Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais

Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam $\mathbb {N}$ para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

$\mathbb {N}$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o $0$ desses conjunto, obtemos o subconjunto:

$\mathbb {N} ^{*}$ = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em $\mathbb {N}$

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, $10-11=-1$ , e $-1$ não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto $\mathbb {Z}$

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

414 → divisível por 6, pois
- par → divisível por 2
- 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7

A divisibilidade por $7$ também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, $45-6=39.$ Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: $784$ → Separando $78$ e $4,$ teremos $78-8=70.$ Como $70$ é divisível por $7$ o número $784$ também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

Separe o último algarismo
15 e 4
Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.

Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$ , portanto é divisível.
4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$ , portanto não é divisível.

Divisibilidade por $2^{n}$

Um número é divisível por $2^{n}$ quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{n}.$

Divisibilidade por $3^{n}$

Um número é divisível por $3^{n}$ quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por $3^{n}.$

Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

$6=2\times 3$
$16=2^{4}\,\!$
$20=2^{2}\times 5$

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mdc(a,b)\,\!$ ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, $mdc(16,8)=8\,\!.$ A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

$mdc(a,b,c,d)\,\!.$

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja $m\,\!$ o máximo divisor comum entre $a\,\!$ e $b\,\!$ e também $a'\,\!$ e $b'\,\!$ o resultado da divisão de ambos por $m\,\!,$ respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

a=b\Leftrightarrow ma=mb\Leftrightarrow a'=b'\,\!

Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
Fatoração disjunta

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

$mdc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

      $Q_{1}$      $Q_{2}$       $Q_{...}$    
  A  |  B  |  R₁  |  R₂  | R_...
  R₁ | R₂  | R_...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
 $Q_{1}$  = quociente da divisão  ${\frac {A}{B}}$ 
 $R_{1}$  = resto da divisão  ${\frac {A}{B}}$  (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.

O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo

      3      3        
  80  |  24  |  8    ← MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números $a\,\!$ e $b\,\!$ (vulgarmente abreviada como $mmc(a,b)\,\!$ ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, $mmc(6,8)=24\,\!.$

Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

Fatoração conjunta
Fatoração disjunta

Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2  +
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

$mmc(24,40)\,\!$

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3

40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5

Com efeito,

2³ • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedades do MDC e do MMC

Relação de Bézout: $MDC(a,b)\times MMC(a,b)=a\times b$

Algoritmo de Euclides: MDC(a, b)=MDC(a, b-a) MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.

Ver também

Wikilivros

Exercícios:

Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios

Uma abordagem mais avançada:

Wikipédia

Definição

Operações em N {\displaystyle \mathbb {N} }

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Divisibilidade por 3

Divisibilidade por 4

Divisibilidade por 5

Divisibilidade por 6

Divisibilidade por 7

Divisibilidade por 8

Divisibilidade por 9

Divisibilidade por 10

A divisibilidade por 11

Divisibilidade por 2 n {\displaystyle 2^{n}}

Divisibilidade por 3 n {\displaystyle 3^{n}}

Números primos

Decomposição em fatores primos (fatoração)

Máximo Divisor Comum (MDC)

Cálculo

Fatoração disjunta

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Cálculo

Fatoração conjunta

Fatoração disjunta

Propriedades do MDC e do MMC

Ver também

Wikilivros

Wikipédia

Operações em $\mathbb {N}$

Divisibilidade por $2^{n}$

Divisibilidade por $3^{n}$