Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Observe a seguinte função, em que i = -1:

Em um plano cartesiano, seria impossível representá-la graficamente, admitindo-se que em tal as variáveis devem ser números reais. Entretanto, admitamos a possibilidade de o gráfico poder ser representado, e façamos o seu contradomínio:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
-4i
-3i
-2i
-i
0
i
2i
3i
4i

Observa-se que a função conservou suas características originais, isto é, as características de uma função afim qualquer. Para representá-la no plano, transformaremos o eixo das ordenadas (y) em um eixo imaginário (yi), fazendo a simples multiplicação por i para todo y. O resultado que teremos é de um plano denominado plano de Argand-Gauss (ou plano complexo). Nestes casos, a parte real da função é caracterizado no gráfico pelo eixo real (Re):

Este plano é utilizado essencialmente para os números complexos.

Representação de um número complexo graficamente[editar | editar código-fonte]

z = 3 + 2i

Seja o número complexo z = a + bi, a é a parte real, e portanto, determina a distância entre o ponto z e o eixo imaginário. Já a parte imaginária é determinada por bi, que fornece a distância entre o ponto z e o eixo real. Os seguintes exemplos ilustram as coordenadas de alguns números complexos:

  • z = 3 + 2i → (3; 2i);
  • z = -2 + i → (-2; i);
  • z = - 7i → (0; -7i).

Neste, você deve notar que:

  • Um ponto localizado sobre o eixo real é um número real. Exemplo: o ponto (1; 0) representa o número z = 1;
  • Um ponto localizado sobre o eixo imaginário é um número imaginário puro. Exemplo: o ponto (0; i) representa o número z = i.

Argumento[editar | editar código-fonte]

O argumento (arg ou θ) de um número complexo é o ângulo que a sua função - ao partir da origem -, no plano de Argand-Gauss, forma com o eixo real. Desta forma, podemos dizer que o ângulo de f(x) = axi, considerando que f(0) = 0, é:

O argumento e o valor absoluto de A.

Valor absoluto[editar | editar código-fonte]

O valor absoluto ou módulo (representado por ρ, |z| ou r) é a distância entre a origem e um ponto do plano de Argand-Gauss. Sendo z = ax + bi, tal distância é dada pelo teorema de Pitágoras:

Também, para um número complexo ordinário z = a + bi, as seguintes relações trigonométricas são verdadeiras:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Sabendo que a distância entre o ponto do número complexo z = 5 + bi e a origem do plano de Argand-Gauss é b + 1, descubra o valor de b e o argumento de z.

  • A distância é o valor absoluto, então:
  • Elevando-se a equação ao quadrado, tem-se:
  • Simplificando-a:
  • Portanto, b = 2 e |z| = 3. Teremos, então, para o argumento:
  • Assim: