Álgebra linear/Matrizes

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Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: É preciso fixar a notação para as entradas das matrizes ao longo do livro, pois ora são usadas e ora para as entradas de uma matriz .

Introdução[editar | editar código-fonte]

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.

Definição

Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.

Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Matriz

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

Organização de uma matriz

Exemplos de matrizes[editar | editar código-fonte]

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

Nesse exemplo, o elemento é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.



As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, para de 1 a 3 e de 1 a 2, define a matriz 3×2

Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:

E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:

Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra

Tipos especiais de matrizes[editar | editar código-fonte]

  • Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
  • Uma Matriz Linha é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma linha.
  • Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma coluna.
  • Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual e cujo elemento se Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
  • Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual cujo elemento se e Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
  • Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
  • Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual cujos elementos se e se Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

Álgebra matricial[editar | editar código-fonte]

Multiplicação por um escalar[editar | editar código-fonte]

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.

Definição

Para multiplicar um número qualquer por uma matriz m×n basta multiplicar cada entrada de por Assim, a matriz resultante será também m×n e

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

  • Associativa em relação ao Escalar:
  • Distributiva em relação ao Escalar:
  • Distributiva em relação à Matriz:
  • Elemento Neutro:

Adição de Matrizes[editar | editar código-fonte]

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Definição

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

  • Propriedade Associativa:
  • Elemento Neutro: ( é uma Matriz Nula, não um escalar)
  • Simétrico Aditivo:
  • Comutatividade:

Multiplicação de Matrizes[editar | editar código-fonte]

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

Definição

Se é uma matriz e é uma matriz então seu produto é a matriz (m linhas e p colunas) dada por:

para cada par

A motivação dessa definição é a seguinte: se denota a -ésima linha da matriz podemos criar outra matriz cujas linhas sejam combinações lineares das linhas de

Em cada linha a entrada na -ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de nessa mesma coluna:

mas corresponde a Então, se for a matriz com as entradas definidas como acima, obtemos a fórmula acima.

Da mesma maneira, se denota a -ésima coluna da matriz podemos criar uma matriz cujas colunas sejam combinações lineares das colunas de

E, tomando as entradas na -ésima linha, obtemos

Mas a a -ésima entrada à linha corresponde ao elemento de modo que também obtemos a fórmula acima.

Portanto,


Propriedades[editar | editar código-fonte]

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

  • Associativa:
  • Distributiva em relação à Adição:
  • Elemento Neutro: se é uma matriz então
    onde representa a matriz identidade de ordem

Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se Em muitos dos casos, a multiplicação pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação a multiplicação só pode existir no caso em que e são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.

Transposição[editar | editar código-fonte]

Definição

A operação de transposição de uma matriz retorna como resultado sempre um matriz tal que, para todo elemento de e é então dita a matriz transposta de denotada por

  • O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se era será
  • Cada coluna de corresponderá a uma linha de e vice-versa.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado este site.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Matriz (matemática)