Álgebra linear/Matrizes

A distribuição do conteúdo deste livro está confusa ou pouco didática (discuta). Pede-se aos editores que reavaliem a distribuição do mesmo.

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: É preciso fixar a notação para as entradas das matrizes ao longo do livro, pois ora são usadas $a_{ij}$ e ora $A_{ij}$ para as entradas de uma matriz $A$.

Introdução

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.

Definição

Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.

Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.

$A={\begin{pmatrix}2&4&10\\1&-3&-7\\3&0&0\\5&5&0\end{pmatrix}}$

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

$B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

$T={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\h&g&f&e\\i&j&k&l\\p&o&n&m\\q&r&s&t\\\end{pmatrix}}$

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

$V={\begin{pmatrix}2&3&5&7&11&13\\\end{pmatrix}}$

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Organização de uma matriz

Exemplos de matrizes

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

Nesse exemplo, o elemento $a_{12}$ é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento $a_{ij}$ é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, $a_{ij}=i+j,$ para $i$ de 1 a 3 e $j$ de 1 a 2, define a matriz 3×2 $A={\begin{bmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{bmatrix}}.$

Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:

$A={\begin{bmatrix}3&5&23\\3&4&5\\4&1&9\end{bmatrix}}$

E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:

$A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra $k.$

Tipos especiais de matrizes

• Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual $m=n.$ Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
• Uma Matriz Linha é toda aquela na qual $m=1.$ Isto é, ela possui apenas uma linha.
• Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual $n=1.$ Isto é, ela possui apenas uma coluna.
• Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual $m=n$ e cujo elemento $A_{i,j}=0$ se $i\neq j.$ Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
• Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual $m=n$ cujo elemento $A_{i,j}=0$ se $i\neq j$ e $A_{i,j}=X.$ Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
• Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos $A_{i,j}=0.$ Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
• Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual $m=n$ cujos elementos $A_{i,j}=0$ se $i\neq j$ e $A_{i,j}=1$ se $i=j.$ Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

Álgebra matricial

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.

Definição

Para multiplicar um número $k$ qualquer por uma matriz m×n $A,$ basta multiplicar cada entrada $a_{ij}$ de $A$ por $k.$ Assim, a matriz resultante $B$ será também m×n e $b_{ij}=k\cdot a_{ij}.$

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

• Associativa em relação ao Escalar: $(k_{1}\cdot k_{2})\cdot A=k_{1}\cdot (k_{2}\cdot A)$
• Distributiva em relação ao Escalar: $(k_{1}+k_{2})\cdot A=k_{1}\cdot A+k_{2}\cdot A$
• Distributiva em relação à Matriz: $k_{1}\cdot (A+B)=k_{1}\cdot A+k_{1}\cdot B$
• Elemento Neutro: $1\cdot A=A$

Adição de Matrizes

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Definição

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.$

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

• Propriedade Associativa: $A+(B+C)=(A+B)+C$
• Elemento Neutro: $A+0=0+A=A$ ($0$ é uma Matriz Nula, não um escalar)
• Simétrico Aditivo: $-A+A=A-A=0$
• Comutatividade: $A+B=B+A$

Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

Definição

Se $A$ é uma matriz $m\times n$ e $B$ é uma matriz $n\times p,$ então seu produto $AB$ é a matriz $m\times p$ (m linhas e p colunas) dada por:

$(AB)_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}\!\$ para cada par $(i,j).$

A motivação dessa definição é a seguinte: se $\beta _{i}$ denota a $i$-ésima linha da matriz $B,$ podemos criar outra matriz $C$ cujas linhas $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}$ sejam combinações lineares das linhas de $B:$

$\gamma _{1}=A_{1,1}\beta _{1}+A_{1,2}\beta _{2}+\cdots +A_{1,n}\beta _{n}$

$\vdots$

$\gamma _{m}=A_{m,1}\beta _{1}+A_{m,2}\beta _{2}+\cdots +A_{m,n}\beta _{n}$

Em cada linha $\gamma _{i},$ a entrada na $j$-ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de $B$ nessa mesma coluna:

$(\gamma _{i})_{j}=A_{i,1}(\beta _{1})_{j}+A_{i,2}(\beta _{2})_{j}+\cdots +A_{i,n}(\beta _{n})_{j},$

mas $(\beta _{i})_{j}$ corresponde a $B_{i,j}.$ Então, se $A$ for a matriz com as entradas $A_{i,j}$ definidas como acima, obtemos a fórmula acima.

Da mesma maneira, se $\alpha _{j}$ denota a $j$-ésima coluna da matriz $A,$ podemos criar uma matriz $C$ cujas colunas $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{p}$ sejam combinações lineares das colunas de $A:$

$\gamma _{j}=B_{1,j}\alpha _{1}+B_{2,j}\alpha _{2}+\cdots +B_{n,j}\alpha _{n}$

E, tomando as entradas na $i$-ésima linha, obtemos

$(\gamma _{j})_{i}=B_{1,j}(\alpha _{1})_{i}+B_{2,j}(\alpha _{2})_{i}+\cdots +B_{n,j}(\alpha _{n})_{i}$

Mas a $(\alpha _{j})_{i},$ a $i$-ésima entrada à linha $\alpha _{j},$ corresponde ao elemento $A_{i,j},$ de modo que também obtemos a fórmula acima.

Portanto,

Propriedades

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

• Associativa:

  $(AB)C=A(BC)$

• Distributiva em relação à Adição:

  $(A+B)C=AC+BC$

• Elemento Neutro: se $A$ é uma matriz $m\times n,$ então

  $I_{m}A=AI_{n}=A,$ onde $I_{n}$ representa a matriz identidade de ordem $n.$

Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se $AB\neq BA.$ Em muitos dos casos, a multiplicação $BA$ pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação $AB,$ a multiplicação $BA$ só pode existir no caso em que $A$ e $B$ são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.

Transposição

Definição

A operação de transposição de uma matriz $A$ retorna como resultado sempre um matriz $B$ tal que, para todo elemento de $A$ e $B,$ $a_{ij}=b_{ji}.$ $B$ é então dita a matriz transposta de $A,$ denotada por $A^{t}.$

• O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se $A$ era $m\times n,$ $A^{t}$ será $n\times m.$
• Cada coluna de $A$ corresponderá a uma linha de $A^{t},$ e vice-versa.

Ver também

• Matemática elementar/Matrizes (livro com conteúdo mais simples)