Matemática elementar/Teorema de Tales/Exercícios

Nos exercícios de 1 a 3, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela imagem a seguir:

As retas DE e BC são paralelas.

Exercício 1

Considerando a figura ao lado, determine o comprimento do segmento ${\overline {AD}}$, supondo que ${\overline {DB}}=5cm$, ${\overline {EC}}=10cm$ e ${\overline {AE}}=8cm.$

Resolução

As retas DE e BC são paralelas. Pelo teorema de Tales, vale a igualdade $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{\overline {DB}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}},$ ou seja, $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{5}}={\frac {8}{10}}.$ Fazendo-se a multiplicação cruzada, obtém-se que $10\times {\overline {AD}}=5\times 8=40,$ ou seja, $\textstyle {\overline {AD}}={\frac {40}{10}}=4.$ Assim, o lado ${\overline {AD}}$ mede 4 cm.

Exercício 2

Determine ${\overline {AD}}$ e ${\overline {DB}}$, supondo que na figura ao lado ${\overline {AB}}=26cm,$ ${\overline {AE}}=8cm$ e ${\overline {EC}}=5cm.$

Resolução

As retas DE e BC são paralelas. Pelo teorema de Tales, tem-se a igualdade $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AC}}},$ que neste caso corresponde a $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{26}}={\frac {8}{8+5}},$ ou seja, $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{26}}={\frac {8}{13}}.$ Multiplicando-se ambos os membros por 26, resulta que $\textstyle {\overline {AD}}={\frac {26\times 8}{13}}=2\times 8=16.$ Portanto, o lado ${\overline {AD}}$ mede 16 cm. Além disso, tem-se ${\overline {AD}}+{\overline {DB}}={\overline {AB}},$ isto é, $16+{\overline {DB}}=26.$ Consequentemente, ${\overline {DB}}=26-16=10.$ Então, o lado ${\overline {DB}}$ mede 10 cm neste caso.

Exercício 3

Determine AD e DB, supondo que ${\overline {AB}}=27cm,$ ${\overline {AE}}=10cm$ e ${\overline {AC}}=18cm.$

Resolução

As retas DE e BC são paralelas. O teorema de Tales garante que $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AC}}},$ isto é, que $\textstyle {\frac {\overline {AD}}{27}}={\frac {10}{18}}$. Então $\textstyle 18\times {\overline {AD}}=270$ e consequentemente ${\overline {AD}}={\frac {270}{18}}=15$. Como ${\overline {AD}}+{\overline {DB}}={\overline {AB}},$ resulta que $\textstyle 15+{\overline {DB}}=27,$ então $\textstyle {\overline {DB}}=27-15=12.$

Do exercício 4 até o exercício 7, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela seguinte imagem:

As retas AD, BE e CF são paralelas.

Exercício 4

Determine ${\overline {AB}}$, supondo que ${\overline {BC}}=10cm,$ ${\overline {DE}}=18cm$ e ${\overline {EF}}=20cm.$

Resolução
As retas AD, BE e CF são paralelas. $\textstyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BC}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {EF}}}$ que neste caso fica assim :$\textstyle {\frac {\overline {AB}}{10}}={\frac {18}{20}},$ Fazendo a multiplicação cruzada resulta que $\textstyle {\overline {AB}}={\frac {20\times 8}{13}}=2\times 8=16.$ Portanto, o lado ${\overline {AB}}$ mede 9 cm.

Exercício 5

Determine ${\overline {AB}}$ e ${\overline {BC}},$ supondo que ${\overline {AC}}=30cm,$ ${\overline {DE}}=8cm$ e ${\overline {EF}}=7cm.$

Resolução
As retas AD, BE e CF são paralelas. ${\frac {30}{\overline {AB}}}={\frac {15}{8}}$ $240=15{\overline {AB}}$ ${\overline {AB}}=240/15=16$ ${\overline {AB}}+{\overline {BC}}=30$ $16+{\overline {BC}}=30$ ${\overline {BC}}=14$

Exercício 6

Determine a medida de ${\overline {AB}},$ supondo que ${\overline {AC}}=20cm,$ ${\overline {DF}}=30cm$ e que ${\overline {EF}}$ é $4cm$ maior que ${\overline {BC}}$.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Exercício 7

Determine ${\overline {AC}},$ supondo que${\overline {DE}}=12cm,$ ${\overline {EF}}=8cm$ e que ${\overline {AB}}$ é $3cm$ maior que ${\overline {BC}}.$

Resolução
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Exercício 8

Considere um triângulo $\vartriangle ABC$ tal que ${\overline {AB}}=5$, ${\overline {BC}}=6$ e ${\overline {CA}}=7$. Desenhe sobre o segmento ${\overline {BC}}$ um ponto $M$ tal que ${\overline {BM}}=4$. A reta paralela a ${\overline {AC}}$ que passa por $M$ encontra ${\overline {BA}}$ no ponto $N$. Calcule ${\overline {BN}},$ ${\overline {AN}}$ e ${\overline {MN}}$.

Resolução
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Exercício 9

Considere um triângulo $\vartriangle TIC$ em que ${\overline {TI}}=5,$ ${\overline {IC}}=8$ e ${\overline {CT}}=4$. Desenhe na semi-reta ${\overrightarrow {TI}}$ (ou seja, a semi-reta que começa em $T$ e passa por $I$) um ponto $O$ tal que ${\overline {TO}}=7$. A reta paralela a ${\overline {IC}}$ que passa por $O$ encontra a reta $CT$ no ponto $S$. Calcule ${\overline {TS}},$ ${\overline {CS}}$ e ${\overline {OS}}.$

Resolução
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