Álgebra linear/Determinantes

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Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo k. Pode-se provar que existe uma única função com as seguintes propriedades:

  1. é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. () onde é a matriz identidade.

Esta função denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz representa-se por ou por .

Matrizes 3x3[editar | editar código-fonte]

O determinante de matrizes de ordem 3 pode ser encontrado pela Regra de Sarrus, na qual a matriz é extendida repetindo as duas primeiras colunas, de modo que seja obtida uma sequência de 5 colunas. Em seguida, é somado os produtos das três diagonais principais (que partem de cima para baixo) e subtraído os produtos das três diagonais secundárias (que vão de baixo para cima). Seja a matriz de ordem 3 , o determinante pode ser dado por:

Cofator de uma matriz[editar | editar código-fonte]

É um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada. Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do Teorema de La Place, que é comumente usada para calcular determinantes de ordem maior que três. Cada elemento possui o seu respectivo cofator, que é representado pela seguinte expressão:

O valor de é justamente o cofator do elemento . O ultimo termo diz respeito a determinante da matriz em questão sem os elementos da linha e da coluna .

Calcule o determinante usando cofatores:


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