Matemática elementar/Imprimir

Conjuntos

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

$A=\{v,x,y,z\}$

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

$S=\{A,B,C,D\}$

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

$P=\{6,28,496\}$

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

$Z_{100}=\{0,1,2,...,99\}$

$N=\{0,1,2,3,4,5,...\}$

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

$T=\{\{1,6\},\{5,8\}\}$

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

$A=\{x|P(x)\}$

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

$A=\{x\in \mathbb {R} |x^{2}-6x=-8\}$

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, $A=\{2,4\}$.

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$, $\emptyset$, $\varnothing$ ou $\phi$. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A\subset B$. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, ${\mathcal {P}}(A)$, como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar ${\mathcal {P}}(A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então ${\mathcal {P}}(A)$ = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto ${\mathcal {P}}(A)$ terá 2ⁿ elementos. Ou seja:

$\#{\mathcal {P}}(A)=2^{\#A}$.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = $\varnothing$ → P(A) = {$\varnothing$} → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = {$\varnothing$,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = {$\varnothing$,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por $\varnothing$ somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por $\varnothing$).

n(P(A)) = ${n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+...+{n \choose n}+1=\sum _{k=1}^{n}{n! \over (n-k)!k!}+1$

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

$C_{n}^{0}\,\!+C_{n}^{1}\,\!+C_{n}^{2}\,\!+C_{n}^{3}\,\!+...+C_{n}^{n}\,\!=\sum _{k=0}^{n}{n! \over (n-k)!k!}=2^{n}$

→ n(P(A)) = $2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1$

Mas, $C_{n}^{0}\,\!={n! \over (n-0)!0!}={n! \over n!}=1$

→ n(P(A))$=2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1=2^{n}-1+1=2^{n}$

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que $|A|<|P(A)|$.

Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto $A$ formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto $V$ formado pelas vogais, podemos dizer que $A\supset V$ (A contém V) ou $V\subset A$ (V está contido em A)

Relação de pertinência

Se $\,\!a$ é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\in A$. Se $a$ não é um elemento de $A$, nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\not \in A$.

Exemplos:

• $-16\in \mathbb {Z}$
• $c\in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

• $c\ \not \in \ \{a,e,i,o,u\}$
• ${\frac {4}{9}}\ \not \in \ \mathbb {Z}$

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$, então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$, denotado por $A\subseteq B$. Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ($A=B$). Se $A\subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$, então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$, denotado por $A\subset B$. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é $A=B$. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo $\neq$.

Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos

União de A e B (em azul mais escuro)

• A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

$A\cup B=\{x\in U|x\in A\lor x\in B\}$

Por exemplo:

$A=\{a,e,i\}$

$B=\{o,u\}$

$A\cup B=\{a,e,i,o,u\}$

$A=\{2,3,4,5\}$

$B=\{1,3,5\}$

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

• A união de um conjunto $A$, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto $A$, $A\cup \{\}=A$.

• Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C=(A\cup C)\cup B$.

Intersecção

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos $A$ e $B$, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos $A$ e $B$, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a $A$ quanto a $B$. Matematicamente:

$A\cap B=\{x\in U|x\in A\land x\in B\}$

Por exemplo:

$A=\{1,2,3\}$

$B=\{3,4,5\}$

$A\cap B=\{3\}$

$C=\{a,e,i,o,u,y\}$

$D=\{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}$

$C\cap D=\{\}$

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

$A-B=\{x\in U|x\in A\land x\not \in B\}$

$B-A=\{x\in U|x\in B\land x\not \in A\}$

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z_- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

N = {1,2,3,4,5,...}

$\mathbb {Z} -\mathbb {N} =\mathbb {Z} _{-}=\{...,-2,-1,0\}$

• A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, $A-\{\}=A$.

Complementar

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $\complement$. Matematicamente:

$\complement B_{A}=\{x\in A|x\not \in B\}$

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }

D = { {10,12} }

$\complement D_{A}=\{3,4,9,\{25,27\}\}$

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.

Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph _{0}$ (aleph zero), $\aleph _{1},\aleph _{2}...$.

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ ou por $\#A$. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então $|A|=|B|$.

