Matemática elementar/Imprimir

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Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação[editar | editar código-fonte]

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{ v,x,y,z \}}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle S = \{A, B, C, D \}}

Especificando conjuntos[editar | editar código-fonte]

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P = \{ 6,28,496 \}}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Z_{100} = \{ 0, 1, 2, ..., 99 \}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle T = \{ \{1,6\}, \{5,8\} \}}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{x|P(x)\}}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{ x \in \mathbb{R} | x^2 - 6x = -8 \}}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{ 2,4 \}} .

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

Conjunto unitário[editar | editar código-fonte]

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \{\}} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \empty} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \phi} .[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos[editar | editar código-fonte]

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \subset B} . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(A)} , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(A)} é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(A)} = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(A)} terá 2n elementos. Ou seja:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \#\mathcal{P}(A) = 2^{\#A}} .

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} → P(A) = {Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} } → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = {Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} ,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = {Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} ,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = {Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} ,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \varnothing} ).

n(P(A)) = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n} + 1 = \sum_{k=1}^{n} {n! \over (n-k)!k!} +1}

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C^0_n\,\! + C^1_n\,\! + C^2_n\,\! + C^3_n\,\! + ... + C^n_n\,\! = \sum_{k=0}^{n} {n! \over (n-k)!k!} = 2^n}

→ n(P(A)) = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^n - C^0_n\,\! + 1}

Mas, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C^0_n\,\! = {n!\over (n-0)!0!} = {n!\over n!} = 1}

→ n(P(A))Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = 2^n - C^0_n\,\! + 1 = 2^n -1+1 = 2^n}

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle |A| < |P(A)|} .

Conjunto Universo[editar | editar código-fonte]

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos[editar | editar código-fonte]

Relação de inclusão[editar | editar código-fonte]

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle V} formado pelas vogais, podemos dizer que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \supset V} (A contém V) ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle V \subset A} (V está contido em A)

Relação de pertinência[editar | editar código-fonte]

Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \,\! a} é um elemento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} , nós podemos dizer que o elemento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a} pertence ao conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e podemos escrever Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \in A} . Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a} não é um elemento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} , nós podemos dizer que o elemento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a} não pertence ao conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e podemos escrever Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \not\in A} .

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -16 \in \mathbb{Z}}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c \in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c\ \not\in \ \{a,e,i,o,u\}}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{4}{9}\ \not\in \ \mathbb{Z}}

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} são conjuntos e todo o elemento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x pertencente a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} também pertence a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} , então o conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} é dito um subconjunto do conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} , denotado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \subseteq B} . Note que esta definição inclui o caso em que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A=B} ). Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \subseteq B} e ao menos um elemento pertencente a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} não pertence a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} , então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} é chamado de subconjunto próprio de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} , denotado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \subset B} . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = B} . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ne} .

Simetria de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

União de A e B (em azul mais escuro)
  • A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cup B = \{ x \in U | x \in A \lor x \in B \}}

Por exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{a,e,i\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B = \{o,u\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cup B = \{a,e,i,o,u\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{2,3,4,5\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B = \{1,3,5\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cup B = \{1,2,3,4,5\}}

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

  • A união de um conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cup \{\} = A} .
  • Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B} .

Intersecção[editar | editar código-fonte]

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} quanto a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} . Matematicamente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cap B = \{ x \in U | x \in A \land x \in B \}}

Por exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \{1,2,3\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B = \{3,4,5\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \cap B = \{3\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C = \{a,e,i,o,u,y\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D = \{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \cap D = \{\}}

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença[editar | editar código-fonte]

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A - B = \{x \in U | x \in A \land x \not\in B\}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B - A = \{x \in U | x \in B \land x \not\in A\}}

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
N = {1,2,3,4,5,...}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z} - \mathbb{N} = \mathbb{Z}_{-} = \{...,-2,-1,0\}}
  • A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A - \{ \} = A} .

Complementar[editar | editar código-fonte]

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \complement} . Matematicamente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \complement B_A = \{ x \in A | x \not\in B \}}

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
D = { {10,12} }
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \complement D_A = \{ 3,4,9,\{25,27\} \}}

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.
Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \aleph_0} (aleph zero), Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \aleph_1, \aleph_2 ...} .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A} é denotada por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle |A|} ou por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \#A} . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle |A|=|B| } .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

  • É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
  • É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

  • Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

  • Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Par ordenado[editar | editar código-fonte]

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a,b) \ne (b,a)}

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (b,a) = \{ \{b\}, \{b,a\} \}}

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \times} . Matematicamente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \times B = \{(x,y) | x \in A \land y \in B \}}

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \times B= \{(a,b) : a \in A \land b \in B\}}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}} .
  • O produto cartesiano é não-comutativo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \times B \ne B \times A} .
  • Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.


Relações[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. ↑ Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

  1. Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

  1. Conjunto
  2. Complementar
  3. Diagrama de Venn
  4. Diagrama de Euler
  5. Teoria dos conjuntos

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Números naturais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} desses conjunto, obtemos o subconjunto:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}^*} = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} [editar | editar código-fonte]

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 10-11=-1} , e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -1} não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}}

Critérios de divisibilidade[editar | editar código-fonte]

Divisibilidade por 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

  • 360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

  • 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

  • 2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

  • 414 → divisível por 6, pois
    • par → divisível por 2
    • 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7[editar | editar código-fonte]

A divisibilidade por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7} também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 45 - 6 = 39.} Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 784} → Separando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 78} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4,} teremos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 78 - 8 = 70.} Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 70} é divisível por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7} o número Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 784} também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

  • 24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

  • 927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

  • 154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11[editar | editar código-fonte]

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

  • Separe o último algarismo
    15 e 4
  • Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

  • 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 168 \equiv 146 \pmod{11}} , portanto é divisível.
  • 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 171 \not\equiv 148 \pmod{11}} , portanto não é divisível.

Divisibilidade por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^n} [editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^n} quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^n.}

Divisibilidade por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^n} [editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^n} quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^n.}

Números primos[editar | editar código-fonte]

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)[editar | editar código-fonte]

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 6 = 2 \times 3}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 16 = 2^4\,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 20 = 2^2 \times 5}

Máximo Divisor Comum (MDC)[editar | editar código-fonte]

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\,\!} (vulgarmente abreviada como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mdc(a,b)\,\!} ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mdc(16,8) = 8\,\!.} A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mdc(a,b,c,d)\,\!.}

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m\,\!} o máximo divisor comum entre Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\,\!} e também Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a'\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b'\,\!} o resultado da divisão de ambos por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m\,\!,} respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!}

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

  • Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
  • Fatoração disjunta

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mdc(24,40)\,\!} 

24  | 2
12  | 2
6   | 2
3   | 3   
1   | 2³ • 3



40  | 2
20  | 2
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito, 

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)[editar | editar código-fonte]

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura: 

     Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Q_1}
    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Q_2}
     Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Q_{...}}
   
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde, 

A = um dos números
B = o outro número
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Q_1}
 = quociente da divisão Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{A}{B}}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R_1}
 = resto da divisão Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{A}{B}}
 (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.


O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo
      3      3        
  80  |  24  |  8    ← MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)[editar | editar código-fonte]

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b\,\!} (vulgarmente abreviada como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mmc(a,b)\,\!} ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mmc(6,8) = 24\,\!.}

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

  • Fatoração conjunta
  • Fatoração disjunta

Fatoração conjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mmc(24,40)\,\!} 


24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2  +
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle mmc(24,40)\,\!} 

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3



40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito, 

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedades do MDC e do MMC[editar | editar código-fonte]

Relação de Bézout: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b}


Algoritmo de Euclides: MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Exercícios:

Uma abordagem mais avançada:

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números inteiros[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} ), que vem de Zahlen (do alemão, "número").

Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.


Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}


Se retirarmos o Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0} desses conjuntos, obtemos o subconjunto:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}^*} = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}


Outros subconjuntos de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}:}


  • Conjunto dos inteiros não-negativos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}+} = {0,1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros não-positivos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}-} = {...,-3,-2,-1,0}


  • Conjunto dos inteiros positivos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}^*+} = {1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros negativos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}^*-} = {...,-3,-2,-1}


Notas:


  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}+} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}}


  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}^*+} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}^*}

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipedia[editar | editar código-fonte]

Números racionais[editar | editar código-fonte]

Números racionais e frações[editar | editar código-fonte]

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a/b\,\!,} onde Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b \,\!} é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{29}{8}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 (= \frac{3}{1} ):} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\frac{29}{8}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 \frac{5}{8}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 (= \frac{0}{x} )}

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}{a \over b} & + & {c \over d} & = & {ad+bc \over bd} \\ {a \over b} & \cdot & {c \over d} & = & {ac \over bd} \end{matrix}}

Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{4}} + Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{4}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2}}

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}}

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições[editar | editar código-fonte]

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a}{b},} designa este número Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a} \,\!} dividido em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {b} \,\!} partes iguais. Neste caso, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a} \,\!} corresponde ao numerador, enquanto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {b} \,\!} corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{56}{8}} designa o quociente de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 56 \,\!} por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 \,\!.} Ela é igual a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7 \,\!,} pois Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7 \,\!} x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 \,\!} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 56 \,\!.}

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb Q.}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb Q} = {Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \,\!} / Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \,\!} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a}{b},} com Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \in \mathbb{Z}} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b \in \mathbb{Z}} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ne 0} }

Decimais[editar | editar código-fonte]

Decimais exatos[editar | editar código-fonte]

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Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{5}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0,2 \,\!}

Decimais periódicos[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{5}{3}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1,66... \,\!} (a)

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{7}{6}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1,166... \,\!} (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica[editar | editar código-fonte]

Dízima simples[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0,6666.. \,\! \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{2}{3}}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1,6666... \,\! = 1\,\! + 0,6\,\! \Rightarrow 1\,\! + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}}

Dízima composta[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1,166... \,\!} => Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1 \,\!} + Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0,166... \,\!} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1 \,\!} + Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{15}{9}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{105}{90}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{7}{6}}

Conversão entre dízima e fração[editar | editar código-fonte]

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \,\!\begin{matrix}\frac{21}{9}\end{matrix}}

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \,\!\begin{matrix}\frac{3804014}{99900}\end{matrix}} , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \,\!\begin{matrix}\frac{3807821 - 3807}{99900}\end{matrix}} .

