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Matemática elementar/Imprimir

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Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação[editar | editar código-fonte]

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

Especificando conjuntos[editar | editar código-fonte]

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

Conjunto unitário[editar | editar código-fonte]

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por , , ou .[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos[editar | editar código-fonte]

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto terá 2n elementos. Ou seja:
.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = → P(A) = {} → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = {,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = {,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = {,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por ).

n(P(A)) =

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

→ n(P(A)) =

Mas,

→ n(P(A))

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que .

Conjunto Universo[editar | editar código-fonte]

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos[editar | editar código-fonte]

Relação de inclusão[editar | editar código-fonte]

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto formado pelas vogais, podemos dizer que (A contém V) ou (V está contido em A)

Relação de pertinência[editar | editar código-fonte]

Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever .

Exemplos:

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo .

Simetria de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

União de A e B (em azul mais escuro)
  • A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

Por exemplo:

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

  • A união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto , .
  • Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, .

Intersecção[editar | editar código-fonte]

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos e , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a . Matematicamente:

Por exemplo:

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença[editar | editar código-fonte]

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
N = {1,2,3,4,5,...}
  • A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, .

Complementar[editar | editar código-fonte]

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
D = { {10,12} }

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.
Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph zero), .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por ou por . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

  • É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
  • É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

  • Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

  • Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Par ordenado[editar | editar código-fonte]

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é . Matematicamente:

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

.
  • O produto cartesiano é não-comutativo: .
  • Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.


Relações[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

  1. Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

  1. Conjunto
  2. Complementar
  3. Diagrama de Venn
  4. Diagrama de Euler
  5. Teoria dos conjuntos

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Números naturais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

= {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o desses conjunto, obtemos o subconjunto:

= {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em [editar | editar código-fonte]

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, , e não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto

Critérios de divisibilidade[editar | editar código-fonte]

Divisibilidade por 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

  • 360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

  • 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

  • 2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

  • 414 → divisível por 6, pois
    • par → divisível por 2
    • 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7[editar | editar código-fonte]

A divisibilidade por também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: → Separando e teremos Como é divisível por o número também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

  • 24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

  • 927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

  • 154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11[editar | editar código-fonte]

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

  • Separe o último algarismo
    15 e 4
  • Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

  • 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160, portanto é divisível.
  • 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161, portanto não é divisível.

Divisibilidade por [editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por

Divisibilidade por [editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por

Números primos[editar | editar código-fonte]

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)[editar | editar código-fonte]

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

Máximo Divisor Comum (MDC)[editar | editar código-fonte]

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja o máximo divisor comum entre e e também e o resultado da divisão de ambos por respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

  • Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
  • Fatoração disjunta

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

24  | 2
12  | 2
6   | 2
3   | 3   
1   | 2³ • 3


40  | 2
20  | 2
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)[editar | editar código-fonte]

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

                 
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
 = quociente da divisão 
 = resto da divisão  (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.


O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo
      3      3        
  80  |  24  |  8     MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)[editar | editar código-fonte]

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo,

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

  • Fatoração conjunta
  • Fatoração disjunta

Fatoração conjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo


24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2  +
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3


40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedades do MDC e do MMC[editar | editar código-fonte]

Relação de Bézout:


Algoritmo de Euclides: MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Exercícios:

Uma abordagem mais avançada:

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números inteiros[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem de Zahlen (do alemão, "número").

Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.


= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}


Se retirarmos o desses conjuntos, obtemos o subconjunto:

= {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}


Outros subconjuntos de


  • Conjunto dos inteiros não-negativos:

= {0,1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros não-positivos:

= {...,-3,-2,-1,0}


  • Conjunto dos inteiros positivos:

= {1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros negativos:

= {...,-3,-2,-1}


Notas:


  • =


  • =

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipedia[editar | editar código-fonte]

Números racionais[editar | editar código-fonte]

Números racionais e frações[editar | editar código-fonte]

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Exemplo:

+ =

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições[editar | editar código-fonte]

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

= { / = com e }

Decimais[editar | editar código-fonte]

Decimais exatos[editar | editar código-fonte]

=

=

Decimais periódicos[editar | editar código-fonte]

= (a)

= (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica[editar | editar código-fonte]

Dízima simples[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Dízima composta[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

=> + = + = =

Conversão entre dízima e fração[editar | editar código-fonte]

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, .

Tipos de frações[editar | editar código-fonte]

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais da seguinte maneira Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

Divisão[editar | editar código-fonte]

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

÷

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Que se resolve como mostrado acima.

Adição[editar | editar código-fonte]

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

       

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

O denominador comum é mantido:

Subtração[editar | editar código-fonte]

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação[editar | editar código-fonte]

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Radiciação[editar | editar código-fonte]

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Simplificação de frações[editar | editar código-fonte]

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

Comparação entre frações[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

  ?  

O MMC entre 5 e 7 é 35.