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

• É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
• É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

• Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

• Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios

• Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

$(a,b)\neq (b,a)$

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

$(b,a)=\{\{b\},\{b,a\}\}$

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é $\times$. Matematicamente:

$A\times B=\{(x,y)|x\in A\land y\in B\}$

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}$.

• O produto cartesiano é não-comutativo: $A\times B\neq B\times A$.
• Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Ver também

Wikilivros

1. Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia

1. Conjunto
2. Complementar
3. Diagrama de Venn
4. Diagrama de Euler
5. Teoria dos conjuntos

Ligações externas

• Números Naturais: Primeira parte
• Números Naturais: Segunda parte
• Critérios de Divisibilidade
• Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores
• Números Inteiros
• Frações
• Frações e Números Decimais
• Números Racionais
• Frações e Números decimais (Exercícios)

Números naturais

Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam $\mathbb {N}$ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

$\mathbb {N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o $0$ desses conjunto, obtemos o subconjunto:

$\mathbb {N} ^{*}$ = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em $\mathbb {N}$

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, $10-11=-1$, e $-1$ não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto $\mathbb {Z}$

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

• 360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

• 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

• 2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

• 414 → divisível por 6, pois
  • par → divisível por 2
  • 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7

A divisibilidade por $7$ também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, $45-6=39.$ Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: $784$ → Separando $78$ e $4,$ teremos $78-8=70.$ Como $70$ é divisível por $7$ o número $784$ também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

• 24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

• 927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

• 154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

• Separe o último algarismo

  15 e 4

• Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,

  15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.

Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

• 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$, portanto é divisível.
• 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$, portanto não é divisível.

Divisibilidade por $2^{n}$

Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{n}.$

Divisibilidade por $3^{n}$

Um número é divisível por $3^{n}$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3^{n}.$

Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

• $6=2\times 3$
• $16=2^{4}\,\!$
• $20=2^{2}\times 5$

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mdc(a,b)\,\!$) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, $mdc(16,8)=8\,\!.$ A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

• $mdc(a,b,c,d)\,\!.$

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja $m\,\!$ o máximo divisor comum entre $a\,\!$ e $b\,\!$ e também $a'\,\!$ e $b'\,\!$ o resultado da divisão de ambos por $m\,\!,$ respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

$a=b\Leftrightarrow ma=mb\Leftrightarrow a'=b'\,\!$

Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

• Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
• Fatoração disjunta

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

$mdc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

     $Q_{1}$    $Q_{2}$     $Q_{...}$   
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
$Q_{1}$ = quociente da divisão ${\frac {A}{B}}$
$R_{1}$ = resto da divisão ${\frac {A}{B}}$ (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.

O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo

      3      3        
  80  |  24  |  8    ← MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mmc(a,b)\,\!$) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, $mmc(6,8)=24\,\!.$

Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

• Fatoração conjunta
• Fatoração disjunta

Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2  +
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedades do MDC e do MMC

Relação de Bézout: $MDC(a,b)\times MMC(a,b)=a\times b$

Algoritmo de Euclides: MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

Ver também

Wikilivros

Exercícios:

• Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios

Uma abordagem mais avançada:

• Álgebra abstrata/Números naturais
• Teoria de números

Wikipédia

• Critérios de divisibilidade
• Fatoração
• Número natural
• Número primo
• Máximo divisor comum

Números inteiros

Definição

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, $\mathbb {Z}$), que vem de Zahlen (do alemão, "número").

Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

$\mathbb {Z}$ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Se retirarmos o $0$ desses conjuntos, obtemos o subconjunto:

$\mathbb {Z} ^{*}$ = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}

Outros subconjuntos de $\mathbb {Z} :$

• Conjunto dos inteiros não-negativos:

$\mathbb {Z} +$ = {0,1,2,3,...}

• Conjunto dos inteiros não-positivos:

$\mathbb {Z} -$ = {...,-3,-2,-1,0}

• Conjunto dos inteiros positivos:

$\mathbb {Z} ^{*}+$ = {1,2,3,...}

• Conjunto dos inteiros negativos:

$\mathbb {Z} ^{*}-$ = {...,-3,-2,-1}

Notas:

• $\mathbb {Z} +$ = $\mathbb {N}$

• $\mathbb {Z} ^{*}+$ = $\mathbb {N} ^{*}$

Veja também

Wikilivros

• Álgebra abstrata/Números inteiros - uma abordagem mais avançada

Wikipedia

• Número inteiro

Números racionais

Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma $a/b\,\!,$ onde $b\,\!$ é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

${\frac {29}{8}}:$ $3(={\frac {3}{1}}):$ $-{\frac {29}{8}}:$ $3{\frac {5}{8}}:$ $0(={\frac {0}{x}})$

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

${\begin{matrix}{a \over b}&+&{c \over d}&=&{ad+bc \over bd}\\{a \over b}&\cdot &{c \over d}&=&{ac \over bd}\end{matrix}}$

Exemplo:

${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{4}}$ = ${\frac {1}{2}}$

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

$\mathbb {Q}$

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como ${\frac {a}{b}},$ designa este número ${a}\,\!$ dividido em ${b}\,\!$ partes iguais. Neste caso, ${a}\,\!$ corresponde ao numerador, enquanto ${b}\,\!$ corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração ${\frac {56}{8}}$ designa o quociente de $56\,\!$ por $8\,\!.$ Ela é igual a $7\,\!,$ pois $7\,\!$ x $8\,\!$ = $56\,\!.$

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb {Q} .$

$\mathbb {Q}$ = {$x\,\!$ / $x\,\!$ = ${\frac {a}{b}},$ com $a\in \mathbb {Z}$ e $b\in \mathbb {Z}$ $\neq 0$}

Decimais

Decimais exatos

${\frac {1}{2}}$ = $0,5\,\!$

${\frac {1}{5}}$ = $0,2\,\!$

Decimais periódicos

${\frac {5}{3}}$ = $1,66...\,\!$ (a)

${\frac {7}{6}}$ = $1,166...\,\!$ (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

$0,6666..\,\!\Rightarrow {\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$

$1,6666...\,\!=1\,\!+0,6\,\!\Rightarrow 1\,\!+{\frac {6}{9}}={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}$

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

$1,166...\,\!$ => $1\,\!$ + $0,166...\,\!$ = $1\,\!$ + ${\frac {15}{9}}$ = ${\frac {105}{90}}$ = ${\frac {7}{6}}$

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {21}{9}}\end{matrix}}$

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3804014}{99900}}\end{matrix}}$, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, $\,\!{\begin{matrix}{\frac {3807821-3807}{99900}}\end{matrix}}$.

Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: ${\frac {1}{2}}$
• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: ${\frac {7}{3}}$
• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2{\frac {1}{3}}$
• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: ${\frac {12}{4}}$
• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: ${\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$
• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: ${\frac {9}{22}}$
• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: ${\frac {1}{3}}$
• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}}={\frac {3}{5}}$

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: ${\frac {437}{100}}$
• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: ${\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}$
• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ da seguinte maneira $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}.$ Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

${3 \over 5}\times {2 \over 7}={\frac {{3}\times {2}}{{5}\times {7}}}={6 \over 35}$

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

$3\times {1 \over 4}={3 \over 1}\times {1 \over 4}={3 \over 4}$

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

${1 \over 3}\times {9 \over 2}={9 \over 6}={\not {9}^{3} \over \not {6}^{2}}={3 \over 2}\,$

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

${1 \over 3}\times {9 \over 2}={1 \over \not {3}^{1}}\times {\not {9}^{3} \over 2}={3 \over 2}\,$

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

${\frac {3}{5}}$ ÷ ${\frac {7}{2}}$

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

${\frac {3}{5}}\times {\frac {2}{7}}={6 \over 35}$

Que se resolve como mostrado acima.

Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

${{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}$

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

${15 \over {3}}={5}$   ∴   $5\times {2}={10}:$ ${15 \over {5}}={3}$   ∴   $3\times {3}={9}$

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

${\frac {10+9}{15}}$

O denominador comum é mantido:

${\frac {19}{15}}$

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={{1}^{2} \over {2}^{2}}={\frac {1}{4}}=0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}={({0,5})^{2}}=0,25$

Radiciação

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{{2} \over {3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}={\sqrt[{3}]{64}}={4}$

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

${\frac {8}{4}}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

${\frac {8:4}{4:4}}={{2} \over {1}}$

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

${\frac {2}{5}}$   ?   ${\frac {3}{7}}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

${35 \over {5}}={7}$   ∴   $7\times {2}={14}:$ ${35 \over {7}}={5}$   ∴   $5\times {3}={15}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

${\frac {14}{35}}$ < ${\frac {15}{35}}$ ∴ ${\frac {2}{5}}$ < ${\frac {3}{7}}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

${\frac {14}{35}}={\frac {2}{5}}$   e   ${\frac {15}{35}}={\frac {3}{7}}$

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

${\frac {7}{3}}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2{\frac {1}{3}}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também

Wikilivros

• Matemática elementar/Conjuntos/Números racionais/Exercícios
• Análise real/Números racionais - texto mais avançado

Wikipédia

• Fração
• Números racionais

Números irracionais

O conjunto dos números irracionais $(\mathbb {I} )$ é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por ${\tfrac {a}{b}}$, sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

• π (Pi Radiano) = 3,141592...
• e (Número de Euler) = 2,718281...
• φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

• √2 = 1,414213...
• √3 = 1,732050...
• √5 = 2,236067...
• ³√2 = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

• √6 = √2.3 = 2,449489...
• √10 = √2.5 = 3,162277...
• √30 = √2.3.5 = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais $(\mathbb {Q} )$, se, e somente se em

${\sqrt[{n}]{x^{a}y^{b}z^{c}...}}$

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

${\sqrt {5,76}}={\sqrt {2^{4}.3^{2}.5^{-2}}}$

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em $\mathbb {I}$

• Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:

π + 1 = 4,141592...

π + √2 = 4,555806...

√2 + √3 = 3,146264...

• Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:

π - 1 = 2,141592...

√10 - π = 0,020685...

√7 - √10 = -0,516526...

• Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:

√2 x √3 = √6

³√2.³√2.³√2 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).

Inconsistente o exemplo logo acima, porque multiplicar dois números irracionais, iguais ou distintos entre si, resulta num número irracional.

Não é porque o número irracional está representado por (raiz enésima (a)), ele passa a ser racional. Então, mesmo que eu eleve (raiz enésima (a)) à enésima potência, o resultado não será "a", e sim um número que tende a "a". Se formos pensar sobre essa questão, veremos que, se tivermos b = (raiz enésima (a)), com "b" pertencente ao conjunto dos números irracionais, e "a" e "n" pertencentes ao conjunto dos números racionais, então a extração de (raiz enésima (a)) é impossível.

• Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:

√6 ÷ √3 = √2

2√2 ÷ √2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).

• Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:

π² = 9,869604...

(√3)⁴ = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Também é inconsistente o exemplo logo acima, pelo mesmo motivo de que falei em "Multiplicação".

Bem, se os intelectuais que lerem meus comentários duvidarem, então façam assim: extraiam a raiz quadrada de dois, à mão, consoante o Método Exato de Extração de Raízes Quadradas, explanado em Wikipedia, em "Raiz quadrada". Extraiam-na, indo a partir da primeira até, no mínimo, a quintitilionésima casa decimal após a vírgula; depois, elevem cada resultado ao quadrado, também à mão. Se algum dos, no mínimo, cinco milhões, der 2,000000000000000000000000..., eu retifico esse comentário. Caso não der, eu estarei certo.

Não basta só teorizar. Tem que, provar, na prática.

Números reais

Potenciação

Conceito

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma $x^{n},$ onde n é o expoente e x é a base.

A potência $4^{3},$ por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64.$ Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base ($7^{1}=7$), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ($16^{0}$ = 1).