Tipos de frações[editar | editar código-fonte]

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2}}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{7}{3}}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \frac{1}{3}}
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{12}{4}}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2}}
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{9}{22}}
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{3}}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}}
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{437}{100}}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)} da seguinte maneira Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}.} Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}}

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 \times {1 \over 4} = {3 \over 1} \times {1 \over 4} = {3 \over 4}}

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {1 \over 3} \times {9 \over 2} = {9 \over 6} = {\not{9}^3 \over \not{6}^2} = {3 \over 2}\,}

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {1 \over 3} \times {9 \over 2} = {1 \over \not{3}^1} \times {\not{9}^3 \over 2} = {3 \over 2}\,}

Divisão[editar | editar código-fonte]

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{3}{5}} ÷ Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{7}{2}}

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}}

Que se resolve como mostrado acima.

Adição[editar | editar código-fonte]

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}}

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {15 \over {3}} = {5} }   ∴   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5 \times {2} = {10}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {15 \over {5}} = {3} }   ∴   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 \times {3} = {9}}

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{10+9}{15}}}

O denominador comum é mantido:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{19}{15}}}

Subtração[editar | editar código-fonte]

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação[editar | editar código-fonte]

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25}

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25}

Radiciação[editar | editar código-fonte]

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8}^2 = \sqrt[3]{64} = {4}}

Simplificação de frações[editar | editar código-fonte]

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{8}{4}}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {{\frac{8:4}{4:4}}} = {{2} \over {1}}}

Comparação entre frações[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2}{5}}   ?   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{3}{7}}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {35 \over {5}} = {7} }   ∴   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7 \times {2} = {14}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {35 \over {7}} = {5} }   ∴   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5 \times {3} = {15}}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{14}{35}} } < Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{15}{35}} } ∴ Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{2}{5}} } < Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {\frac{3}{7}} }

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{14}{35} = \frac{2}{5} }   e   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{15}{35} = \frac{3}{7} }

Conversão entre frações impróprias e mistas[editar | editar código-fonte]

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{7}{3}}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \frac{1}{3}}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números irracionais[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números irracionais Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ( \mathbb{I} )} é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tfrac {a} {b} } , sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

  • π (Pi Radiano) = 3,141592...
  • e (Número de Euler) = 2,718281...
  • φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais[editar | editar código-fonte]

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

  • √2 = 1,414213...
  • √3 = 1,732050...
  • √5 = 2,236067...
  • 3√2 = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

  • √6 = √2.3 = 2,449489...
  • √10 = √2.5 = 3,162277...
  • √30 = √2.3.5 = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ( \mathbb{Q} )} , se, e somente se em

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt [n] {x^{a} y^{b} z^{c} ...}}

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt {5,76} = \sqrt {2^4.3^2.5^{-2}} }

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{I} } [editar | editar código-fonte]

  • Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:
π + 1 = 4,141592...
π + √2 = 4,555806...
√2 + √3 = 3,146264...
  • Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:
π - 1 = 2,141592...
√10 - π = 0,020685...
√7 - √10 = -0,516526...
  • Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:
√2 x √3 = √6
3√2.3√2.3√2 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).

Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.

Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.

  • Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:
√6 ÷ √3 = √2
2√2 ÷ √2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).
  • Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:
π2 = 9,869604...
(√3)4 = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".

Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.

Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.

Números reais[editar | editar código-fonte]

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^{n},} onde n é o expoente e x é a base.

A potência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{3},} por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64.} Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7^1 = 7} ), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 16^0} = 1).

Propriedades da potenciação[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^a \cdot x^b = x^{a + b}}

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}}

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x^a)^b = x^{ab}}

Quarta propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (xy)^a = x^a \cdot y^a}

Equivalência entre bases[editar | editar código-fonte]

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{-3} \times 4^3 }

Podemos substituir 4 por 22:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{-3} \times (2^2)^3 = 2^{-3} \times 2^6 = 2^{-3 + 6} = 2^3 }

Expoentes negativos[editar | editar código-fonte]

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left( \frac {x} {y} \right)^n = \frac {y^{-n}} {x^{-n}} }

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left( \frac {2} {3} \right)^{-2} = \frac {3^{2}} {2^{2}} = \frac 9 4 }

Tópicos

  1. Definição de Potência
  2. Operações com potências
    1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
    2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
  3. Equações envolvendo potências
  4. Inequações envolvendo potências
  5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação[editar | editar código-fonte]

Propriedades da radiciação[editar | editar código-fonte]

Racionalização de denominadores[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ] -\infty\,} - ilimitado
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ] a \,} - limitado e aberto
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle [ a \,} - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \infty [ \,} - ilimitado
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b [ \,} - limitado e aberto
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b ] \,} - limitado e fechado

Por exemplo:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ] -\infty , 0 ]\,} - é o conjunto dos números reais não-positivos
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle [1, 2[\,} - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Sobre Radiciação[editar | editar código-fonte]

Ver módulo principal: Matemática elementar/Conjuntos/Números reais
  1. Coloque em ordem crescente: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3] {11} , \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}\,}
  2. Expresse sob a forma de raiz as expressões abaixo:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3] {\frac {x} {y} \sqrt[4] { \frac {x^2} {y}}}\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[4] {\frac {36} {125}} \sqrt[3] {\frac {5} {4}}\,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[6] { x^2 y } \sqrt[4] { x^3 y^2 }\,}
  3. Os lados de um triângulo valem Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{7}\,} cm, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{18}\,} cm e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{27}\,} cm. Calcule seu perímetro.
  4. Simplifique os radicais
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac {x^5} {y^7}}\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3] {\frac {4^2} {9^4}}\,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[4] {\frac {x^6 . y^9} {z^7}}\,}
  5. Racionalize as expressões abaixo:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5} + 1} =\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =\,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} =\,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt[5]{8}}{\sqrt[5]{4}} =\,}
    5. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{100}{\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5}} =\,}
    6. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}} =\,}
    7. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}} =\,}
  6. Transforme as expressões em um único radical:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{x \sqrt{y \sqrt{z}}} =\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}}} =\,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x^2 \sqrt{x}}} =\,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[10]{x^3} \sqrt[6]{x^5} = \,}
    5. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt[5]{8}}{\sqrt[3]{4}} = \,}
    6. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{125}{\sqrt{5} \sqrt[3]{25}} = \,}
  7. Coloque a expressão na forma mais simples, conforme o exemplo do exercício 1:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{x^4 \ y^2}{2 \ z}}\,} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{x^3 \ x \ y^2 \ 2^2 \ z^2}{2^3 \ z^3}}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{x^3}{2^3 \ z^3}} \sqrt[3]{x \ 2^2 \ y^2 \ z^2}} = Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x}{2 \ z} \sqrt[3]{2^2 \ x \ y^2 \ z^2}\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac{24}{125}} = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[5]{\frac{64}{81}} = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} = \,}
    5. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[15]{x^{32} \ y^{83} \ z^{41}} = \,}
  8. Escreva as expressões abaixo como uma soma de radicais:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{12 + \sqrt{140}} = \,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{13 - \sqrt{160}} = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{9 - \sqrt{72}} = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{7 + \sqrt{48}} = \,}
  9. Seja x um número real positivo tal que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x + 2 \sqrt{2}\,} é o inverso de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x - 2 \sqrt{2}\,} . Determine Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2 + x^{\frac {1}{2}}\,} .
  10. Seja Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a = \frac{3 + \sqrt{10}}{4 - \sqrt{5}}\,} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b = \frac{4 + \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 2}\,} . Determine a:b.
  11. Simplifique as expressões abaixo:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \frac{1}{\sqrt[3]{16}} = \,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {2 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{3}} = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (5 - \sqrt{10})^2 = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})^2 = \,}

== Veja também ==Leonardo Belo Nato

Números complexos[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números complexos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i} . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário[editar | editar código-fonte]

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de √-1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt {-4} = \sqrt {4} \sqrt {-1} = \pm 2i}

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(0) = \frac {\pm \sqrt {-4 \times 1 \times 9}} 2 = \frac {\pm \sqrt {-36}} 2 = \frac {\pm \sqrt {36} \sqrt {-1}} 2 = \frac {\pm 6i} 2 = \pm 3i}
A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real[editar | editar código-fonte]

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

  • b igual a zero para um número real qualquer;
  • a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{z} = 2 - (-i)}

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos[editar | editar código-fonte]

Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a1 soma-se à parte real a2, enquanto a parte imaginária b1 soma-se à parte imaginária b2.

Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \operatorname{Re} = -2 {\color{Red}+} (-3) = -5 \\ \operatorname{Im} = 4i {\color{Red}+} (-i) = 3i \end{cases} }

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \operatorname{Re} = -2 {\color{Red}-} (-3) = 1 \\ \operatorname{Im} = 4i {\color{Red}-} (-i) = 5i \end{cases} }

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a1 é multiplicada pela parte real a2 e pela parte imaginária b2, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b1 e a parte real a2, bem como o produto entre b1 e b2.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z_1z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2}

Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z_1z_2 = -2 + 4i - i + 2i^2 = -2 + 3i + 2i^2 = -2 + (3 + 2i)i}

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^0 = 1}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^1 = \sqrt {-1}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^2 = (\sqrt {-1})^2 = -1}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^3 = i^2i^1 = -1 \sqrt {-1} = -i}

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^x = i^{x - 4k - 1} = i^y}

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle i^{20} = i^{20 - 4k -1} = i^{19 - 4k} = i^{19 - 16} = i^3 = -i}

Divisão[editar | editar código-fonte]

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {z_1} {z_2} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i}}

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {z_1} {z_2} = \frac {z_1} {z_2} \times \frac {\bar{z_2}} {\bar {z_2}} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i} \times \frac {-1 - 2i} {-1 - 2i} = \frac {-2 -4i - 3i - 6i^2} {(-1)^2 - (2i)^2} = \frac {4 - 7i} 5}

Representação geométrica[editar | editar código-fonte]

É denominado de norma de um complexo z, dado por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z=a+bi} , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle N(z) = a^2 + b^2} .
E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle |z|=\surd N(z) = \surd (a^2 + b^2)}
Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.

