Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:
Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: 
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: 
e 
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
- Para
- Para
Substituindo 
e 
em 
Entretanto, pode-se substituir a relação 
do triângulo 
na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.
- Considere um triângulo de lados
e 
sendo que o comprimento de 
é 2 metros e o comprimento de é 
metros. Os lados e definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de 
- Dada a Lei dos Cossenos,
tem-se que 
e 
portanto:
O comprimento de 
é 1 metro.
- Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
- Dado um triângulo eqüilátero de lados
e 
por definição tem-se que 
Sejam 
e 
os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
O mesmo vale para e 
O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo 
qualquer inscrito em uma circunferência de raio A partir do ponto 
pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto 
e, ligando a 
formamos um novo triângulo 
retângulo em 
Da figura, podemos perceber também que 
porque determinam na circunferência uma mesma corda 
Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos 
e 
teremos as relações:
e 
em que 
é a medida do lado 
oposto a 
é a medida do lado 
oposto a e 
é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99733869a4fc613c1e3e67384da4491ddc62080a)
![{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842c1df3b4a8c76baa0f2fb405289e75b9ecccc2)
![{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03adc00954bb42600ec2f5b2d2c4c23ecf32d23e)
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b580e2cd91f17569311450f2622a94ad82c0163)
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
