Álgebra abstrata/Conjuntos

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Teoria dos Conjuntos[editar | editar código-fonte]

O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).

Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.

A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.

A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.

Definição de Conjunto[editar | editar código-fonte]

Conjunto é uma coleção de objetos

  • Ex: ,
    • é uma coleção de números, é uma coleção de cores
    • Logo são conjuntos

Seja um conjunto:

  • , significa que é um elemento de .
  • , significa que não é um elemento de .

Definição de Subconjunto[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto é parte de certa coleção .

  • Ex:
    • Assim , isto é, todo elemento que pertence a , pertence a , por isso dizemos que é subconjunto de .
  • Mais formalmente, se , logo

Inclusão[editar | editar código-fonte]

é a inclusão dos elementos de , e lê-se está contido em .

Igualdade[editar | editar código-fonte]

  • Subconjunto próprio: é subconjunto próprio de
    • Isto é,

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo

  • O , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
  • Às vezes é chamado de conjunto vazio.

Conjunto x propriedade[editar | editar código-fonte]

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

  • Ex:
    • Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União[editar | editar código-fonte]

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

    • Veremos mais para frente que ao qual são três conjuntos disjuntos

Exemplos:

Intersecção[editar | editar código-fonte]

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

Exemplos:

Disjuntos[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

  • são disjuntos.

Exemplos:

  • . Logo A não é disjunto dele próprio.
  • . Logo A,B não são disjuntos.
  • . Logo A,B são disjuntos.

Diferença[editar | editar código-fonte]

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:

  • .

Exemplos:

  • .
  • .
    • .
  • .
Complemento[editar | editar código-fonte]

É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos

  • .

Distributividade do conjuntos[editar | editar código-fonte]

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

Axiomas básicos[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto importante é o , pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.

  • Exemplo:

Axiomas de Peano (sucessão)[editar | editar código-fonte]

A função sucessão é dada por

  1. (Identidade) A função de sucessão é injetiva
    • Dados
  2. (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
    • Logo tal que s(m)=1
    • (unicidade)
      • Seja , para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
  3. (Princípio da Indução) Seja um conjunto com as seguintes propriedades: ; Se então . Então

Teorema (Princípio da boa ordenação)[editar | editar código-fonte]

Princípio da boa ordenação.svg

Todo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo.

Prova[editar | editar código-fonte]
  • Devemos mostrar o complementar de em relação ao assim
    • Tomemos um subconjunto  : formado pelos elementos que não estão em , ou seja, .
  • a quem pertence o elemento
    • Se o teorema está demonstrado, pois é o menor elemento do .
    • Se logo
  • O conjunto
    • Agora tomemos um subconjunto de , chamado onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim
  • mostrar que
    • Pela construção do conjunto , temos que . Se , teríamos e logo . Como não faz sentido, logo , portanto
  • Devemos mostrar que é o menor elemento de
    • Como todos os antecessores de são os elementos de , temos que é o menor elemento de , pois os elementos menores que estão em

Conjuntos finitos e infinitos[editar | editar código-fonte]

Conjunto finito.svg

Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:

  • quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
  • quando existe uma bijeção entre e . (Neste caso o conjunto têm n elementos)
    • escreve-se .

Concluímos que:

  • todo conjunto é finito.
  • Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
  • Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.

Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.

Propriedades importantes dos conjuntos finitos[editar | editar código-fonte]

Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)[editar | editar código-fonte]

Seja . Se existir uma bijeção então .

Prova[editar | editar código-fonte]
  • o fato de ser um subconjunto de nos diz que
    • têm no máximo os mesmos elementos de
    • têm no máximo n elementos.
  • Se é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de .
  • Juntando os dois fatos (o fato de ter a mesma quantidade de elementos de e que esses elementos são no máximo os elementos de ) temos que .

Corolário (unicidade numa bijeção)[editar | editar código-fonte]

Se existir uma bijeção então . Consequentemente, se existem duas bijeções e , logo .

Prova[editar | editar código-fonte]
  • o teorema 2 nos diz que seja e se existir uma , temos que
    • Logo devemos supor que (neste caso estamos supondo que ), e essa suposição é válida pois se fosse não teríamos uma bijeção
  • Pelo teor 2, ao qual

Corolário (bijeção sobre uma parte própria)[editar | editar código-fonte]

Não pode existir uma de um conjunto finito sobre uma parte própria

Prova[editar | editar código-fonte]

Teorema (Propriedades de um subconjunto)[editar | editar código-fonte]

Se é um conjunto finito então todo subconjunto é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

Prova[editar | editar código-fonte]

Corolário[editar | editar código-fonte]

Seja uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

Prova[editar | editar código-fonte]

Leia mais[editar | editar código-fonte]