Relações[editar | editar código-fonte]

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R : A \rightarrow B \,\!} . O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Especificando relações[editar | editar código-fonte]

Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R = \{(x,y) \in A \times B | C \}\,\!} ,

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R = \{(x,y) \in A \times B | y=2x \}\,\!}

A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.

C = { 1,2,4,8 }
D = { 0,1,2 }
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R = \{(x,y) \in C \times D | x < y \}\,\!}
R = { (1,2) }

Representação gráfica[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.

Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

Gráfico de uma relação y ≤ x + 1, para x e y reais.

No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)

Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).

No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

Função[editar | editar código-fonte]

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).

Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

Relações de equivalência[editar | editar código-fonte]

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.

Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:

Teorema: Se a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā. Por definição xRa. Como a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē. Tome x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē. Por definição xRe. Como a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā. Deste modo, ā=ē.

Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.

Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā tal que u∉ē ou u Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.

Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} P ⇒ x⊆X, além de x,y Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} P ⇒ x∩y=∅ e x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} X ⇒ ∃a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} P tal que x Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} a.

Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē é de equivalência. Demonstração: a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē, logo ā=ē. Daí, como e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē por definição, então e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ē e e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \in} ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.

Funções[editar | editar código-fonte]

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f : A \rightarrow B : x \mapsto f(x)} , ou mais simplificadamente, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f : A \rightarrow B}

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; pode haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x,y) = x + y}

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

  • há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
  • a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Duas funções f e g são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x \in D, f(x) = g(x) \to g = f }
OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

Introdução[editar | editar código-fonte]

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas
Vendas Comissão por venda Valor Fixo Salário
0 55 300 300
1 55 300 355
2 55 300 410
... ... ... ...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle S=55\cdot V+300\,\!}

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

  • O salário depende das vendas.
  • O salário é uma função das vendas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Ao aplicar uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f\,\!} em um dado conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} .

Ao conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} .


Ou seja:

Dados dois conjuntos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} não vazios, dizemos que a relação f de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D\,\!} em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C\,\!} será função se, e somente se,

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \forall x \in D \; \exists \; y \in C \; | \; \left( x,y \right) \in f} .

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\,\!} , deve haver apenas um Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y\,\!}

Representações[editar | editar código-fonte]

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f:A \rightarrow B \,\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \rightarrow y = f(x) \,\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} & f& \\A&\rightarrow&B \end{matrix}\,\!}

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) = ax + b ,\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle g(x) = ax^2 + bx + c \,\!}

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

As condições básicas de existência são:

  1. Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
  2. Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
  3. Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
    1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
    2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

Nomenclaturas[editar | editar código-fonte]

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, contradomínio e imagem[editar | editar código-fonte]

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D = \{ 1,2,3,4,5 \}}
O contradomínio é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle CD = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z \}}
A imagem é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Im = \{ a,e,i,o,u \}}

Gráfico Cartesiano[editar | editar código-fonte]

Abscissa
Todo e qualquer elemento do domínio.
Ordenada
Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.
Gráfico em Plano Cartesiano da função
Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras[editar | editar código-fonte]

Ver módulo principal: Matemática elementar/Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Funções Pares e Ímpares[editar | editar código-fonte]

  • Uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} é denominada par quando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) = f(-x)} , para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \in \operatorname{Dom}(f)} (domínio de f).
  • Uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} é denominada ímpar quando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) = -f(-x)} , para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \in \operatorname{Dom}(f)} .

Propriedades das funções[editar | editar código-fonte]

Continuidade[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle [a,b]} , se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \sqrt{x}} , definida para o contradomínio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y \in \mathbb{R}} , não é contínua no intervalo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ]-\infty,+\infty[} , uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) < f(x + \epsilon)} .

Uma função é dita decrescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)>f(x+\varepsilon)} .

Paridade[editar | editar código-fonte]

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\!\,} um elemento pertencente a um conjunto simétrico Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): A\!\, , uma função é dita:

  • par, se para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\!\,} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) = f(-x)\!\,} ; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
  • ímpar, se para todo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\!\,} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x) = -f(-x)\!\,} ;
  • sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
Função 5x2 + 120 Função x3
Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100
f(2) = f(-2)
 Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
f(2) = 23 = 8
f(-2) = -23 = -8
f(2) = -f(-2)

Funções polinomiais de primeiro e segundo graus[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = ax + b,\, a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}}
Função polinomial de primeiro grau, definida por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = 6x + 5} .

A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a} , na função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = ax + b} e que tem domínio igual a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle R} , é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}

Para o caso específico da constante Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b} ser igual a zero, a função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = ax} é chamada função linear.

Função polinomial do segundo grau:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = x^2} .

Já a função do segundo grau toma a forma:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = ax^2 + bx + c}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}}

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

Operações sobre funções[editar | editar código-fonte]

Soma, produto e quociente[editar | editar código-fonte]

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = f (x)} . O objeto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x é chamado o argumento da função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} , e o objeto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y} , que depende de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x , é chamado imagem de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x pela Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} .

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): x um único valor da função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f(x)} . Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

Alguns tipos de funções[editar | editar código-fonte]

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.

  1. Função polinomial
    1. Função linear
    2. Função quadrática
  2. Função exponencial e Função logaritmica
  3. Função trigonométrica
  4. Função modular
  5. Função afim
Wikipedia
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras[editar | editar código-fonte]

Tomemos dois conjuntos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle X\!\,} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Y\!\,} . Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.

  • Se houver ao menos uma criança no conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle X\!\,} que não seja filha de uma mulher do conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Y\!\,} , então esta relação não consiste em uma função.
  • Se houver ao menos uma criança no conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle X\!\,} que seja filha de mais de uma mulher do conjunto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle Y\!\,} , então esta relação também não consiste em uma função.
  • Se no conjunto X não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto Y tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para a e b crianças diferentes do conjunto X, as suas mães f(a) e f(b) são diferentes. Neste caso, a função é injetora.
  • Se o conjunto Y for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em Y, então qualquer que seja a mãe m do conjunto Y existe alguma criança c tal que f(c) = m (ou seja, m é a mãe de c). Neste caso, a função é sobrejetora.
  • Se não houver irmãos em X, e o conjunto Y for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função f é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
  • Função Injetora e não sobrejetora

    Função Injetora e não sobrejetora

  • Função Sobrejetora e não injetora

    Função Sobrejetora e não injetora

  • Função Bijetora

    Função Bijetora

  • Resumindo:
    • Função Injetora (ou função injetiva, ou uma injeção) é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
    • Função sobrejetora (ou função sobrejetiva ou uma sobrejeção) é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
    • Função bijetora (ou função bijetiva ou uma bijeção) é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

Domínio finito[editar | editar código-fonte]

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:

  • se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
  • se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle e: B \to C\,} dada por k(x) = 1
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: D \to B\,} dada por g(x) = x2
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle g: A \to C\,} dada por h(x) = x2
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle h: A \to B\,} dada por f(x) = x + 2

Então:

  • e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
  • f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
  • g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
  • h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Alguns casos particulares para funções Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: A \to B\,} , em que A e B são conjuntos finitos de números

  • Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
  • Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
  • Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.

Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: A \to B\,} dada por f(x) = x2, em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

Domínio e contra-domínio real[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,} .

Alguns casos particulares:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
  • Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x2 + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.

Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Gráfico da função y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) Considere a função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,} dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.

Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

Domínio e contra-domínio intervalos de números reais[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: \mathbb{A} \to \mathbb{B}\,} , em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.

A única regra especial é:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigos na wikipedia:

Função inversa[editar | editar código-fonte]

Dada uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: U \to V\,} , uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u  ?

Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \frac{v - b}{a}\,} .

Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x2 + b x + c (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Delta = b^2 \ - \ 4 \ a \ (c - v)\,} ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).

Como outro exemplo, a função f(x) = x2 + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x2 + 1 = v é equivalente a x2 = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \sqrt{v - 1}\,} .

Conceito[editar | editar código-fonte]

Dada uma função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f: U \to V\,} , dizemos que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle g: V \to U\,} é a função inversa de f quando:

  • Para todo valor Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y \in V\,} , a equação f(x) = y tem uma solução
  • Esta solução é única, e dada por x = g(y).

Teoremas[editar | editar código-fonte]

  • Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
  • Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
  • A função inversa de uma função é única
  • Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

Definições relacionadas[editar | editar código-fonte]

A função inversa Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle g} de uma função real de variável real Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} obtém-se de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f} por uma simetria em relação à recta Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y=x} .

Uma função que tenha inversa diz-se invertível.

A função inversa de uma função f é representada por f-1 - note-se que esta notação deve ser usada com cuidado, pois, em alguns contextos, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f^{-1} = \frac{1}{f}\,} .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigo na wikipedia:

Exponenciais[editar | editar código-fonte]

Definição de Potência[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^{n}} , onde n é o expoente e x é a base.

A potência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{3}} , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64} . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7^1 = 7} ), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 16^0} = 1).

A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

Operações com Potências[editar | editar código-fonte]

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{b} \times a^{c} = a^{b + c}} Para efetuar a multiplicação de potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^{a} \times c^{a} = (b \times c)^{a}} Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{b} \times a^{b} = a^{b + b}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{b} \times a^{b} = (a \times a)^{b}}

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

Divisão[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a^{b} \over a^{c}} = a^{b - c}} Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {b^{a} \over c^{a}} = \left ({b \over c} \right)^{a}} Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a^{b} \over a^{b}} = a^{b - b}} (1)
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {b^{a} \over b^{a}} = \left ({b \over b} \right)^{a}}
Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a^{b} \over a^{b}} = 1} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {a^{b} \over a^{b}} = a^{b - b} = a^0} então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^0 = 1} .

