisfaz

  • Seja diferenciável em e defina a função tal que
e

É fácil ver que é contínua e preenche a condição exigida.

  • Seja uma função contínua que satisfaz . Temos, , que

Como é contínua, , ou seja,

, o que implica que é diferenciável em .

Teorema (regra da cadeia)

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Seja diferenciável em e seja diferenciável em . Então

(i) é diferenciável em ;
(ii) .

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas tais que

e
.

Agora, considere a função . Obviamente, é contínua. Além disso, ela satisfaz

.

Assim, pelo Lema de Caratheodory, é diferenciável em e vale .

Considere definida por . Qual é a derivada de em ?

Assim, aqui vemos que . Uma vez que foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que .

Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.

Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

  • Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
  • Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem .
    1. Prove que não é contínua em .
    2. Prove que a função é contínua, mas não diferenciável em .
    3. Prove que é diferenciável em .