       

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

< <

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

  e  

Conversão entre frações impróprias e mistas[editar | editar código-fonte]

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números irracionais[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números irracionais é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por , sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

  • π (Pi Radiano) = 3,141592...
  • e (Número de Euler) = 2,718281...
  • φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais[editar | editar código-fonte]

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

  • 2 = 1,414213...
  • 3 = 1,732050...
  • 5 = 2,236067...
  • 32 = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

  • 6 = 2.3 = 2,449489...
  • 10 = 2.5 = 3,162277...
  • 30 = 2.3.5 = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais , se, e somente se em

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em [editar | editar código-fonte]

  • Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:
π + 1 = 4,141592...
π + 2 = 4,555806...
2 + 3 = 3,146264...
  • Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:
π - 1 = 2,141592...
10 - π = 0,020685...
7 - 10 = -0,516526...
  • Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:
2 x 3 = 6
32.32.32 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).

Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.

Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.

  • Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:
6 ÷ 3 = 2
2√2 ÷ 2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).
  • Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:
π2 = 9,869604...
(3)4 = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".

Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.

Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.

Números reais[editar | editar código-fonte]

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma onde n é o expoente e x é a base.

A potência por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ( = 1).

Propriedades da potenciação[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

Quarta propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

Equivalência entre bases[editar | editar código-fonte]

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

Podemos substituir 4 por 22:

Expoentes negativos[editar | editar código-fonte]

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

Tópicos

  1. Definição de Potência
  2. Operações com potências
    1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
    2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
  3. Equações envolvendo potências
  4. Inequações envolvendo potências
  5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação[editar | editar código-fonte]

Propriedades da radiciação[editar | editar código-fonte]

Racionalização de denominadores[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

  • - ilimitado
  • - limitado e aberto
  • - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

  • - ilimitado
  • - limitado e aberto
  • - limitado e fechado

Por exemplo:

  • - é o conjunto dos números reais não-positivos
  • - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Sobre Radiciação[editar | editar código-fonte]

  1. Coloque em ordem crescente:
  2. Expresse sob a forma de raiz as expressões abaixo:
  3. Os lados de um triângulo valem cm, cm e cm. Calcule seu perímetro.
  4. Simplifique os radicais
  5. Racionalize as expressões abaixo:
  6. Transforme as expressões em um único radical:
  7. Coloque a expressão na forma mais simples, conforme o exemplo do exercício 1:
    1. = = =
  8. Escreva as expressões abaixo como uma soma de radicais:
  9. Seja x um número real positivo tal que é o inverso de . Determine .
  10. Seja e . Determine a:b.
  11. Simplifique as expressões abaixo:

== Veja também ==Leonardo Belo Nato

Números complexos[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números complexos é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário[editar | editar código-fonte]

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de -1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por

A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real[editar | editar código-fonte]

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

  • b igual a zero para um número real qualquer;
  • a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos[editar | editar código-fonte]

Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a1 soma-se à parte real a2, enquanto a parte imaginária b1 soma-se à parte imaginária b2.

Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a1 é multiplicada pela parte real a2 e pela parte imaginária b2, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b1 e a parte real a2, bem como o produto entre b1 e b2.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:

Divisão[editar | editar código-fonte]

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

Representação geométrica[editar | editar código-fonte]

É denominado de norma de um complexo z, dado por , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, .
E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:
Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.

Relações[editar | editar código-fonte]

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por . O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Especificando relações[editar | editar código-fonte]

Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

,

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }

A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.

C = { 1,2,4,8 }
D = { 0,1,2 }
R = { (1,2) }

Representação gráfica[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.

Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

Gráfico de uma relação y ≤ x + 1, para x e y reais.

No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)

Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).

No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

Função[editar | editar código-fonte]

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).

Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

Relações de equivalência[editar | editar código-fonte]

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.

Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:

Teorema: Se a ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x ā. Por definição xRa. Como a ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x ē. Tome x ē. Por definição xRe. Como a ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x ā. Deste modo, ā=ē.

Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.

Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u ā tal que u∉ē ou u ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.

Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x P ⇒ x⊆X, além de x,y P ⇒ x∩y=∅ e x X ⇒ ∃a P tal que x a.

Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a ē é de equivalência. Demonstração: a ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a ē, logo ā=ē. Daí, como e ē por definição, então e ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a ē e e ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.

Funções[editar | editar código-fonte]

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

, ou mais simplificadamente,

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; pode haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

  • correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
  • a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Duas funções f e g são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

Introdução[editar | editar código-fonte]

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas
Vendas Comissão por venda Valor Fixo Salário
0 55 300 300
1 55 300 355
2 55 300 410
... ... ... ...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

  • O salário depende das vendas.
  • O salário é uma função das vendas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Ao aplicar uma função em um dado conjunto , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto .

Ao conjunto denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de .