Observe que isto não é a prova que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^0 = 1} pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^0 = 1} , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.

Equações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo af(x) = bg(x)[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{f(x)} = a^{g(x)}\,}

onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).

No caso mais geral:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{f(x)} = b^{g(x)}\,}

é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^{(x + 1)} = 8^x\,}

O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4 = 8^{(2/3)}\,} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 = 4^{(3/2)}\,} (exercício), mas é bem mais simples transformar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4 = 2^2\,} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 = 2^3\,} :

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (2^2)^{(x + 1)} = (2^3)^x\,}

Aplicando a propriedade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a^b)^c = a^{(bc)}\,} :

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{(2 x + 2)} = 2^{3 x}\,}

Agora temos uma equação da forma Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{f(x)} = a^{g(x)}\,} :

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 x + 2 = 3 x\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -x + 2 = 0\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 2\,}

Verificando:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4^3 = 8^2\,} (ok)

Equações do tipo f(ax) = 0[editar | editar código-fonte]

As equações do tipo

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f({a^x}) = 0\,}

são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a x^4 + b x^2 + c = 0\,} é resolvida pela substituição Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = x^2\,} . Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva a equação
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 9^x + 2^3 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,}

De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 9 = 3^2\,} , temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(3^2)}^x + 8 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,}

Usando agora a propriedade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(a^b)}^c = {(a^c)}^b\,} :

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(3^x)}^2 + 8 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,}


Ainda temos um problema! É preciso transformar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^{(x - 1)}\,} em uma expressão onde Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^x\,} esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^{(b - c)} = a^b / a^c\,} :

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^{(x - 1)} = 3^x / 3^1 = 3^x / 3\,}

Então a expressão fica:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(3^x)}^2 + \frac{8}{3} 3^x - 1 = 0\,}

Resolvendo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = 3^x\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y^2 + \frac{8}{3} y - 1 = 0\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 y^2 + 8 y - 3 = 0\,}

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 (3) (-3)}}{2 (3)}\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y =\frac{-8 \pm \sqrt{100}}{6}\,}

Ou seja, as duas raízes são:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = -3\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \frac{1}{3}\,}

A primeira solução, y = -3, gera uma equação sem solução em x, porque Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^x\,} é sempre um valor positivo e não pode ser igual a -3.

A segunda solução fornece:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^x = \frac{1}{3}\,}

Ou seja:

x = -1

Verificando, temos que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 9^{-1} + 8 \ 3^{-2} - 1 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} - 1 = 0\,} (ok)

Inequações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Gráficos de funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

81²+81²+81²=

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Exponenciação
Wikisource
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O Wikisource tem material relacionado a este artigo: Potências e raízes dos números

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Exercícios[editar | editar código-fonte]

A seguir são sugeridos alguns exercícios sobre exponenciais.

Ver módulo principal: Matemática elementar/Exponenciais
  1. Simplifique as expressões abaixo, conforme o exercício 1:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5^5 \times 5^2 = 5^{(5 + 2)} = 5^7.\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^3 \times 2^4 = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^5 \times 3^8 \times 3^2 = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{10} \times 6^5 = \,}
    5. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {10}^2 \times {20}^3 = \,}
    6. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^3 \times y^2 \times x^2 \times z^4 = \,}
  2. Simplifique as expressões abaixo:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2^3 \times 3^2}{2^4 \times 3} = \,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x^4 \times y^2}{x^3 \times y^5} = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2 \times x^3 \times y}{6 \times x \times y^5} = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{6^5}{5^6} \times \frac{81}{25} = \,}
  3. Simplifique as expressões abaixo:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(-2)}^4 \times {(-3)}^3 \times {(-6)}^2 = \,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{{(-3)}^2 \times 2^{(-2)}} {3^3 \times {(-2)}^{-3)}} = \,}
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(2^3)}^4 \times {({(-4)}^{-2})}^{-3} = \,}
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{(x^3)^2}{(x^2)^5} = \,}
  4. Sendo a = 43, b = (-8)5, c = (-2)6 e d = (1/2)-3, determine o valor de:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {a^2 \times b^{-1}} {(-c)^{-2} \times (-d)^{-3}} = \,}
  5. Escreva Verdadeiro (V) ou Falso (F), corrigindo a resposta no segundo caso:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 \times a^3 = a^{2 \times 3}\,} ( )
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^3 \times b^4 = b^{3 + 4}\,} ( )
    3. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4 \times y^4 = (x \times y)^4 \,} ( )
    4. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}\,} ( )
    5. Se n é um número par, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-x)^n = x^n\,} ( )
    6. Se n é um número ímpar, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-x)^n = -x^n\,} ( )
    7. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-x)^n \times x^{-n} = 1\,} ( )
    8. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(x^a)}^b = x^{(a^b)}\,} ( )
    9. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {(a^x)}^y = a^{x \times y}\,} ( )
    10. Se a é diferente de zero, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^1 = a\,} ( )
    11. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^0 = 1\,} ( )
    12. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^1 = 0\,} ( )
    13. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^{65536} = 0\,} ( )
    14. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^{-5} = 0\,} ( )
    15. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^{10} = {10}^2\,} ( )
    16. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^{47} = 1\,} ( )
    17. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^{-65} = 1\,} ( )
    18. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^0 = 0\,} ( )
    19. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^0 = \pi,} ( )
  6. Simplifique as expressões:
    1. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { {(-2)}^3 . {(-4)}^2 . 8^{-1} } { 16^{-1} . {(-4)}^{-3} . {(-2)}^4 }\,}
    2. Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { 6^4 . {(-3)}^{-2} . {(-2)}^3 } { 36^3 . 4^{-2} . 81 }\,}
    3. Sendo x > 0 e y > 0, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { x^{-2} . y^2 . {(-x)}^4 } { - y^2 . x^{-2} . {(-x)}^2 }\,}

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

Árvore genealógica ilustrada até a antepenúltima geração.

Considere o seguinte exemplo:

Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na última geração, havia um. Na penúltima, dois. Na antepenúltima, quatro, e assim sucessivamente.

Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^x = 128}

No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{2} 128 = 7}

Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima geração anterior à primeira.

A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.

Definição de logaritmo[editar | editar código-fonte]

Um logaritmo pode ser descrito como:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{a}b = c \iff a^c = b \iff \sqrt [c] {b} = a}

Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é necessário para a resolução da equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.

Vejamos um exemplo numérico abaixo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2^3 = 8}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt [3] 8 = 2}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{2}8 = 3}

Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.

Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log x = \log_{10} x}

Equações envolvendo logaritmos[editar | editar código-fonte]

Existem basicamente três métodos para a resolução de equações com logaritmos:

Desenvolvimento na forma de potência[editar | editar código-fonte]

Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Nestes casos, convertemos o logaritmo para uma potência. Por exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_3 27 = x}

Que pode ser entendida como:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3^x = 27}

Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes. Neste caso, basta pensarmos a que expoente devemos elevar a base 3 para obtermos a potência 27. Conclui-se que x = 3, pois 33 = 27.

Logaritmo como variável[editar | editar código-fonte]

O logaritmo pode também ser entendido como uma função. Por exemplo, se temos uma função x, operamos com os princípios da álgebra, e isto ocorre também com os logaritmos. Exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3x + 5x = 8x}

Na álgebra, para podermos operar termos é necessário que a parte literal de cada monômio seja igual. Com os logaritmos isto ocorre de forma similiar:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 \log_2 x + 5 \log_2 x = 8 \log_2 x}

Para podermos operar logaritmos de forma análoga à álgebra, é fundamental que a base e o logaritmando sejam iguais. Veja outro exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2 \cdot x = x^3}

Com logaritmos podemos interpretar de maneira semelhante:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{10}^2 x \cdot \log_{10} x = \log_{10}^3 x}

Logaritmo em funções compostas[editar | editar código-fonte]

Além de aparecer em parcelas de uma soma ou em fatores, como visto nos dois últimos exemplos, o logaritmo pode aparecer em qualquer outra função! Pode estar no quociente de uma divisão, no expoente de uma potência, no radicando de uma raíz, ou até mesmo no logaritmando de um outro logaritmo. Em alguns casos, é muito comum recorrermos a alguma substituição para podermos visualizar melhor a equação. Por exemplo:


Exemplo de substituição em função composta
:Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 5^{\log_5 7} = x}
  • Substituiremos log5 7 por y, apenas para facilitar o cálculo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 5^y = x}
  • Dividiremos a equação por 2:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 5^y = \frac x 2}
  • Converteremos a potência para logaritmo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_5 \frac x 2 = y}
  • Retornaremos o valor de y:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_5 \frac x 2 = \log_5 7}
  • Comparando a igualdade, percebemos que x/2 é igual a 7 (note que a base e o logaritmando são iguais!):
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac x 2 = 7}
  • Isolando a incógnita:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 14}

Função logaritmica[editar | editar código-fonte]

Na tabela abaixo, vejamos os resultados obtidos na função f (x) = log2 x:

f (x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
0,0625
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024

Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, nesse exemplo, que quanto menor for f (x), mais próximo de zero será x, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Neste caso, o intervalo do domínio da função é (0, +∞).

Chamamos de raíz da função os valores de x em que f(x) = 0. Isto é, os pontos em que a curva intersepta o eixo das abscissas. No exemplo anterior, isto ocorre quando x = 1.

Vejamos o caso abaixo, de f(x) = (-2)x

x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
-0,125
0,25
-0,5
1
-2
4
-8

Veja que os valores de f (x) possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!

Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.

