Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

Conceito

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

$3x+4=0\,$

$x^{2}-4x-7=0\,$

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

$\tan x=1\,$

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período $\pi \,,$ para cada solução x = a, temos que $x=a+\pi \,$ e $x=a-\pi \,$ também serão soluções, assim como qualquer valor $x=a+k\pi \,,$ sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n

sen(x) = n

$n\,\!$	$\mathrm {sen} \ x=n\,\!$
$\left|n\right|<1$	${\begin{matrix}x=\alpha +2k\pi \\x=\pi -\alpha +2k\pi \\\alpha \in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}$
$n=-1\,\!$	$x=-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$
$n=0\,\!$	$x=k\pi \,\!$
$n=1\,\!$	$x={\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}+2k\pi$
$\left|n\right|>1$	$x\in \varnothing$

A equação $\mathrm {sen} \,x=n$ só tem soluções quando $n$ está no intervalo [-1; 1]. Se $n$ está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo $\alpha$ tal que:

$\alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}n\,\!$

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

$x=\alpha +2k\pi \,\!$

$x=\pi -\alpha +2k\pi \,\!$

Em que $k$ é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo

Resolva:

$\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Primeiro, deve-se determinar um valor para $\alpha :$

$\alpha =\mathrm {sen} \,^{-1}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}$

Substituindo nas fórmulas, temos:

${\frac {x}{2}}={\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

ou

${\frac {x}{2}}=\pi -{\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

$x={\frac {2\pi }{3}}\left(1+6k\right)$

ou

$x={\frac {4\pi }{3}}\left(1+3k\right)$

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo

Resolva:

$\mathrm {sen} \,(x+\pi )={\frac {1}{2}}\,$

Substituindo $y=x+\pi \,:$

$\mathrm {sen} \,y={\frac {1}{2}}\,$

Sabemos que ${\frac {\pi }{6}}\,$ é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

$y={\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

ou

$y=\pi -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

Substituindo o valor de $x=y-\pi \,$

$x={\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi$

ou

$x=\pi -{\frac {\pi }{6}}-\pi +2k\pi$

Ou seja:

$x=-{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi$

ou

$x=-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma $x=\alpha +2k\pi \,,$ em que $0\leq \alpha <2\pi ,$

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

$x=-{\frac {5\pi }{6}}+2(k+1)\pi$

ou

$x=-{\frac {\pi }{6}}+2(k+1)\pi$

Finalmente:

$x={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$

ou

$x={\frac {11\pi }{6}}+2k\pi$

Exercícios

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