Propriedades da potenciação

Primeira propriedade

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}$

Segunda propriedade

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$

Terceira propriedade

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

$(x^{a})^{b}=x^{ab}$

Quarta propriedade

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

$(xy)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}$

Equivalência entre bases

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

$2^{-3}\times 4^{3}$

Podemos substituir 4 por 2²:

$2^{-3}\times (2^{2})^{3}=2^{-3}\times 2^{6}=2^{-3+6}=2^{3}$

Expoentes negativos

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

$\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {y^{-n}}{x^{-n}}}$

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{-2}={\frac {3^{2}}{2^{2}}}={\frac {9}{4}}$

Tópicos

1. Definição de Potência
2. Operações com potências
   1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
   2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
3. Equações envolvendo potências
4. Inequações envolvendo potências
5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

• $]-\infty \,$ - ilimitado
• $]a\,$ - limitado e aberto
• $[a\,$ - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

• $\infty [\,$ - ilimitado
• $b[\,$ - limitado e aberto
• $b]\,$ - limitado e fechado

Por exemplo:

• $]-\infty ,0]\,$ - é o conjunto dos números reais não-positivos
• $[1,2[\,$ - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também

• Análise real/Os números reais - uma abordagem mais avançada

Wikipédia

• Número real

Exercícios

Sobre Radiciação

1. Coloque em ordem crescente: ${\sqrt[{3}]{11}},{\sqrt {5}},2{\sqrt {2}}\,$
2. Expresse sob a forma de raiz as expressões abaixo:
   1. ${\sqrt[{3}]{{\frac {x}{y}}{\sqrt[{4}]{\frac {x^{2}}{y}}}}}\,$
   2. ${\sqrt[{4}]{\frac {36}{125}}}{\sqrt[{3}]{\frac {5}{4}}}\,$
   3. ${\sqrt[{6}]{x^{2}y}}{\sqrt[{4}]{x^{3}y^{2}}}\,$
3. Os lados de um triângulo valem ${\sqrt {7}}\,$ cm, ${\sqrt {18}}\,$ cm e ${\sqrt {27}}\,$ cm. Calcule seu perímetro.
4. Simplifique os radicais
   1. ${\sqrt {\frac {x^{5}}{y^{7}}}}\,$
   2. ${\sqrt[{3}]{\frac {4^{2}}{9^{4}}}}\,$
   3. ${\sqrt[{4}]{\frac {x^{6}.y^{9}}{z^{7}}}}\,$
5. Racionalize as expressões abaixo:
   1. ${\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}=\,$
   2. ${\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}}=\,$
   3. ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}}{{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}=\,$
   4. ${\frac {\sqrt[{5}]{8}}{\sqrt[{5}]{4}}}=\,$
   5. ${\frac {100}{{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{5}}}}=\,$
   6. ${\frac {1}{{\sqrt {10}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}}}=\,$
   7. ${\frac {{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{9}}}{{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{3}}}}=\,$
6. Transforme as expressões em um único radical:
   1. ${\sqrt {x{\sqrt {y{\sqrt {z}}}}}}=\,$
   2. ${\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x{\sqrt[{3}]{x}}}}}}=\,$
   3. ${\sqrt[{4}]{x^{3}{\sqrt[{3}]{x^{2}{\sqrt {x}}}}}}=\,$
   4. ${\sqrt[{10}]{x^{3}}}{\sqrt[{6}]{x^{5}}}=\,$
   5. ${\frac {\sqrt[{5}]{8}}{\sqrt[{3}]{4}}}=\,$
   6. ${\frac {125}{{\sqrt {5}}{\sqrt[{3}]{25}}}}=\,$
7. Coloque a expressão na forma mais simples, conforme o exemplo do exercício 1:
   1. ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{4}\ y^{2}}{2\ z}}}\,$ = ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{3}\ x\ y^{2}\ 2^{2}\ z^{2}}{2^{3}\ z^{3}}}}$ = ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{3}}{2^{3}\ z^{3}}}}{\sqrt[{3}]{x\ 2^{2}\ y^{2}\ z^{2}}}$ = ${\frac {x}{2\ z}}{\sqrt[{3}]{2^{2}\ x\ y^{2}\ z^{2}}}\,$
   2. ${\sqrt {\frac {24}{125}}}=\,$
   3. ${\sqrt[{5}]{\frac {64}{81}}}=\,$
   4. ${\sqrt {\frac {x-y}{x+y}}}=\,$
   5. ${\sqrt[{15}]{x^{32}\ y^{83}\ z^{41}}}=\,$
8. Escreva as expressões abaixo como uma soma de radicais:
   1. ${\sqrt {12+{\sqrt {140}}}}=\,$
   2. ${\sqrt {13-{\sqrt {160}}}}=\,$
   3. ${\sqrt {9-{\sqrt {72}}}}=\,$
   4. ${\sqrt {7+{\sqrt {48}}}}=\,$
9. Seja x um número real positivo tal que $x+2{\sqrt {2}}\,$ é o inverso de $x-2{\sqrt {2}}\,$. Determine $x^{2}+x^{\frac {1}{2}}\,$.
10. Seja $a={\frac {3+{\sqrt {10}}}{4-{\sqrt {5}}}}\,$ e $b={\frac {4+{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10}}-2}}\,$. Determine a:b.
11. Simplifique as expressões abaixo:
    1. ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}+{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4}}}-{\frac {1}{\sqrt[{3}]{16}}}=\,$
    2. ${\frac {2+{\sqrt {5}}}{2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2+{\sqrt {3}}}}=\,$
    3. $(5-{\sqrt {10}})^{2}=\,$
    4. $({\sqrt[{3}]{9}}-{\sqrt[{3}]{3}})^{2}=\,$