Estudo de casos[editar | editar código-fonte]

Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos (desenvolveremos na forma de potência) :

Base igual ao logaritmando: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_x x = 1, \{x \in \mathbb R | x>0\} }
Temos que logx x = y é o mesmo que xy = x. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto logx x = 1.
Base inversa ao logaritmando: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_x \frac 1 x = -1, \{x \in \mathbb R | x>0\} }
Sabemos que logx 1/x = y é igual a xy = 1/x. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, logx 1/x = -1.
Logaritmando igual a 1: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_x 1 = 0, \{x \in \mathbb R | x>0\} }
Já que logx 1 = y é o mesmo que xy = 1, devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, logx 1 = 0.
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle }

Operações com logaritmos[editar | editar código-fonte]

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos logca = x, e logcb = y. Assim, cx = a, e cy = b.

Soma[editar | editar código-fonte]

A soma de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto de seus logaritmandos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)}

Demonstração:

  • Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \cdot b = c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,}
  • Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,}
  • Como cx = a, cy = b, logca = x e logcb = y, substiuímos termos correspondentes:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,}

Multiplicação por constante[editar | editar código-fonte]

O produto de um logaritmo por uma constante (ou qualquer função real) é o logaritmo do logaritmando elevado a esta constante:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k}

Demonstração:

  • A partir de:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^k = {(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,}
  • Transformamos o último resultado em logaritmo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,}
  • Substituindo os termos correspondentes:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c a^k = k \cdot \log_c a\,}

Subtração[editar | editar código-fonte]

A diferença de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do quociente de seus logaritmandos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c} \frac{a}{b}}

Demostração:

  • Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c}a + (-1 \log_{c}b)}
  • Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + (-1 \log_{c}b) = \log_{c}a + \log_{c}b^{-1}}
  • Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c}b^{-1} = \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b}}
  • Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b} = \log_{c}a \cdot \frac {1}{b}}
  • Portanto:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c} \frac {a}{b} = \log_{c}a - \log_{c}b}

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

Um logaritmo A qualquer é igual a uma fração de dois logaritmos de mesma base, na qual o logaritmando do denominador é igual ao logaritmando de A, e o logaritmando do numerador é igual a base de A:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}}
Sendo que c>0.
  • Consideraremos os valores para a demonstração:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c a = x \to c^x = a} (I)
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_c b = y \to c^y = b \to c = b^{ \frac {1} {y}}} (II)

Demonstração:

  • Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^1 = b \to \log_b b = 1 }
  • Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {x} {y} \log_b b = \frac {x} {y} }
  • Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b b^{\frac {x} {y}} = \frac {x} {y} }
  • Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b (b^{ \frac {1} {y}})^{x} = \frac {x} {y} }
  • Substituímos com o resultado em (II):
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b c^x = \frac {x} {y} }
  • Sabemos cx em (I):
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b a = \frac {x} {y}}
  • Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b a = \frac {\log_c a} {\log_c b}}

Que prova a igualdade da propriedade.


Exemplo de aplicação
Além de frequentemente ser utilizada para simplificar cálculos, a mudança de base permite que calculemos qualquer logaritmo na calculadora. Normalmente, as calculadoras estão providas somente de log10. Consideremos o exemplo localizado no inicio da página:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_2 128 = x}

Se não for possíver realizar o cálculo com a base 2, utilizemos a propriedade da mudança de base:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_2 128 = \frac {\log_{10} 128} {\log_{10} 2} = 7}

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:

Inversão do logaritmando[editar | editar código-fonte]

Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:

Um logaritmo A qualquer é igual ao logaritmo -A com o logaritmando invertido:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \log \frac x y \to -A = \log \frac y x}

Demonstração:

  • Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -A = -\log \frac x y}
  • Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -A = \log \left ( \frac x y \right )^{-1}}
  • Que resulta em
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -A = \log \frac y x}

Bases com expoentes[editar | editar código-fonte]

Um logaritmo qualquer de base bc e logaritmando x é igual a um logaritmo de base b e logaritmando x1/c:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}}

Demonstração:

  • Pela propriedade da mudança de base, temos que:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {\log_b b^c}}
  • Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} {c \log_b b}}
  • Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (logb b), que é igual a 1:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac {\log_b x} c} (I)
  • Reescrevendo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \frac 1 c \times \log_b x}
  • Pela multiplicação por constante:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{b^c} x = \log_b x^{1/c}}
  • Observe que em (I), podemos ter um final diferente para esta propriedade, ao multiplicarmos a equação por c:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c \log_{b^c} x = \log_b x}


Exemplo de aplicação
Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_4 x + \log_2 x = y}

A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{2^2} x + \log_2 x = y}

Aplicando a propriedade da base com expoente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_2 x^{1/2} + \log_2 x = y}

E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir y:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_2 (x^{1/2} \cdot x) = y}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \log_2 x^{3/2}}

Simplificando com a multiplicação por constante:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \frac {3 \log_2 x} {2}}

Troca da base pelo logaritmando[editar | editar código-fonte]

Um logaritmo A qualquer de base b e logaritmando x é igual a um logaritmo 1/A de base x e logaritmando b:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \log_b x \to \frac 1 A = \log_x b}

Demonstração:

  • Pela propriedade da mudança de base, temos que:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b x = \frac {\log_x x} {\log_x b}}
  • Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (logxx), que é igual a 1:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b x = \frac {1} {\log_x b}}
  • Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {1} {\log_b x} = {\log_x b}}


Divisão e multiplicação de logaritmos[editar | editar código-fonte]

Podemos simplificar uma divisão de logaritmos através da propriedade da mudança de base, na qual é necessário que os logaritmos tenham a mesma base:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b} = \log_{b}a}
Na multiplicação de logaritmos, a simplificação ocorre quando a base de um fator é igual ao logaritmando do outro. Assim,
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_{c}a \cdot \log_{b}c = \log_{b}a}

Demonstração:

  • A multiplicação também é definida pela mudança de base. Na equação abaixo, desmembramos o denominador da divisão:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b} \to \log_b a = \log_{c}a \cdot \frac{1}{\log_{c}b}}
  • Dividindo a equação por logca:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {\log_b a} {\log_{c}a} = \frac{1}{\log_{c}b}}
  • Elevando-se a equação a -1:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {\log_{c}a} {\log_b a} = \log_{c}b}
  • Utilizando a propriedade da troca da base pelo logaritmando:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {\log_b a} {\log_{c}a} = {\log_{b}c}}
  • Multiplicando a equação por logca:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \log_b a = \log_{c}a \cdot \log_{b}c}

Que prova a multiplicação de logaritmos.

Cologaritmos[editar | editar código-fonte]

Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = - \log \frac{x}{y}}

Pela propriedade da inversão do logaritmando, podemos reescrevê-los como:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{colog}\,\frac{x}{y} = \log \frac {y} {x}}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios

Trigonometria[editar | editar código-fonte]

Trigonometria[editar | editar código-fonte]

Tabela de Trigonometria, 1728 Cyclopaedia

Trigonometria (do grego trigonon = três ângulos e metro = medida) é uma parte da Matemática que estuda as relações entre triângulos, ângulos e funções circulares como o seno e cosseno.

  1. Trigonometria do triângulo retângulo
  2. Arcos e ângulos - medida de um arco (radianos), relação entre arcos e ângulos.
  3. Razões trigonométricas na circunferência
  4. Funções trigonométricas
  5. Fórmulas de Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos
  6. Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos
  7. Identidades trigonométricas básicas
  8. Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas
  9. Lei dos senos e dos cossenos
  10. Resolução de triângulos

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Trigonometria

Exercícios de trigonometria

Arcos e ângulos[editar | editar código-fonte]

Circunferência[editar | editar código-fonte]

Seja Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O \,\!} um ponto qualquer do plano e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r>0 \,\!} um número real. A circunferência de centro Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O \,\!} e raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r \,\!} é o lugar geométrico dos pontos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P \,\!} desse plano tais que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle PO = r \,\!.}

Veja no Wikicionário círculo.

Arco de circunferência[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma circunferência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda\,\!} de centro Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O \,\!.} Sejam Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!} dois pontos distintos de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda\,\!.}

Um arco de circunferência de extremos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (\widehat{A B})} é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \equiv B } teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Arco de circunferência e ângulo central correspondente[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle med(A \widehat{O} B) = \alpha }

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ ^\circ \,\!} ), o radiano (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle rad \,\!} ) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grau[editar | editar código-fonte]

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{360}} da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 360^\circ .}

Submúltiplos do grau
  • O minuto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ( ^\prime ) :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^\prime = \frac{1}{60}\cdot 1^\circ ,} ou seja, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^\circ = 60^\prime .}
  • O segundo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ( ^{\prime\prime} ) :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^{\prime\prime} = \frac{1}{60}\cdot 1^\prime ,} ou seja, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^\prime = 60^{\prime\prime} } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^\circ = 3600^{\prime\prime} .}

O radiano[editar | editar código-fonte]

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).

Conseqüentemente, para medir um ângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \widehat{O} b } em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l \,\!} do arco pelo raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r \,\!,} ou seja, calcular quantos radianos mede o arco Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{AB}.} Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{l}{r} ,} onde Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r \,\!} devem estar na mesma unidade de comprimento.

O comprimento de uma circunferência de raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r \,\!} é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \pi r \,\!.} Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi rad \approx 6,283184 .} Para converter unidades, podemos usar as correspondências Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 180^\circ = \pi rad } ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 360^\circ = 2 \pi rad } e uma regra de três simples.

O grado[editar | editar código-fonte]

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{1}{400}} da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 180^\circ = \pi rad = 200 gr } ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 360^\circ = 2\pi rad = 400 gr } e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x O y \,\!,} em que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O = \left (0,0 \right )\,\!.} Seja uma circunferência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda\,\!} de centro Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O \left (0,0 \right )\,\!,} raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r = 1 \,\!} e o ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \left (1,0 \right )\,\!.}

A cada número real Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): \alpha\,\! associaremos um único ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P \,\!} de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda\,\!.}

  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha = 0 \,\!,} então tomamos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P = A \,\!;}
  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha > 0 \,\!,} realizamos, a partir de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!,} um percurso de comprimento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha\,\!,} no sentido anti-horário e marcamos o ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P \,\!} como final desse percurso.
  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha < 0 \,\!,} realizamos, a partir de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!,} um percurso de comprimento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle - \alpha\,\!,} no sentido horário, e marcamos o ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P \,\!} como final desse percurso.

