Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:
Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos
.
- (função) f é uma aplicação
- (unicidade)
![{\displaystyle Se\;f(x)=y,f(x)=z,logo\;y=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c34140b238cb110cf7167a889508134b85225a)
Duas funções f,g são iguais se, e somente se,
Uma transformação é uma aplicação onde D=CD.
é uma transformação de S sobre S.
Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja
O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.
O conjunto
é chamado de conjunto imagem porque é o conjunto de todos os elementos de B que são alcançados pela regra de f aplicado em A.
Seja
.
Uma aplicação
é chamada restrição f para C, e escrevemos
.
Uma restrição f|C é uma restrição do domínio, e
A aplicação f é uma extensão da aplicação f|C
Uma aplicação
é sobrejetora, se
A aplicação
é injetora se elementos distintos de A(domínio) tem imagens distintas em B, isto é, se
Seja
uma função. O gráfico de f é dado por
Seja
.
- As aplicações
são chamadas de aplicações compostas
- A aplicação
é interessante pela sua forma associativa
![{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h):R\mapsto U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a32b776306b25f99e0435a76cd56b14a7ba6f0)
- Se f e g são sobrejetora, então
também o é
- Se f e g são injetora, então
também o é
Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.
De uma maneira mais rigorosa,
é bijetiva se, e somente se, existe
tal que
Função inversa de
é uma função com gráfico (f(x),x), onde é o mesmo gráfico de f(x), rotacionado em torno da reta y=x. Dizemos que
é a função inversa de f.
Seja
. Assim
; Façamos:
- i)
![{\displaystyle (f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=f\circ (g\circ g^{-1})\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=1_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c5e4254bf04e0385dd73d5623f0c5d76478e05)
- ii)
![{\displaystyle (g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g)=g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g=g^{-1}\circ g=1_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bed1ddfacf95fce68b8e85c31039ef7fdb898b)
Suponha
, seja uma relação de equivalência envolvendo a imagem, de forma que, a R b se, e comente se, f(a) = f(b). Assim se
nós temos
- Seja
. De fato, ![{\displaystyle f^{-1}(C)=\bigcup _{c\;\in \;Y}f^{-1}(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7f5198b53190456932e718f5d393b0bf91f2c8)