Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss

Observe a seguinte função, em que i = √-1:

$f(x)=x\operatorname {i}$

Em um plano cartesiano, seria impossível representá-la graficamente, admitindo-se que em tal as variáveis devem ser números reais. Entretanto, admitamos a possibilidade de o gráfico poder ser representado, e façamos o seu contradomínio:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-4i	-3i	-2i	-i	0	i	2i	3i	4i

Observa-se que a função conservou suas características originais, isto é, as características de uma função afim qualquer. Para representá-la no plano, transformaremos o eixo das ordenadas (y) em um eixo imaginário (yi), fazendo a simples multiplicação por i para todo y. O resultado que teremos é de um plano denominado plano de Argand-Gauss (ou plano complexo). Nestes casos, a parte real da função é caracterizado no gráfico pelo eixo real (Re):

${\begin{array}{c|c c c c c c c c}\operatorname {Im} &&&&&&&&\\&&&&&&&&\\3i&&&&&&&&\\&&&&&&&&\\2i&&&&&&&&\\&&&&&&&&\\i&&&&&&&&\\&&&&&&&&\\\hline &&1&&2&&3&&\operatorname {Re} \\\end{array}}$

Este plano é utilizado essencialmente para os números complexos.

Representação de um número complexo graficamente

z = 3 + 2i

Seja o número complexo z = a + bi, a é a parte real, e portanto, determina a distância entre o ponto z e o eixo imaginário. Já a parte imaginária é determinada por bi, que fornece a distância entre o ponto z e o eixo real. Os seguintes exemplos ilustram as coordenadas de alguns números complexos:

• z = 3 + 2i → (3; 2i);
• z = -2 + i → (-2; i);
• z = - 7i → (0; -7i).

Neste, você deve notar que:

• Um ponto localizado sobre o eixo real é um número real. Exemplo: o ponto (1; 0) representa o número z = 1;
• Um ponto localizado sobre o eixo imaginário é um número imaginário puro. Exemplo: o ponto (0; i) representa o número z = i.

Argumento

O argumento (arg ou θ) de um número complexo é o ângulo que a sua função - ao partir da origem -, no plano de Argand-Gauss, forma com o eixo real. Desta forma, podemos dizer que o ângulo de f(x) = axi, considerando que f(0) = 0, é:

$\arg z=\arctan a$

O argumento e o valor absoluto de A.

Valor absoluto

O valor absoluto ou módulo (representado por ρ, |z| ou r) é a distância entre a origem e um ponto do plano de Argand-Gauss. Sendo z = ax + bi, tal distância é dada pelo teorema de Pitágoras:

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Também, para um número complexo ordinário z = a + bi, as seguintes relações trigonométricas são verdadeiras:

$a=\rho \cos(\arg z)$

$b=\rho \sin(\arg z)$

Exemplo

Sabendo que a distância entre o ponto do número complexo z = √5 + bi e a origem do plano de Argand-Gauss é b + 1, descubra o valor de b e o argumento de z.

• A distância é o valor absoluto, então:

$\rho =b+1={\sqrt {{\sqrt {5}}^{2}+b^{2}}}$

• Elevando-se a equação ao quadrado, tem-se:

$b^{2}+2b+1={\sqrt {5}}^{2}+b^{2}$

• Simplificando-a:

$2b=4\to b=2$

• Portanto, b = 2 e |z| = 3. Teremos, então, para o argumento:

$2=3\sin(\arg z)$

• Assim:

$\arg z=\arcsin {\frac {2}{3}}$