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \left (1,0 \right )\,\!} como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

O ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle P \,\!} é chamado imagem de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): \alpha\,\! no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x O y \,\!} divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Ângulos côngruos[editar | editar código-fonte]

Os ângulos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \beta \,\!,} em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha - \beta = k\cdot360^\circ \,\!,} para algum Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle k \in \mathbb{Z}\,\!,} ou seja, se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \beta \,\!} têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \beta \,\!} são côngruos escrevemos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \equiv \beta \,\!.}

Por exemplo, os ângulos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 90^\circ \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 450^\circ \,\!} são congruentes, pois Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 450^\circ - 90^\circ = 360^\circ \,\!.}

Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..[editar | editar código-fonte]

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x O y \,\!} e uma circunferência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda \,\!} de centro Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle O \,\!} e raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r = 1 \,\!.} Sendo um ponto qualquer pertencente à Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \lambda \,\!} a imagem de um ângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): \alpha\,\! na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} dar-se-á por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot360^\circ = n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!,} sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n \,\!} o número de voltas completas. Quando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n > 0 \,\!,} deve-se andar no sentido anti-horário; se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n < 0 \,\!,} deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 90^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 180^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \pi + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 270^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{3\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 90^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2} + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D \,\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot90^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0^\circ + n\cdot\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z} \,\!.}

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \,\!} é:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em graus: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em radianos: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}

Expressão geral dos arcos que têm imagem em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \,\!:}

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em graus: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em radianos: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em graus: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \pm \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha \,\!} em radianos: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \pm \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!}

Primeira determinação positiva[editar | editar código-fonte]

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.

Por exemplo, os ângulos (em graus) -15o, 315o, 2115o, -2505o são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315o.

Analogamente, os ângulos (em radianos) Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\frac{18 \pi}{5}\,} , Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{12 \pi}{5}\,} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{72 \pi}{5}\,} são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{2 \pi}{5}\,} .

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:

  1. dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360o ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \pi\,} , conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
  2. se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
  3. tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
  4. somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360o ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \pi\,} , conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)

Exemplos:

  1. Se o ângulo inicial é -580o
    1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
    3. Trocar o sinal -> 2
    4. Somar -580o com 2 x 360o -> 140o
  2. Se o ângulo inicial é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 \pi\,}
    1. Dividir Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 \pi\,} por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \pi\,} -> 4
    2. Sendo inteiro, manter -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 8 \pi\,} com Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-4) (2 \pi)\,} -> 0
  3. Se o ângulo inicial é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{97}{11} \pi\,}
    1. Dividir Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{97}{11}\pi\,} por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2 \pi\,} -> Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{97}{22}\,} ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{97}{11} \pi\,} com Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (-4) (2 \pi)\,} -> Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{9}{11} \pi\,}

Imagens de alguns arcos importantes[editar | editar código-fonte]

  • Primeira volta no sentido anti-horário:

Ângulos correspondentes[editar | editar código-fonte]

  • Em graus:

Center

  • Em radianos:

Center

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Razões trigonométricas na circunferência[editar | editar código-fonte]


Este módulo encontra-se em processo de tradução. A sua ajuda é bem vinda.

Definição geométrica de seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

No círculo unitário mostrado abaixo, um raio unitário foi traçado da origem ao ponto (x,y) sobre o círculo.

Definição de seno e cosseno

A linha perpendicular ao eixo-x que passa pelo ponto (x,y) intercepta o eixo-x no ponto com abscissa x. Analogamente, a linha perpendicular ao eixo-y intercepta este eixo no ponto de ordenada y. O ângulo entre o eixo-x e o raio é α.

A funções trigonométricas de qualquer ângulo α são definidas por:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \mathrm{Seno:} & \mathrm{sen}\,(\alpha) & = & y \\ \mathrm{Cosseno:} & \cos(\alpha) & = & x \\ \end{matrix} }

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan\theta} pode ser definido a partir do seno e cosseno.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan\theta = \frac{\mathrm{sen}\,\theta}{\cos\theta} \qquad \cos\theta \ne 0}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan\alpha = \frac{y}{x} \qquad x \ne 0}

Estas três funções trigonométricas pode ser usadas para ângulos medidos em graus, radianos ou qualquer outra medida angular, desde que fique claro qual é a unidade usada.

Funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.

Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.

  • seno (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \operatorname{sen},} em português; a maioria das linguagens de programação escrevem Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin\,} ).
  • coseno (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \,\!} ).
  • tangente (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \,\!} ).

As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.

  • tangente Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\tan x= {\mathrm{sen}\, x \over \cos x}\right)}
  • secante Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\sec x = {1 \over \cos x}\right)}
  • cosecante Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\csc x= {1 \over \mathrm{sen}\, x}\right)}
  • cotangente Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left(\cot x = {\cos x \over \mathrm{sen}\, x}\right)}

O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.

As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen-1, cos-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

Trigonometria do triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{OB}} é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{OA}} é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{AB}} é o cateto oposto ao ângulo α:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \csc \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto oposto}}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sec \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto adjacente}}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{cateto oposto}}}

Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.

As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.

Exemplo - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}} \to \sen 30 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to 0,5 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to \mbox{cateto oposto} = 2,5 }

Seno, cosseno e tangente dos ângulos[editar | editar código-fonte]

Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:

0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85° 90°
Seno 0 0,08 0,17 0,25 0,34 0,42 0,5 0,57 0,64 0,7 0,76 0,81 0,86 0,9 0,93 0,96 0,98 0,99 1
Cosseno 1 0,99 0,98 0,96 0,93 0,9 0,86 0,81 0,76 0,7 0,64 0,57 0,5 0,42 0,34 0,25 0,17 0,08 0
Tangente 0 0,08 0,17 0,26 0,36 0,46 0,57 0,7 0,83 1 1,19 1,42 1,73 2,14 2,74 3,73 5,67 11,43 -

Veja que os valores crescentes de sen x são os mesmos para cos x, entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)

Ângulos notáveis[editar | editar código-fonte]

Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa c igual a 1, seu lado a igual a 0,5 uc e seu lado b igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 √3 uc. Assim:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin 30 = \cos 60 = \frac a c = \frac {0,5} 1 = \frac 1 2}

Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin 60 = \cos 30 = \frac b c = \frac { 0,5 \sqrt 3} 1 = \frac {\sqrt 3} 2}

E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida √2 uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin 45 = \cos 45 = \frac 1 { \sqrt 2} = \frac {\sqrt 2} 2}

De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis são o quociente entre x e 2, em que x é a raiz de cada um dos cinco termos a1, a2, a3, a4 e a5 de uma progressão aritmética em que a1 = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:

0° 30° 45° 60° 90°
PA Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 0} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 1} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 2} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 3} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 4} 2}
Seno =
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac 1 2}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 2} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 3} 2}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1}
Cosseno =
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 3} 2} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac { \sqrt 2} 2}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac 1 2}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0}

A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {\sin} {\cos} = \frac {\frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}} {\frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}} = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}} = \tan }

Que resulta:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 0 = 0}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 30 = \frac {\sqrt 3} 3}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 45 = 1}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 60 = \sqrt 3}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 90 = -}

A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.

Círculo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac {2 \pi} {360} \mathrm {uc} = \frac {\pi} {180} \mathrm {uc}}

Podemos transformar a unidade de medida uc (unidades de comprimento) em rad (radianos). Assim, podemos dizer que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 1^{\circ} = \frac {\pi} {180} \mathrm {rad} }

Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo e y o seno:

Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):

Gráficos[editar | editar código-fonte]

Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.

Seno[editar | editar código-fonte]

Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:

Observe que a função seno é uma função ímpar, pois sen (-x) = -sen x, qualquer que seja x pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2π. Dizemos, então, que o período da função sen (x) é 2π. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a amplitude. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma senoide. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)}

Para as quais:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sin y \begin{cases} w = 0 \to \sin x \\ w = 1 \to \cos x \\ w = 2 \to - \sin x \\ w = 3 \to - \cos x \end{cases} }

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o seno de 500°?
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv 500 - 90 (4z + w)}

Os únicos números z e w que satisfaçam 500 - 90 (4z + w) = x onde x pertence ao intervalo ]0; 90] é z = 1 e w = 1. Veja:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 500 - 90 (4 + 1) \equiv x \to x \equiv 50}
Já que w = 1, então o seno de 500° é igual ao cosseno de 50°, que temos na primeira tabela desta página. Portanto, o seno de 500° é 0,64.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

O gráfico da função cosseno é o seguinte:

Esta é uma função par, pois cos (-x) = cos x, qualquer que seja x pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2π e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma cossenoide. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para 0° < x ≤ 90° e assim obter seu cosseno:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)}

Para as quais:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos y \begin{cases} w = 0 \to \cos x \\ w = 1 \to - \sin x \\ w = 2 \to - \cos x \\ w = 3 \to \sin x \end{cases} }

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o maior ângulo negativo no qual seu cosseno é igual ao seno de 30°?

Para que o ângulo y tenha seu cosseno igual ao seno de 30°, w deve ser igual a 3:

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Já que a equivalência é verdadeira, há infinitos números z que a satisfazem. No entanto, a questão especifica que este deve ser o maior negativo, portanto, z = -1:

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Tangente[editar | editar código-fonte]

Já para o gráfico da função tangente, temos:

A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x ∈ R}. O período desta função é igual a π, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma tangentoide. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para 0° ≤ x < 90°:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan y \begin{cases} 180z \le y < 180z + 90 \to \tan (y - 180z) = \tan y = \tan x \\ 180z + 90 \le y < 180 (z + 1) \to |y - 180 (z + 1)| = x \to \tan y = -\tan x \end{cases} }

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - A tangente do ângulo 20° é igual à tangente de -200°?

