Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

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Conceito[editar | editar código-fonte]

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período para cada solução x = a, temos que e também serão soluções, assim como qualquer valor sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n[editar | editar código-fonte]

sen(x) = n[editar | editar código-fonte]

A equação só tem soluções quando está no intervalo [-1; 1]. Se está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo tal que:

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

Em que é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

Primeiro, deve-se determinar um valor para

Substituindo nas fórmulas, temos:

ou

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

ou

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

Substituindo

Sabemos que é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

ou

Substituindo o valor de

ou

Ou seja:

ou

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma em que

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

ou

Finalmente:

ou

Equações com restrição no domínio[editar | editar código-fonte]

Determinação do domínio[editar | editar código-fonte]

Equações com mais de uma função trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]