Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo

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Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e Hipotenusa[editar | editar código-fonte]

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.
Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Triangulo-Rectangulo.png

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.
As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Seja a hipotenusa, sejam e catetos do mesmo triângulo:

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do Teorema[editar | editar código-fonte]

Por semelhança[editar | editar código-fonte]

Proof-Pythagorean-Theorem.svg

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em , como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta que passa por e é perpendicular a . O novo triângulo é semelhante ao nosso triângulo , pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em , implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo também é semelhante a . A semelhança leva a duas razões:

e

Isto pode ser escrito como:

e

Somando as duas igualdades, obtemos:

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

Por equivalência de polígonos[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.

Pitagoras.png


Dado retângulo em e seja a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta um ponto tal que (lembre que é a hipotenusa). Então construímos o retângulo (lembre que é a projeção de ).

Agora construímos . A semi-reta intercepta em um ponto , assim como em um ponto . Temos o paralelogramo .

Como e são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que , e também é reto. Portanto, .

e são ambos suplementares de . Portanto, .

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que . Portanto, , e por extensão, .

Como e são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por e com o retângulo determinado por e é igual ao quadrado sobre , segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do Teorema[editar | editar código-fonte]

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja um triângulo retângulo no qual consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa .
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, , tem-se que e , portanto:
A hipotenusa do triângulo mede 5 metros.


  • Um triângulo retângulo tem os lados , e , sendo que é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, , tem-se que e , portanto:
O cateto mede centímetros de comprimento.

Triângulos retângulo notáveis[editar | editar código-fonte]

Triângulo 3_4_5[editar | editar código-fonte]
Prova visual para o triângulo (3, 4, 5), Chou Pei Suan Ching 500–200 d.C.

Um "triângulo 3_4_5" é qualquer triângulo retângulo que tenha esta proporção de lados. Ou seja, um triângulo cujo um dos catetos tem o comprimento , outro cateto, o comprimento e a hipotenusa, ; tal que haja um número que:

A consciência desta proporção permite, a partir do comprimento de dois lados de um triângulo 3_4_5, inferir rapidamente o comprimento do terceiro lado. Por exemplo, sabendo que um triângulo tem um lado de 6 metros e outro de 8 metros, pode-se inferir corretamente que o outro lado tem 10 metros (onde n=2).

Triângulo 45º_45º_90º[editar | editar código-fonte]

O chamado "triângulo 45º_45º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção entre seus lados é: . Ou seja, um triângulo retângulo e isóceles.

Isosceles-right-triangle.jpg

Triângulo 20º_70º_90º[editar | editar código-fonte]

O "triângulo 30º_60º_90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: .

603090 triangle.png

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]

Na comédia antiga Diálogo dos mortos, do poeta satírico Luciano de Samósata, Hermes empilha as montanhas Ossa e Pelion sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para Caronte; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio.[1] Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.


Solução
Abu Reyhan Biruni-Earth Circumference.svg

Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto A, e que o ponto mais distante observado seja C. Sabemos o valor de AC e de h, portanto para calcular r basta resolver o triângulo retângulo OAC:

Simplificando:

Finalmente:

Aplicando valores ( e )

Ou, aproximadamente, 16000 km.

Um melhor valor para h seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas); usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra , obtém-se, pela equação acima, um valor para AC de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Triângulo rectângulo
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Teorema de Pitágoras

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Luciano de Samósata, Diálogo dos mortos, Caronte
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