Ou seja:

Dados dois conjuntos e não vazios, dizemos que a relação f de em será função se, e somente se,

.

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada , deve haver apenas um

Representações[editar | editar código-fonte]

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

As condições básicas de existência são:

  1. Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
  2. Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
  3. Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
    1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
    2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

Nomenclaturas[editar | editar código-fonte]

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, contradomínio e imagem[editar | editar código-fonte]

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é
O contradomínio é
A imagem é

Gráfico Cartesiano[editar | editar código-fonte]

Abscissa
Todo e qualquer elemento do domínio.
Ordenada
Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.
Gráfico em Plano Cartesiano da função
Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras[editar | editar código-fonte]

Funções Pares e Ímpares[editar | editar código-fonte]

  • Uma função é denominada par quando , para todo (domínio de f).
  • Uma função é denominada ímpar quando , para todo .

Propriedades das funções[editar | editar código-fonte]

Continuidade[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, , se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

, definida para o contradomínio , não é contínua no intervalo , uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), .

Uma função é dita decrescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), .

Paridade[editar | editar código-fonte]

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo um elemento pertencente a um conjunto simétrico , uma função é dita:

  • par, se para todo , ; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
  • ímpar, se para todo , ;
  • sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
Função 5x2 + 120 Função x3
Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100
f(2) = f(-2)
Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
f(2) = 23 = 8
f(-2) = -23 = -8
f(2) = -f(-2)

Funções polinomiais de primeiro e segundo graus[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:

Função polinomial de primeiro grau, definida por .

A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante , na função e que tem domínio igual a , é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

Para o caso específico da constante ser igual a zero, a função é chamada função linear.

Função polinomial do segundo grau:
.

Já a função do segundo grau toma a forma:

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

Operações sobre funções[editar | editar código-fonte]

Soma, produto e quociente[editar | editar código-fonte]

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, e . O objeto é chamado o argumento da função , e o objeto , que depende de , é chamado imagem de pela .

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento um único valor da função . Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

Alguns tipos de funções[editar | editar código-fonte]

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.

  1. Função polinomial
    1. Função linear
    2. Função quadrática
  2. Função exponencial e Função logaritmica
  3. Função trigonométrica
  4. Função modular
  5. Função afim
Wikipedia
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A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras[editar | editar código-fonte]

Tomemos dois conjuntos e . Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.

  • Se houver ao menos uma criança no conjunto que não seja filha de uma mulher do conjunto , então esta relação não consiste em uma função.
  • Se houver ao menos uma criança no conjunto que seja filha de mais de uma mulher do conjunto , então esta relação também não consiste em uma função.
  • Se no conjunto X não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto Y tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para a e b crianças diferentes do conjunto X, as suas mães f(a) e f(b) são diferentes. Neste caso, a função é injetora.
  • Se o conjunto Y for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em Y, então qualquer que seja a mãe m do conjunto Y existe alguma criança c tal que f(c) = m (ou seja, m é a mãe de c). Neste caso, a função é sobrejetora.
  • Se não houver irmãos em X, e o conjunto Y for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função f é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
  • Resumindo:
    • Função Injetora (ou função injetiva, ou uma injeção) é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
    • Função sobrejetora (ou função sobrejetiva ou uma sobrejeção) é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
    • Função bijetora (ou função bijetiva ou uma bijeção) é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

Domínio finito[editar | editar código-fonte]

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:

  • se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
  • se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:

  • dada por k(x) = 1
  • dada por g(x) = x2
  • dada por h(x) = x2
  • dada por f(x) = x + 2

Então:

  • e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
  • f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
  • g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
  • h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Alguns casos particulares para funções , em que A e B são conjuntos finitos de números

  • Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
  • Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
  • Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.

Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função dada por f(x) = x2, em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

Domínio e contra-domínio real[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função .

Alguns casos particulares:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
  • Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x2 + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.

Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Gráfico da função y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) Considere a função dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.

Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

Domínio e contra-domínio intervalos de números reais[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função , em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.

A única regra especial é:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigos na wikipedia:

Função inversa[editar | editar código-fonte]

Dada uma função , uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u  ?

Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução .

Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x2 + b x + c (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).

Como outro exemplo, a função f(x) = x2 + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x2 + 1 = v é equivalente a x2 = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por .

Conceito[editar | editar código-fonte]

Dada uma função , dizemos que é a função inversa de f quando:

  • Para todo valor , a equação f(x) = y tem uma solução
  • Esta solução é única, e dada por x = g(y).

Teoremas[editar | editar código-fonte]

  • Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
  • Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
  • A função inversa de uma função é única
  • Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

Definições relacionadas[editar | editar código-fonte]

A função inversa de uma função real de variável real obtém-se de por uma simetria em relação à recta .

Uma função que tenha inversa diz-se invertível.

A função inversa de uma função f é representada por f-1 - note-se que esta notação deve ser usada com cuidado, pois, em alguns contextos, .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigo na wikipedia: