Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.
Seja , e seja . Dizemos que é diferenciável em se, e somente se, existir tal que
- .
é dita a derivada de em e é denotada por .
A função é dita diferenciável no conjunto se a derivada existir para cada . A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.
Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.
Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:
Se f e g são diferenciáveis, então:
-
Se é diferenciável em , então ela é contínua em .
Uma vez que é diferenciável em , .
Então
Assim, , então f é contínua em x.
Se e são diferenciáveis, então .
- , uma vez que g é contínua em x.
O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:
O problema é que pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte, não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:
Seja . Dizemos que é diferenciável em se, e somente se, existe uma função contínua que satisfaz
- Seja diferenciável em e defina a função tal que
- e
É fácil ver que é contínua e preenche a condição exigida.
- Seja uma função contínua que satisfaz . Temos, , que
Como é contínua, , ou seja,
- , o que implica que é diferenciável em .
Seja diferenciável em e seja diferenciável em . Então
- (i) é diferenciável em ;
- (ii) .
O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas tais que
- e
- .
Agora, considere a função . Obviamente, é contínua. Além disso, ela satisfaz
- .
Assim, pelo Lema de Caratheodory, é diferenciável em e vale .
Considere definida por . Qual é a derivada de em ?
Assim, aqui vemos que . Uma vez que foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que .
Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.
Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.
- Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
- Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem .
- Prove que não é contínua em .
- Prove que a função é contínua, mas não diferenciável em .
- Prove que é diferenciável em .