Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
c
⋅
cos
A
^
:
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}:}
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
⋅
c
⋅
cos
B
^
:
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}:}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
⋅
b
⋅
cos
C
^
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}}
Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos:
A
B
C
,
B
C
D
,
B
A
D
.
{\displaystyle ABC,BCD,BAD.}
Destes, pode-se extrair as seguintes relações:
b
=
n
+
m
{\displaystyle b=n+m}
m
=
c
⋅
cos
A
^
.
{\displaystyle m=c\cdot \cos {\widehat {A}}.}
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:
Para
B
C
D
:
{\displaystyle BCD:}
a
2
=
n
2
+
h
2
{\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}}
Para
B
A
D
:
{\displaystyle BAD:}
c
2
=
m
2
+
h
2
{\displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2}}
Substituindo
n
=
b
−
m
{\displaystyle n=b-m}
h
2
=
c
2
−
m
2
{\displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2}}
a
2
=
n
2
+
h
2
:
{\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}:}
a
2
=
(
b
−
m
)
2
+
c
2
−
m
2
{\displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}}
⇒
a
2
=
b
2
−
2
b
⋅
m
+
m
2
+
c
2
−
m
2
{\displaystyle \Rightarrow a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}}
⇒
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
m
{\displaystyle \Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m}
Entretanto, pode-se substituir a relação
m
=
c
⋅
c
o
s
A
^
,
{\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}},}
B
A
D
,
{\displaystyle BAD,}
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
⋅
c
⋅
cos
A
^
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot \cos {\widehat {A}}}
Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
⋅
c
⋅
cos
B
^
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot \cos {\widehat {B}}}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
⋅
b
⋅
cos
C
^
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot \cos {\widehat {C}}}
A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.
Considere um triângulo de lados
p
,
{\displaystyle p,}
q
{\displaystyle q}
r
,
{\displaystyle r,}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
r
.
{\displaystyle r.}
Dada a Lei dos Cossenos,
r
2
=
p
2
+
q
2
−
2
p
⋅
q
⋅
cos
A
^
{\displaystyle r^{2}=p^{2}+q^{2}-2p\cdot q\cdot \cos {\widehat {A}}}
p
=
2
,
{\displaystyle p=2,}
q
=
3
{\displaystyle q={\sqrt {3}}}
A
^
=
30
∘
{\displaystyle {\widehat {A}}=30^{\circ }}
r
2
=
2
2
+
(
3
)
2
−
2
⋅
2
⋅
3
⋅
cos
30
∘
:
{\displaystyle r^{2}=2^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}\cdot \cos 30^{\circ }:}
r
2
=
4
+
3
−
4
⋅
3
⋅
3
2
:
{\displaystyle r^{2}=4+3-4\cdot {\sqrt {3}}\cdot {{\sqrt {3}} \over 2}:}
r
2
=
7
−
2
⋅
3
:
{\displaystyle r^{2}=7-2\cdot 3:}
r
2
=
7
−
6
:
{\displaystyle r^{2}=7-6:}
r
2
=
1
:
{\displaystyle r^{2}=1:}
r
=
1
:
{\displaystyle r=1:}
r
{\displaystyle r}
Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo Dado um triângulo eqüilátero de lados
l
1
,
{\displaystyle l_{1},}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
l
3
,
{\displaystyle l_{3},}
l
1
=
l
2
=
l
3
.
