Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos:
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
e
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
- Para

- Para

Substituindo
e
em
Entretanto, pode-se substituir a relação
do triângulo
na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.
- Considere um triângulo de lados
e
sendo que o comprimento de
é 2 metros e o comprimento de
é
metros. Os lados
e
definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de 
- Dada a Lei dos Cossenos,
tem-se que
e
portanto:
O comprimento de
é 1 metro.
- Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
- Dado um triângulo eqüilátero de lados
e
por definição tem-se que
Sejam
e
os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
O mesmo vale para
e 

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo
qualquer inscrito em uma circunferência de raio
A partir do ponto
pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto
e, ligando
a
formamos um novo triângulo
retângulo em
Da figura, podemos perceber também que
porque determinam na circunferência uma mesma corda
Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos
e
teremos as relações:
e
em que
é a medida do lado
oposto a
é a medida do lado
oposto a
e
é uma constante.
Logo, podemos concluir que:

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo
cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura.
A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.