Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos

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Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos:

Demons cossenos.png

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: e

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para
  • Para

Substituindo e em

Entretanto, pode-se substituir a relação do triângulo na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere um triângulo de lados e sendo que o comprimento de é 2 metros e o comprimento de é metros. Os lados e definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos, tem-se que e portanto:
O comprimento de é 1 metro.
  • Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
    • Resolução
Dado um triângulo eqüilátero de lados e por definição tem-se que Sejam e os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
O mesmo vale para e

Lei dos senos[editar | editar código-fonte]

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Law of sines.png

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo qualquer inscrito em uma circunferência de raio A partir do ponto pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto e, ligando a formamos um novo triângulo retângulo em

Da figura, podemos perceber também que porque determinam na circunferência uma mesma corda Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:

e em que é a medida do lado oposto a é a medida do lado oposto a e é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

Lei das tangentes[editar | editar código-fonte]

Triangle55.png

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios[editar | editar código-fonte]