Matemática elementar/Trigonometria/Resolução de triângulos

Uma das aplicações mais comuns da trigonometria é a resolução de triângulos.

A resolução de triângulos é a operação matemática que, a partir de três elementos de um triângulo, determina todos outros elementos. Estes elementos podem ser lados, ângulos, perímetro, área, etc.

Os casos mais comuns são representados por uma tríade de letras, usando-se L (para lado) e A para ângulo. Assim, LLL significa resolver um triângulo no qual são dados três lados, LAA significa resolver um triângulo no qual é dado um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto. Nem todos casos são solúveis: AAA pode ter nenhuma (se a soma dos ângulos não for de 180^o) ou infinitas soluções; LLA pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

LLL

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar dois ângulos; o terceiro ângulo sai naturalmente da soma dos ângulos ser 180^o.

LAL

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar o lado oposto ao ângulo. Um outro ângulo pode ser determinado pela lei dos senos ou dos cossenos.

ALA

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LAA

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LLA

Dois métodos podem ser usados, mas ambos podem não ter solução:

• Resolve-se o terceiro lado pela lei dos cossenos - neste caso, a equação é uma equação do segundo grau, que pode ter nenhuma, uma ou duas raízes.
• Resolve-se o outro ângulo (que não é o ângulo formado pelos lados) pela lei dos senos - neste caso, a equação também pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.