Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.
Seja
, e seja
. Dizemos que
é diferenciável em
se, e somente se, existir
tal que
.
é dita a derivada de
em
e é denotada por
.
A função é dita diferenciável no conjunto
se a derivada existir para cada
. A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.
Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.
Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:
Se f e g são diferenciáveis, então:
![{\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb5aa9f6b1831274500c1b2e2d3dd584881e86d)
![{\displaystyle (\lambda f)'(x)=\lambda f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3933c5cc4d046d434a8443d40999729ba88ae8e3)
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}\left({f(y)-f(x) \over y-x}+{g(y)-g(x) \over y-x}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa88decb98800de7e989e85507932ce0d51081a2)
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}+\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}=f'(x)+g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c42ea21bded3d44604c452b89345447b3e8721a)
![{\displaystyle (\lambda f)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{\lambda f(y)-\lambda f(x) \over y-x}=\lambda \lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=\lambda f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa37c0dcc578a72ea27971e2ab1a6b2d36f77137)
Se
é diferenciável em
, então ela é contínua em
.
Uma vez que
é diferenciável em
,
.
Então
Assim,
, então f é contínua em x.
Se
e
são diferenciáveis, então
.
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecd0e83ea89f1e73069d1d6896178b76acbefcf)
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}({f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x)) \over y-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a028cf787f5c909b7d3b3696bcb9457e23eb4823)
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}g(y)+f(x)\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9db1f1d720db4eca79aee616fbba673ca64be0c)
, uma vez que g é contínua em x. ![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492fb5862c8d86870855e885061ef63f5a2e7380)
![{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acbf1720fb015d532b02234d874341f1a3650f4)
![{\displaystyle =f'(g(x))g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841bbc27028f65f8fec68f11a32542342beec2e3)
O problema é que
pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte,
não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:
Seja
. Dizemos que
é diferenciável em
se, e somente se, existe uma função contínua
que satisfaz
![{\displaystyle (x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e777cb373f036f94f52fea3682688caa4df729)
- Seja
diferenciável em
e defina a função
tal que
e
![{\displaystyle \phi (c)=f'(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cc75055d6d6de6f2b3d5acdc6690d3ec7b0c78)
É fácil ver que
é contínua e preenche a condição exigida.
- Seja
uma função contínua que satisfaz
. Temos,
, que
![{\displaystyle \phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5f5b12e2b79cea6f46fea38427e53f170169fd)
Como
é contínua,
, ou seja,
, o que implica que
é diferenciável em
.
Seja
diferenciável em
e seja
diferenciável em
. Então
- (i)
é diferenciável em
;
- (ii)
.
O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas
tais que
e
.
Agora, considere a função
. Obviamente,
é contínua. Além disso, ela satisfaz
.
Assim, pelo Lema de Caratheodory,
é diferenciável em
e vale
.
Considere
definida por
. Qual é a derivada de
em
?
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a+h-a}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98899e52ded4cf1967ed2c0ead0bd582709d76ef)
Assim, aqui vemos que
. Uma vez que
foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que
.
Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.
Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.
- Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
- Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem
.
- Prove que
não é contínua em
.
- Prove que a função
é contínua, mas não diferenciável em
.
- Prove que
é diferenciável em
.