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Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos

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Tipos de triângulos

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Classificação segundo a medida relativa dos lados

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Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

  • Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
  • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
  • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:

Exemplo de triângulo equilátero

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Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.

Exemplo de triângulo isósceles

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Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida . Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida com a base do triângulo.

Exemplo de triângulo escaleno

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Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.

Classificação de acordo com seus ângulos internos e externos em baixo

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Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

  • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
  • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
  • Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

Exemplo de triângulo retângulo

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  • Um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º.

Exemplo de triângulo obtusângulo

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  • Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Exemplo de triângulo acutângulo

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  • Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º

Soma dos ângulos internos

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Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Soma dos ângulos externos

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Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: a resposta final será assim: Resolução: , . Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

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1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

Área do triângulo

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Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:

  • Dadas a base b e a altura h:
  • Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido:
  • Dados os três lados a, b e c: , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.

Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:

Critério LLL

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Lado-Lado-Lado.

Critério LAL

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Lado-Ângulo-Lado.

Critério ALA

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Ângulo-Lado-Ângulo.

Critério LLAr

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Lado-Lado-Ângulo reto.

Critério LLL

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Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.

Critério LAL

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Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.

Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.

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Triângulo


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