Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}:$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}:$ $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}:$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}:$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos: $ABC,BCD,BAD.$$ABC,BCD,BAD.$

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: $b=n+m$$b=n+m$ e $m=c\cdot \cos {\widehat {A}}.$$m=c\cdot \cos {\widehat {A}}.$

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

• Para $BCD:$$BCD:$ $a^{2}=n^{2}+h^{2}$$a^{2}=n^{2}+h^{2}$
• Para $BAD:$$BAD:$ $c^{2}=m^{2}+h^{2}$$c^{2}=m^{2}+h^{2}$

Substituindo $n=b-m$$n=b-m$ e $h^{2}=c^{2}-m^{2}$$h^{2}=c^{2}-m^{2}$ em $a^{2}=n^{2}+h^{2}:$$a^{2}=n^{2}+h^{2}:$

$a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}$$a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}$

$\Rightarrow a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}$$\Rightarrow a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}$

$\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m$$\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m=c\cdot cos{\widehat {A}},$$m=c\cdot cos{\widehat {A}},$ do triângulo $BAD,$$BAD,$ na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}$$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}$

Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos

• Considere um triângulo de lados $p,$$p,$ $q$$q$ e $r,$$r,$ sendo que o comprimento de $p$$p$ é 2 metros e o comprimento de $q$$q$ é ${\sqrt {3}}$${\sqrt {3}}$ metros. Os lados $p$$p$ e $q$$q$ definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de $r.$$r.$

• • Resolução

Dada a Lei dos Cossenos, $r^{2}=p^{2}+q^{2}-2p\cdot q\cdot \cos {\widehat {A}}$$r^{2}=p^{2}+q^{2}-2p\cdot q\cdot \cos {\widehat {A}}$ tem-se que $p=2,$$p=2,$ $q={\sqrt {3}}$$q={\sqrt {3}}$ e ${\widehat {A}}=30^{\circ }$${\widehat {A}}=30^{\circ }$ portanto:

$r^{2}=2^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot \cos 30^{\circ }:$$r^{2}=2^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot \cos 30^{\circ }:$ $r^{2}=4+3-4\cdot {\sqrt {3}}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}:$$r^{2}=4+3-4\cdot {\sqrt {3}}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}:$ $r^{2}=7-2\cdot 3:$$r^{2}=7-2\cdot 3:$ $r^{2}=7-6:$$r^{2}=7-6:$ $r^{2}=1:$$r^{2}=1:$ $r=1:$$r=1:$ O comprimento de $r$$r$ é 1 metro.

• Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo

• • Resolução

Dado um triângulo eqüilátero de lados $l_{1},$$l_{1},$ $l_{2}$$l_{2}$ e $l_{3},$$l_{3},$ por definição tem-se que $l_{1}=l_{2}=l_{3}.$$l_{1}=l_{2}=l_{3}.$ Sejam $x,$$x,$ $y$$y$ e $z$$z$ os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:

$l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos x:$$l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos x:$ $l^{2}=2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x:$$l^{2}=2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x:$ $l^{2}-2l^{2}=\left(2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x\right)-2l^{2}:$$l^{2}-2l^{2}=\left(2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x\right)-2l^{2}:$ $-l^{2}=-2l^{2}\cdot \cos x:$$-l^{2}=-2l^{2}\cdot \cos x:$ ${-l^{2} \over -2l^{2}}={-2l^{2}\cdot \cos x \over -2l^{2}}:$${-l^{2} \over -2l^{2}}={-2l^{2}\cdot \cos x \over -2l^{2}}:$ ${1 \over 2}=\cos x:$${1 \over 2}=\cos x:$ $x=60^{\circ }:$$x=60^{\circ }:$ O mesmo vale para $y$$y$ e $z:$$z:$

$l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos y:$$l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos y:$ $l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos z$$l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos z$

Lei dos senos

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo $ABC$$ABC$ qualquer inscrito em uma circunferência de raio $r.$$r.$ A partir do ponto $B$$B$ pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto $D$$D$ e, ligando $D$$D$ a $C$$C$ formamos um novo triângulo $BCD$$BCD$ retângulo em $C.$$C.$

Da figura, podemos perceber também que ${\widehat {A}}={\widehat {D}}$${\widehat {A}}={\widehat {D}}$ porque determinam na circunferência uma mesma corda ${\overline {BC}}.$${\overline {BC}}.$ Desta forma, podemos relacionar:

$\mathrm {sen} \,{\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}$$\mathrm {sen} \,{\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}$ $\Rightarrow a=2r\cdot \mathrm {sen} \,{\widehat {A}}$$\Rightarrow a=2r\cdot \mathrm {sen} \,{\widehat {A}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}=2r$$\Rightarrow {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}=2r$

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos ${\widehat {B}}$${\widehat {B}}$ e ${\widehat {C}}$${\widehat {C}}$ teremos as relações:

${\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}=2r$${\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}=2r$ e ${\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r,$${\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r,$ em que $b$$b$ é a medida do lado $AC$$AC$ oposto a ${\widehat {B}}$${\widehat {B}}$ $c$$c$ é a medida do lado $AB$$AB$ oposto a ${\widehat {C}}$${\widehat {C}}$ e $2r$$2r$ é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

• ${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r$

Lei das tangentes

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo $ABC$$ABC$ cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},$${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},$ ${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},$${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},$ ${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}$${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}$

Demonstração

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$${\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$ $\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$$\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}$

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}$${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}$

$\Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}$$\Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}$

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios

• Ver: Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos/Exercícios