Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss/Raízes complexas

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Considere uma expressão do tipo xn = a + bi. Para um índice n, como podem ser calculadas as soluções para a expressão? Este problema pode ser aplicado, por exemplo, em

  • x2 = 4
  • x3 = 2 + i
  • x4 = 3i

O método para encontrarmos os valores de xn que se igualem a a + bi consiste em aplicar valores ao plano de Argand-Gauss. Para isto, você deve saber que

No plano Argand-Gauss, as raízes são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência na qual o centro é a origem. Para n = 2 (raízes quadradas) originar-se-á uma reta que passa pela origem.
As raízes quintas de 1 no plano de Argand-Gauss originam um pentágono regular.

A partir disto, podemos chegar às seguintes conclusões:

  • Se n é ímpar, haverá, no máximo, uma raiz real (pois não poderá haver um segundo vértice oposto ao primeiro no eixo real);
  • Se n é par, o número de raízes reais é par (pois obrigatoriamente haverá um segundo vértice oposto ao primeiro).
Neste caso, seria representado um quadrado, e portanto, quatro raízes.

Além disso, a distância entre um vértice e outro é constante (por tratar-se de um polígono regular). Então podemos dizer que a partir de um vértice A neste plano, os pontos seguintes serão parte de uma progressão aritmética, onde a soma de n distâncias deve completar o círculo. Portanto, a diferença d, em radianos, entre um vértice e outro é dada por

Introduzindo o conceito de progressão aritmética, temos que ax = a1 + (x - 1)r em que x é o termo da progressão. Então:

Pelo fato de x ter de ser um número natural diferente de zero, o resultado de (x - 1) é, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Como nos interessa determinar todas as raízes da expressão, devemos substituir x por cada n. Desta forma, o primeiro (x - 1) da nossa progressão será zero, o segundo igual a 1, o terceiro igual a 2, e assim sucessivamente. Substituiremos, então, x - 1 por k, que é o número natural que determinará cada raiz, para k < n:

Se neste plano o ponto (A,B) representa o primeiro vértice de um polígono no primeiro quadrante, então α é o argumento.

Nestes casos, o nosso termo a1 é o quociente entre o argumento θ e n (representa o ângulo entre o eixo real e a semirreta que une a origem e o primeiro vértice do primeiro quadrante). Representaremos o conceito de raíz por zk em vez de ax. As coordenadas de cada vértice são determinadas a partir do valor absoluto. A parte real é calculada pelo cosseno, enquanto a parte imaginária pelo seno. As coordenadas (Re, Im) devem ser iguais, pelo fato de a distância entre o lugar geométrico e os vértices do polígono serem constantes:

Falta-nos determinar o apótema de nosso polígono (raio do círculo), que introduzido na fórmula:

Para r o valor absoluto da expressão.

A fórmula gerada chama-se segunda fórmula de Moivre.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Se -8 = x3 então quais os valores de x?
  • Primeiramente, transformaremos o monômio para a forma a + bi:
  • Calcularemos o valor absoluto (r):
  • Agora podemos descobrir o argumento (θ):
  • Temos que n = 3 (pois a raiz é cúbica). Como {k ∈ N| 0 ≤ k < n}, a nossa progressão terá k=0, k=1 e k=2. Iniciaremos por k=0, através da segunda lei de Moivre:
  • Para k=1:
  • E para k=2:

Portanto, os valores de x são -2, 1 + 3i e 1 - 3i.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Se x2 = 1 + 3i, quais os valores de x?
  • Na forma a + bi teremos:
  • E o valor absoluto:
  • Teremos o argumento:
  • As raízes serão dadas por k=0 e k=1 através da segunda fórmula de Moivre:

Que são os valores de x.

Exemplo 3[editar | editar código-fonte]

Sabendo que na imagem abaixo há um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo o centro é a origem do plano de Argand-Gauss, qual a expressão em que suas raízes representam os vértices deste polígono?
Kreis6Teilung.svg
  • Vemos que o valor absoluto da expressão é igual a 1, então
  • Observa-se, também, que a primeira raiz do primeiro quadrante localiza-se sobre o eixo real, logo, o argumento é igual a zero:
  • Sabemos que o cosseno de zero é igual a 1, e o seno de zero igual a zero. Observamos, também, que n = 6 (pois o polígono tem seis lados). Concluímos que a expressão representada no plano é x6 = 1.