O primeiro passo é determinar a qual conjunto pertence -200°. Veja que este encaixa-se perfeitamente em 180z + 90 ≤ y < 180 (z + 1) quando z = -2:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -270 \le y < -180}

Então,

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = |-200 - 180 (-2 + 1)| = 20 }

E assim:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle - \tan 20 = \tan -200 }
Logo, a tangente de -200° não é igual à tangente de 20°, mas sim à tangente de 20° negativa.

Características[editar | editar código-fonte]

Nesta imagem, a é a amplitude e b o período.

Dados a + b sen (cx - dπ) ou a + b cos (cx - dπ), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:

  • a + b e a - b - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem Im = [a+b; a-b];
  • 2π ÷ c - o período da função;
  • d - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.

A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A = \frac {|a + b| + |a - b|} {2}}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado[editar | editar código-fonte]

Definição de seno e cosseno

Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (\cos x)^2 + (\mathrm{sen}\, x)^2 = 1^2\,}

É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,.}

A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 < x < \pi/2\,,} ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \pi/2, \pi \mbox{ ou } 3 \pi / 2\,,} temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.

Nos demais casos, temos:

Se x está no segundo quadrante, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \pi/2 - x\,} está no primeiro quadrante, e:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = - \cos(\pi/2 - x)\,:}  : Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = \mathrm{sen}\,(\pi/2 - x)\,:} portanto:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (\pi/2 - x) + \mathrm{sen}\,^2 (\pi/2 - x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,}

Analogamente:

Se x está no terceiro quadrante, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = x - \pi\,} está no primeiro quadrante, e:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = - \cos(x - \pi)\,:}  : Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(x - \pi)\,:} portanto:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (x - \pi) + \mathrm{sen}\,^2 (x - \pi) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,}

Finalmente:

Se x está no quarto quadrante, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = -x\,} está no primeiro quadrante, e:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = \cos(-x)\,:}  : Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(-x)\,:} portanto:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (-x) + \mathrm{sen}\,^2 (-x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,}

Ou seja, a relação

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle cos^2 x + sen^2 x = 1\,}

é válida para qualquer ângulo real x.

Propriedades do quadrado da secante e da cossecante[editar | editar código-fonte]

Lembrando que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{sec} x = \frac{1}{\cos x}\,:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{cosec} x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x}\,:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{tan} x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}\,:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{cotan} x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}\,}

temos que:

Dividindo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,} por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x\,:}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{tan}^2 + 1 = \mbox{sec}^2 x\,:}
Dividindo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,} por Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,^2 x\,:}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mbox{cotan}^2 + 1 = \mbox{cosec}^2 x\,}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \;\!,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \;\!} pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!.} Os arcos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{P B} } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{C A } } têm medidas iguais, logo as cordas Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{P B} } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{C A} } também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!}

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula: 

     Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos \left ( a + b \right ) = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!}

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sabemos que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) .} A partir disto e sendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = a + b \;\!,} obtemos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]}

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b }

Substituindo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a } nesta expressão, então: 

       Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!}

Tangente da soma[editar | editar código-fonte]

Sabendo que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} } e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \left ( a + b \right ) \;\!:}

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b} }

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}}

Então: 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot\tan b} }

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} ,} porque a relação Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} } só é válida se e somente se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.}

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} ,} podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot \left ( a + b \right ) \;\!:}

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a} }

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}}

Simplificando, temos: 

       Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b - 1}{\cot a + \cot b}}

Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} } é válida se e somente se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!,} a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 1 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 75^\circ \;\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 2 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 3 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 105^\circ \;\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 4 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot 75^\circ \;\!}


    • Resolução
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 1 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ }

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 2 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 3 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 4 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} }

Subtração de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Para calcular Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \left ( a - b \right ) \;\!,} fazemos uso da igualdade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!} na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!}

Então: 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos \left ( a - b \right ) = \cos a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!}

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!} para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!}

Logo, 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!}

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Usando novamente a igualdade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!} e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )} }

Simplificando, temos: 

   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \tan \left ( a - b \right ) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\cdot\tan b} }

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .}

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Mais uma vez, usaremos a igualdade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!} e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )} }

Logo, obtemos a identidade: 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cot \left ( a - b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b + 1}{\cot b - \cot a} }

Está fórmula só pode ser aplicada se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 1 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 15^\circ \;\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 2 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 3 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot 15^\circ \;\!}


    • Resolução


Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 1 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} }


Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 2 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} }


Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( 3 \right ) \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} }


  • Dados Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \alpha = 1 \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \beta = \frac{1}{2} \;\!,} calcule Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.}
    • Resolução

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} }

Multiplicação de arcos[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2a, 3a,... \;\!,} utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!,} conforme será mostrado adiante.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!}

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais: 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!}

     ou                  
    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!}

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos: 

    Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!}

Expressões para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 4a, \cos 5a,...\;\!} são obtidas por processos semelhantes.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!}

Então, temos: 

  Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\! }

Utilizando a Identidade relacional básica:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\! }

Logo: 

  Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!}

Expressões para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\!} são obtidas por processos semelhantes.

Tangente[editar | editar código-fonte]

A partir da fórmula da tangente da soma:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!}

Logo: 

   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} }
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!}

Ao subtituimos a fórmula anterior para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 2a \;\!} e simplificarmos, obtemos como fórmula final: 

  Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\! }

Expressões para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 4a, \tan 5a,... \;\! } são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cot x = \frac{5}{3} \;\! } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,} calcule Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2x \;\!.}
    • Resolução

Precisamos encontrar Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x \;\!} para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!,} que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!.} Como Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,} o valor da cossecante é positivo.

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \csc x = \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}}

De onde vem Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .}

Podemos finalmente calcular:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .}

Bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2a \;\! } a fim de que, dado o cosseno de uma arco Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x \;\! } qualquer, possamos obter Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\! } ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} \;\! .} Para isto, consideraremos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2a = x \;\! .}

A partir de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:}

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1 } 
   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}}

A partir de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!,} temos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!} 
   Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}}

Finalmente, sabendo que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} ,} temos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} } 
  Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}}

Seno[editar | editar código-fonte]

Caso nos seja dado o Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x \;\!,} sabendo que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} ,} calculamos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x \;\!} e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente[editar | editar código-fonte]

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x \;\!,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x \;\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan x \;\!,} conhecida a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \frac{x}{2}.} Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} }

e consideraremos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2a = x \;\! ,} de modo que: 

      Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}}


      Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}}


      Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle  \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} ,} com Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 < x <\frac{\pi}{2} ,} calcule as funções circulares de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x}{2} .}


    • Resolução

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} }

Logo, temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} }


  • Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} ,} determine Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x \;\!.}


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17} }

Exercícios[editar | editar código-fonte]



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Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese[1], são:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(x) + \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(x) - \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(x) + \mathrm{cos}\,(y)= 2\cdot\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(x) - \mathrm{cos}\,(y)= - 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}


Dedução - soma e diferença dos senos[editar | editar código-fonte]

Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a+b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a-b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)}

Somando-as membro a membro:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a+b) + \mathrm{sen}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) (I)}

Fazendo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = a+b:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = a-b}

Temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a = \frac{x+y}{2}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b = \frac{x-y}{2}}

Substituindo a e b, em (I):

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(x) + \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}


Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a+b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a-b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)}


Subtraindo-as membro a membro:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a+b) - \mathrm{sen}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)} (II)

Substituindo a e b, em (II):

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(x) - \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)}

Dedução - soma e diferença dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Agora para a função cosseno

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a+b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) - \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a-b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) + \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)}

Somando-as membro a membro:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a+b) + \mathrm{cos}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)} (III)

Substituindo a e b, em (III):

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(x) + \mathrm{cos}\,(y)= 2\cdot\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}


E por fim:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a+b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a-b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)}

Subtraindo-as membro a membro:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(a+b) - \mathrm{cos}\,(a-b) = -2\cdot\mathrm{sen}\,(a)\mathrm{sen}\,(b)} (IV)

Substituindo a e b, em (IV):

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{cos}\,(x) - \mathrm{cos}\,(y)= -2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. ↑ Prostaférese

Identidades trigonométricas básicas[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas tem que ser simplificadas. Geralmente é possível aproveitar as características cíclicas das funções para modificar o seu comportamento, transformando uma ou mais funções trigonométricas em outras operadas de forma que apresentem o mesmo resultado da função original.

Identidade relacional básica[editar | editar código-fonte]

Uma vez que no ciclo trigonométrico com ângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \theta \,\!} podemos encontrar as coordenadas Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x,y) \,\!} fazendo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \cos(\theta) \,\!} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = \operatorname{sen}(\theta) \,\!,} podemos verificar que estas coordenadas e a distância entre a origem Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (0,0) \,\!} e o ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x,y) \,\!} formam um triângulo retângulo. Sendo esta distância unitária, temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2 + y^2 = 1 \,\!}

Portanto:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \cos^2(\theta) + \operatorname{sen}^2(\theta) = 1 \,\!}

Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3 x + 4 = 0\,}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2 - 4 x - 7 = 0\,}

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan x = 1\,}

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \pi\,,} para cada solução x = a, temos que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = a + \pi\,} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = a - \pi\,} também serão soluções, assim como qualquer valor Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = a + k \pi\,,} sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n[editar | editar código-fonte]

sen(x) = n[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n\,\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen} \ x=n\,\!}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left|n\right|<1} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}x=\alpha + 2 k \pi \\ x=\pi - \alpha + 2 k \pi \\ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n=-1\,\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=-\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n=0\,\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=k\pi\,\!}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n=1\,\!} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left|n\right|>1} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x\in\varnothing}

A equação Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, x=n} só tem soluções quando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} está no intervalo [-1; 1]. Se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n} está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha} tal que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha=\mathrm{sen}\,^{-1} n\,\!}

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=\alpha + 2 k \pi\,\!}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=\pi - \alpha + 2 k \pi\,\!}

Em que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle k} é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}

Primeiro, deve-se determinar um valor para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha:}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \alpha=\mathrm{sen}\,^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{3}}

Substituindo nas fórmulas, temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3} + 2 k \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x}{2}=\pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi}

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}\left(1+6k\right)}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x=\frac{4\pi}{3}\left(1+3k\right)}

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, (x + \pi) =\frac{1}{2}\,}

Substituindo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = x + \pi\,:}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, y = \frac{1}{2}\,}

Sabemos que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{6}\,} é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y =\frac{\pi}{6} + 2 k \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y =\pi - \frac{\pi}{6} + 2 k \pi}

Substituindo o valor de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = y - \pi\,}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =\frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =\pi - \frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi}

Ou seja:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =- \frac{\pi}{6} + 2 k \pi}

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = \alpha + 2 k \pi\,,} em que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 0 \le \alpha < 2 \pi,}

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 (k + 1) \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =- \frac{\pi}{6} + 2 (k + 1) \pi}

Finalmente:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi}
ou
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x =\frac{11 \pi}{6} + 2 k \pi}

Equações com restrição no domínio[editar | editar código-fonte]

Determinação do domínio[editar | editar código-fonte]

Equações com mais de uma função trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Lei dos senos e dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ABC, BCD, BAD.}

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b = n + m} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m = c \cdot \cos \widehat{A}.}

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle BCD:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 = n^2 + h^2}
  • Para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle BAD:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c^2 = m^2 + h^2}

Substituindo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle n = b - m} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle h^2 = c^2 - m^2} em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 = n^2 + h^2:}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m}

Entretanto, pode-se substituir a relação Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m = c \cdot cos \widehat{A},} do triângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle BAD,} na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}}

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}}

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere um triângulo de lados Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle p,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle q} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r,} sendo que o comprimento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): p é 2 metros e o comprimento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle q} é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}} metros. Os lados Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): p e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle q} definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r.}
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos, Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = p^2 + q^2 - 2p \cdot q \cdot \cos \widehat{A}} tem-se que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle p=2,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle q=\sqrt{3}} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{A}=30^\circ} portanto:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = 2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = 4 + 3 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot {\sqrt{3}\over 2} :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = 7 - 2\cdot 3 :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = 7 - 6 :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r^2 = 1 :} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r = 1 :} O comprimento de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r} é 1 metro.
  • Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
    • Resolução
Dado um triângulo eqüilátero de lados Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l_1,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l_2} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l_3,} por definição tem-se que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l_1 = l_2 = l_3 .} Sejam Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x,} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z} os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos x:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l^2 - 2l^2 = \left(2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x\right)-2l^2:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -l^2 = -2l^2 \cdot \cos x:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {-l^2\over -2l^2} = {-2l^2 \cdot \cos x\over -2l^2}:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle {1\over 2} = \cos x:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x = 60^\circ :} O mesmo vale para Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle z:}
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos y:} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos z}

Lei dos senos[editar | editar código-fonte]

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ABC} qualquer inscrito em uma circunferência de raio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle r.} A partir do ponto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle B} pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D} e, ligando Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle D} a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C} formamos um novo triângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle BCD} retângulo em Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle C .}

Da figura, podemos perceber também que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{A} = \widehat{D}} porque determinam na circunferência uma mesma corda Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \overline{BC} .} Desta forma, podemos relacionar:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \mathrm{sen}\, \widehat{D} = \frac{a}{2r} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow a = 2r \cdot \mathrm{sen}\, \widehat{A} } Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = 2r }

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{B}} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{C}} teremos as relações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = 2r } e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r ,} em que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b} é a medida do lado Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle AC} oposto a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{B}} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle c} é a medida do lado Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle AB} oposto a Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \widehat{C}} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2r} é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r}

Lei das tangentes[editar | editar código-fonte]

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ABC} cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]},} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a+c}{a-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{C})]},} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{b+c}{b-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})]}}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}} Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}}

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}+\mathrm{sen}\, \widehat{B}}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}-\mathrm{sen}\, \widehat{B}}}

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}}}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}}

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Resolução de triângulos[editar | editar código-fonte]

Uma das aplicações mais comuns da trigonometria é a resolução de triângulos.

A resolução de triângulos é a operação matemática que, a partir de três elementos de um triângulo, determina todos outros elementos. Estes elementos podem ser lados, ângulos, perímetro, área, etc.

Os casos mais comuns são representados por uma tríade de letras, usando-se L (para lado) e A para ângulo. Assim, LLL significa resolver um triângulo no qual são dados três lados, LAA significa resolver um triângulo no qual é dado um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto. Nem todos casos são solúveis: AAA pode ter nenhuma (se a soma dos ângulos não for de 180o) ou infinitas soluções; LLA pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

LLL[editar | editar código-fonte]

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar dois ângulos; o terceiro ângulo sai naturalmente da soma dos ângulos ser 180o.

LAL[editar | editar código-fonte]

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar o lado oposto ao ângulo. Um outro ângulo pode ser determinado pela lei dos senos ou dos cossenos.

ALA[editar | editar código-fonte]

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LAA[editar | editar código-fonte]

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LLA[editar | editar código-fonte]

Dois métodos podem ser usados, mas ambos podem não ter solução:

  • Resolve-se o terceiro lado pela lei dos cossenos - neste caso, a equação é uma equação do segundo grau, que pode ter nenhuma, uma ou duas raízes.
  • Resolve-se o outro ângulo (que não é o ângulo formado pelos lados) pela lei dos senos - neste caso, a equação também pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

Progressões[editar | editar código-fonte]

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Sequências ou progressões são funções do tipo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle f:A \rightarrow B } , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:

(2,4,6,8,10) é uma sequência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y = 2x\ (x \in A, y \in B)} . Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1) da seguinte maneira: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = a_{n} + r} , sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.

Os dois tipos de sequências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.

Exemplos:

(1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pela reticiências ...) de razão igual a 4;
(1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.
  1. Progressão aritmética
  2. Progressão geométrica

Sequências numéricas[editar | editar código-fonte]

  1. Matemática elementar/Sequências numéricas
  2. Matemática elementar/Progressões aritméticas
  3. Matemática elementar/Progressões geométricas
  4. noção de limite de uma sequência

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]

1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.

O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5

Logo, r = 5-x.

Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105

As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.

temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7

x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3

Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7

2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A.

Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24

ou seja x+r=8

donde r=8-x

Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2

ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2

ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2

que é equivalente a 32x=256-64=192

Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

Expressões algébricas[editar | editar código-fonte]

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis[editar | editar código-fonte]

Quadrado da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \,\!}
.

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2}

Quadrado da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \,\! }

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\! }
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2}

Cubo da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,\!}

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!}

Cubo da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! }

Exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3 \,\! }
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fatoração algébrica[editar | editar código-fonte]

Fatoração pelo fator comum em evidência[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 14ab+7bc} , seu fator comum em evidência é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7b} , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 14ab:7b=2a} e Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 7bc:7b=c} , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 14ab+7bc=7b.(2a+c)} . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 15x+9y=3.(5x+3y)}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 50-10y=10.(5-y)}

Fatoração por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Observe o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b} . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b)} , logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ab-b^2=b(a-b)}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2a-2b=2(a-b)} , obtemos a fatoração de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)} , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a-b)(b+2)} . A forma fatorada de Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)} .

Outro exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)}

Fatoração da diferença de dois quadrados[editar | editar código-fonte]

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! }

Considere o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m^2-n^2} , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{m^2}=m} menos a raiz quadrada do segundo termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -\sqrt{n^2}=-n} , logo temos Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n} , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (m-n).(m+n)} , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)} , ou simplesmente Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle m^2-n^2=(m-n).(m+n)} .

Outros exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)}

Fatoração do trinômio quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2} , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (2x+y)^2} , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2} , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{4x^2}=2x} e a raiz quadrada do terceiro termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt{y^2}=y} , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4xy} ): Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 2.2x.y=4xy} , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2} .

Outro exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^2} ou Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2}

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos[editar | editar código-fonte]

As expressões usadas são:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^3+y^3 = (x+y) . (x^2-xy+y^2) \,\! }
Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\! }

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3} , tendo este cálculo como base, podemos dizer que Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)} , logo, a fatoração do polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^3+b^3} é igual à raiz cúbica do primeiro termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{a^3}=a} , mais a raiz cúbica do segundo termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{b^3}=b} vezes o quadrado do primeiro termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): a^2 , o produto dos dois termos com o sinal oposto Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle -ab} mais o quadrado do segundo termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle b^2} , formando:Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)} .

Outros exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )}

Fatoração do trinômio do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Observe o trinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2-2x-35} , cuja forma fatorada é Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x-7).(x+5)} , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2+8a+12=(a+2).(a+6)}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2-15x-100=(x-20).(x+5)}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle y^2+y-72= (y+9)(y-8)}

Fatoração completa[editar | editar código-fonte]

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4-y^4} , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)} , note que o primeiro termo da fatoração [Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x^2-y^2)} ] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2)} , assim, temos a fatoração completa do polinômio Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4-y^4} .

Outros exemplos:

  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1)^2}
  • Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c)}

Fatoração por artifício[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4+4x^2 y^2+16y^4} .

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle (x^4+4x^2 y^2+16y^4 +4x^2 y^2)-4x^2 y^2=}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)}

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle 4x^2 y^2} , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^5 + x + 1\,}

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2\,} , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2 (x^3 - 1) + x^2 + x + 1 = x^2 (x - 1) (x^2 + x + 1) + 1 (x^2 + x + 1) = (x^2 (x - 1) + 1)(x^2 + x + 1) = (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)\,}

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados: 

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \,\!}

Polinômios irredutíveis[editar | editar código-fonte]

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Problemas resolvidos[editar | editar código-fonte]

Caso 1[editar | editar código-fonte]

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

  • Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
  • Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2[editar | editar código-fonte]

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

  • ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
  • Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3[editar | editar código-fonte]

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4[editar | editar código-fonte]

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5[editar | editar código-fonte]

Soma e produto

Caso 6[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fração algébrica[editar | editar código-fonte]

Simplificação[editar | editar código-fonte]

15x²-15xy²=15x(x-y²)

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Subtração[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Divisão[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]