== Veja também ==Leonardo Belo Nato

• Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios
• Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Números complexos

O conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$ é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária $i$. Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de √-1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

${\sqrt {-4}}={\sqrt {4}}{\sqrt {-1}}=\pm 2i$

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x² + 9 são dadas por

$f(0)={\frac {\pm {\sqrt {-4\times 1\times 9}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-36}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {36}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {\pm 6i}{2}}=\pm 3i$

A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

• b igual a zero para um número real qualquer;
• a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

${\overline {z}}=2-(-i)$

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos

Soma e subtração

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a₁ soma-se à parte real a₂, enquanto a parte imaginária b₁ soma-se à parte imaginária b₂.

Por exemplo, considere os números complexos z₁ e z₂, para z₁ = -2 + 4i e z₂ = -3 - i, então z₁ + z₂ =

${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}+}(-3)=-5\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}+}(-i)=3i\end{cases}}$

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z₁ e z₂:

${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}-}(-3)=1\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}-}(-i)=5i\end{cases}}$

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a₁ é multiplicada pela parte real a₂ e pela parte imaginária b₂, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b₁ e a parte real a₂, bem como o produto entre b₁ e b₂.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

$z_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}i^{2}$

Exemplo: z₁z₂, para z₁ = 2 + i e z₂ = -1 + 2i:

$z_{1}z_{2}=-2+4i-i+2i^{2}=-2+3i+2i^{2}=-2+(3+2i)i$

Potenciação

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

$i^{0}=1$

$i^{1}={\sqrt {-1}}$

$i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$

$i^{3}=i^{2}i^{1}=-1{\sqrt {-1}}=-i$

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

$i^{x}=i^{x-4k-1}=i^{y}$

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i²⁰:

$i^{20}=i^{20-4k-1}=i^{19-4k}=i^{19-16}=i^{3}=-i$

Divisão

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}$

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}\times {\frac {\bar {z_{2}}}{\bar {z_{2}}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}\times {\frac {-1-2i}{-1-2i}}={\frac {-2-4i-3i-6i^{2}}{(-1)^{2}-(2i)^{2}}}={\frac {4-7i}{5}}$

Representação geométrica

É denominado de norma de um complexo z, dado por $z=a+bi$ , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, $N(z)=a^{2}+b^{2}$.

E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:

$|z|=\surd N(z)=\surd (a^{2}+b^{2})$

Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.

Relações

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X₁ × X₂ × ... × X_n), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por $R:A\rightarrow B\,\!$. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Especificando relações

Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

$R=\{(x,y)\in A\times B|C\}\,\!$,

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

$R=\{(x,y)\in A\times B|y=2x\}\,\!$

A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.

C = { 1,2,4,8 }

D = { 0,1,2 }

$R=\{(x,y)\in C\times D|x<y\}\,\!$

R = { (1,2) }

Representação gráfica

Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.

Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

Gráfico de uma relação y ≤ x + 1, para x e y reais.

No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)

Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).

No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

Função

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).

Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

Relações de equivalência

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a $\in$ A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b $\in$ A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c $\in$ A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.

Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x $\in$ A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:

Teorema: Se a $\in$ ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x $\in$ ā. Por definição xRa. Como a $\in$ ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x $\in$ ē. Tome x $\in$ ē. Por definição xRe. Como a $\in$ ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x $\in$ ā. Deste modo, ā=ē.

Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a $\in$ ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.

Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u $\in$ ā tal que u∉ē ou u $\in$ ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u $\in$ ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.

Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x $\in$ P ⇒ x⊆X, além de x,y $\in$ P ⇒ x∩y=∅ e x $\in$ X ⇒ ∃a $\in$ P tal que x $\in$ a.

Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a $\in$ A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a $\in$ ē é de equivalência. Demonstração: a $\in$ ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a $\in$ ē, logo ā=ē. Daí, como e $\in$ ē por definição, então e $\in$ ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a $\in$ ē e e $\in$ ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a $\in$ ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.

Funções

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

$f:A\rightarrow B:x\mapsto f(x)$, ou mais simplificadamente, $f:A\rightarrow B$

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; pode haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

$f(x,y)=x+y$

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

• há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
• a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d).	Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Duas funções f e g são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

$\forall x\in D,f(x)=g(x)\to g=f$

OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

Introdução

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas

Vendas	Comissão por venda	Valor Fixo	Salário
0	55	300	300
1	55	300	355
2	55	300	410
...	...	...	...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

$S=55\cdot V+300\,\!$

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

• O salário depende das vendas.
• O salário é uma função das vendas.

Definição

Ao aplicar uma função $f\,\!$ em um dado conjunto $D\,\!$, cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto $C\,\!$.

Ao conjunto $D\,\!$ denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto $C\,\!$ denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de $D\,\!$.

Ou seja:

Dados dois conjuntos $D\,\!$ e $C\,\!$ não vazios, dizemos que a relação f de $D\,\!$ em $C\,\!$ será função se, e somente se,

$\forall x\in D\;\exists \;y\in C\;|\;\left(x,y\right)\in f$.

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada $x\,\!$, deve haver apenas um $y\,\!$

Representações

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

$f:A\rightarrow B\,\!$

$x\rightarrow y=f(x)\,\!$

${\begin{matrix}&f&\\A&\rightarrow &B\end{matrix}}\,\!$

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

$f(x)=ax+b,\!$

$g(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

Condições de existência

As condições básicas de existência são:

1. Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
2. Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
3. Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
   1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
   2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

Nomenclaturas

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, contradomínio e imagem

Função x², definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é $D=\{1,2,3,4,5\}$

O contradomínio é $CD=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}$

A imagem é $Im=\{a,e,i,o,u\}$

Gráfico Cartesiano

Abscissa

Todo e qualquer elemento do domínio.

Ordenada

Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.

Gráfico em Plano Cartesiano da função

Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

Funções Pares e Ímpares

• Uma função $f$ é denominada par quando $f(x)=f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$ (domínio de f).
• Uma função $f$ é denominada ímpar quando $f(x)=-f(-x)$, para todo $x\in \operatorname {Dom} (f)$.

Propriedades das funções

Continuidade

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, $[a,b]$, se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

$y={\sqrt {x}}$, definida para o contradomínio $y\in \mathbb {R}$, não é contínua no intervalo $]-\infty ,+\infty [$, uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)<f(x+\epsilon )$.

Uma função é dita decrescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), $f(x)>f(x+\varepsilon )$.

Paridade

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo $x\!\,$ um elemento pertencente a um conjunto simétrico $A\!\,$, uma função é dita:

• par, se para todo $x\!\,$, $f(x)=f(-x)\!\,$; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
• ímpar, se para todo $x\!\,$, $f(x)=-f(-x)\!\,$;
• sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.

Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo: f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100, f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100 f(2) = f(-2)	Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo: f(2) = 23 = 8 f(-2) = -23 = -8 f(2) = -f(-2)

Funções polinomiais de primeiro e segundo graus

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:

$y=ax+b,\,a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R}$

Função polinomial de primeiro grau, definida por $y=6x+5$.