{\displaystyle l_{1}=l_{2}=l_{3}.}
x
,
{\displaystyle x,}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
l
2
=
l
2
+
l
2
−
2
l
⋅
l
⋅
cos
x
:
{\displaystyle l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos x:}
l
2
=
2
l
2
−
2
l
2
⋅
cos
x
:
{\displaystyle l^{2}=2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x:}
l
2
−
2
l
2
=
(
2
l
2
−
2
l
2
⋅
cos
x
)
−
2
l
2
:
{\displaystyle l^{2}-2l^{2}=\left(2l^{2}-2l^{2}\cdot \cos x\right)-2l^{2}:}
−
l
2
=
−
2
l
2
⋅
cos
x
:
{\displaystyle -l^{2}=-2l^{2}\cdot \cos x:}
−
l
2
−
2
l
2
=
−
2
l
2
⋅
cos
x
−
2
l
2
:
{\displaystyle {-l^{2} \over -2l^{2}}={-2l^{2}\cdot \cos x \over -2l^{2}}:}
1
2
=
cos
x
:
{\displaystyle {1 \over 2}=\cos x:}
x
=
60
∘
:
{\displaystyle x=60^{\circ }:}
y
{\displaystyle y}
z
:
{\displaystyle z:}
l
2
=
l
2
+
l
2
−
2
l
⋅
l
⋅
cos
y
:
{\displaystyle l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos y:}
l
2
=
l
2
+
l
2
−
2
l
⋅
l
⋅
cos
z
{\displaystyle l^{2}=l^{2}+l^{2}-2l\cdot l\cdot \cos z}
O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:
a
s
e
n
A
^
=
b
s
e
n
B
^
=
c
s
e
n
C
^
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r}
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo
A
B
C
{\displaystyle ABC}
r
.
{\displaystyle r.}
B
{\displaystyle B}
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
C
{\displaystyle C}
B
C
D
{\displaystyle BCD}
C
.
{\displaystyle C.}
Da figura, podemos perceber também que
A
^
=
D
^
{\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {D}}}
B
C
¯
.
{\displaystyle {\overline {BC}}.}
s
e
n
D
^
=
a
2
r
{\displaystyle \mathrm {sen} \,{\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}}
⇒
a
=
2
r
⋅
s
e
n
A
^
{\displaystyle \Rightarrow a=2r\cdot \mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}
⇒
a
s
e
n
A
^
=
2
r
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}=2r}
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos
B
^
{\displaystyle {\widehat {B}}}
C
^
{\displaystyle {\widehat {C}}}
b
s
e
n
B
^
=
2
r
{\displaystyle {\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}=2r}
c
s
e
n
C
^
=
2
r
,
{\displaystyle {\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r,}
b
{\displaystyle b}
A
C
{\displaystyle AC}
B
^
{\displaystyle {\widehat {B}}}
c
{\displaystyle c}
A
B
{\displaystyle AB}
C
^
{\displaystyle {\widehat {C}}}
2
r
{\displaystyle 2r}
Logo, podemos concluir que:
a
s
e
n
A
^
=
b
s
e
n
B
^
=
c
s
e
n
C
^
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r}
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo
A
B
C
{\displaystyle ABC}
a
+
b
a
−
b
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
B
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
B
^
)
]
,
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}
a
+
c
a
−
c
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
C
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
C
^
)
]
,
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}
b
+
c
b
−
c
=
tan
[
1
2
(
B
^
+
C
^
)
]
tan
[
1
2
(
B
^
−
C
^
)
]
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
a
s
e
n
A
^
=
b
s
e
n
B
^
{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
⇒
a
b
=
s
e
n
A
^
s
e
n
B
^
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
a
+
b
a
−
b
=
s
e
n
A
^
+
s
e
n
B
^
s
e
n
A
^
−
s
e
n
B
^
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
a
+
b
a
−
b
=
2
s
e
n
A
^
+
B
^
2
⋅
cos
A
^
−
B
^
2
2
s
e
n
A
^
−
B
^
2
⋅
cos
A
^
+
B
^
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}}
⇒
a
+
b
a
−
b
=
tan
[
1
2
(
A
^
+
B
^
)
]
tan
[
1
2
(
A
^
−
B
^
)
]
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99733869a4fc613c1e3e67384da4491ddc62080a)
![{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842c1df3b4a8c76baa0f2fb405289e75b9ecccc2)
![{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03adc00954bb42600ec2f5b2d2c4c23ecf32d23e)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b580e2cd91f17569311450f2622a94ad82c0163)