A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante $a$, na função $y=ax+b$ e que tem domínio igual a $R$, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

$a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Para o caso específico da constante $b$ ser igual a zero, a função $y=ax$ é chamada função linear.

Função polinomial do segundo grau:
$y=x^{2}$.

Já a função do segundo grau toma a forma:

$y=ax^{2}+bx+c$

$a\in \mathbb {R^{*}} ,b\in \mathbb {R} ,c\in \mathbb {R}$

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

Operações sobre funções

Composição de funções

• Composição e inversão de funções

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, $x$ e $y=f(x)$. O objeto $x$ é chamado o argumento da função $f$, e o objeto $y$, que depende de $x$, é chamado imagem de $x$ pela $f$.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento $x$ um único valor da função $f(x)$. Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

Alguns tipos de funções

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.

1. Função polinomial
   1. Função linear
   2. Função quadrática
2. Função exponencial e Função logaritmica
3. Função trigonométrica
4. Função modular
5. Função afim

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Tomemos dois conjuntos $X\!\,$ e $Y\!\,$. Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.

• Se houver ao menos uma criança no conjunto $X\!\,$ que não seja filha de uma mulher do conjunto $Y\!\,$, então esta relação não consiste em uma função.

• Se houver ao menos uma criança no conjunto $X\!\,$ que seja filha de mais de uma mulher do conjunto $Y\!\,$, então esta relação também não consiste em uma função.

• Se no conjunto X não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto Y tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para a e b crianças diferentes do conjunto X, as suas mães f(a) e f(b) são diferentes. Neste caso, a função é injetora.

• Se o conjunto Y for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em Y, então qualquer que seja a mãe m do conjunto Y existe alguma criança c tal que f(c) = m (ou seja, m é a mãe de c). Neste caso, a função é sobrejetora.

• Se não houver irmãos em X, e o conjunto Y for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função f é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.

• 
  Função Injetora e não sobrejetora
• 
  Função Sobrejetora e não injetora
• 
  Função Bijetora

• Resumindo:
  • Função Injetora (ou função injetiva, ou uma injeção) é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
  • Função sobrejetora (ou função sobrejetiva ou uma sobrejeção) é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
  • Função bijetora (ou função bijetiva ou uma bijeção) é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

Domínio finito

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:

• se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
• se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

Exemplo

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:

• $e:B\to C\,$ dada por k(x) = 1
• $f:D\to B\,$ dada por g(x) = x²
• $g:A\to C\,$ dada por h(x) = x²
• $h:A\to B\,$ dada por f(x) = x + 2

Então:

• e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
• f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
• g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
• h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

Casos particulares

Alguns casos particulares para funções $f:A\to B\,$, em que A e B são conjuntos finitos de números

• Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
• Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
• Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
• Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.

Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função $f:A\to B\,$ dada por f(x) = x², em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

Domínio e contra-domínio real

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$.

Alguns casos particulares:

• Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
• Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x² + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.

Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

Exemplo

Considere a função $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$ dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.

Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

Domínio e contra-domínio intervalos de números reais

Neste caso temos uma função $f:\mathbb {A} \to \mathbb {B} \,$, em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.

A única regra especial é:

• Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

Ver também

Artigos na wikipedia:

• Função injetiva
• Função sobrejetiva
• Função bijetiva

Função inversa

Dada uma função $f:U\to V\,$, uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u  ?

Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução $x={\frac {v-b}{a}}\,$.

Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x^{2 + b x + c} (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de $\Delta =b^{2}\ -\ 4\ a\ (c-v)\,$ ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).

Como outro exemplo, a função f(x) = x² + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x² + 1 = v é equivalente a x² = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por $x={\sqrt {v-1}}\,$.

Conceito

Dada uma função $f:U\to V\,$, dizemos que $g:V\to U\,$ é a função inversa de f quando:

• Para todo valor $y\in V\,$, a equação f(x) = y tem uma solução
• Esta solução é única, e dada por x = g(y).

Teoremas

• Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
• Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
• A função inversa de uma função é única
• Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

Definições relacionadas

A função inversa $g$