Matemática elementar/Análise combinatória

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Análise combinatória[editar | editar código-fonte]

Análise combinatória é a parte da matemática que estuda os métodos de contagem.

A operação fatorial[editar | editar código-fonte]

A função fatorial é uma função que admite apenas um único argumento. Para esse argumento, chamemos-lhe , a função fatorial procura todos os números menores ou iguais a e maiores que e multiplica-os entre si. Adicionalmente, é preciso dizer que tanto como pertencem ao conjunto dos números naturais (com uma pequena diferença, inclui o número zero, não) e que a função fatorial é representada pelo símbolo/operador (ponto de exclamação). Definindo tudo isto formalmente:

Mas esta função ainda não nos diz muito acerca do que é de o fatorial de um número, diz-nos apenas como a representar e qual o seu domínio. Assim, não nos é possível saber para um dado valor qual o valor de .

A definição correta de fatorial é dada pelo operador produtório da seguinte forma:

Note-se que aqui o valor já não é incluído como um possível valor de .

Isto significa precisamente aquilo que já foi dito antes. Neste caso, a função produtório começa por atribuir a o valor de ; de seguida, vai multiplicar esse mesmo valor pelo próximo valor de , ou seja, ; esta operação repete-se até que o valor de seja igual ao valor de . Dito isto, uma forma mais simples de definir a função fatorial seria:

Embora a definição mais utilizada seja:

Estas duas definições são exatamente iguais, apenas muda a ordem pela qual as parcelas aparecem.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

ou

mas

Acontece que, embora esta função não esteja definida para , foi estipulado que o fatorial do número zero é um. Portanto:

O que equivale a dizer "0 fatorial está definido como sendo 1".

Operações com fatoriais[editar | editar código-fonte]

Se reparar nos exemplos anteriores, não é mais do que , o que já nos indica uma operação relativa a fatoriais: a fatorização.

Ainda outra maneira de definir a função fatorial, é utilizar uma função recursiva:


ou, por outro lado:

Princípio fundamental da contagem[editar | editar código-fonte]

Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de p1 maneiras diferentes, a segunda de p2 maneiras, a terceira de p3 maneiras, até pn, o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é :

T = p1 × p2 × p3 × ...× pn ×

Ex.: Se tivermos um dado de 4 faces e um de 6 faces, logicamente, o primeiro pode apresentar 4 resultados diferentes, e o segundo, 6. Os dois juntos podem apresentar, então, 6*4=24 resultados diferentes.

Permutações simples[editar | editar código-fonte]

Permutações são os agrupamentos de um determinado número de elementos variando apenas a sua ordem. Ex.:

XYZ, XZY, YXZ, YZX,ZXY, ZYX. O número de agrupamentos de uma permutação simples de n elementos é dado por n!.

Ex.: De quantas formas podemos agrupar as sete cores do arco-íris? R: 7! = 5040

Permutações com elementos repetidos[editar | editar código-fonte]

Se formos fazer permutações com n elementos, mas existe um elemento repetido 'a' vezes, outro 'b' vezes, outro 'c' vezes, etc, o número de possibilidades de permutações é:

Pn(a,b,c) = n! / (a! b! c!)

Determine o número de anagramas (combinações de letras formando palavras com ou sem sentido) que podemos formar com PATA. E com MACACA. R: P1= 4!/2! = 12 P2= 6!/(3!*2!) = 60

Obs.: Exemplos de anagramas com PATA: AAPT, AATP, APTA, ATPA, PTAA, TPAA, PATA, TAPA, APAT, ATAP, PAAT, TAAP.

Arranjos simples[editar | editar código-fonte]

Imagine que temos um conjunto de 'n' elementos. O arranjo simples de taxa 'K' é todo agrupamento de 'K' elementos distintos, podendo variar a ordem em que aparecem.

Ex.: A={X,Y,Z}

arranjo de taxa 1: X,Y,Z. arranjo de taxa 2: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY. arranjo de taxa 3: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.

O número total de arranjos de 'n' elementos, taxa 'K' é:

Quantos anagramas de três letras podemos formar pelo nosso alfabeto (com 26 letras)? Resposta:

Combinações simples[editar | editar código-fonte]

As combinações são parecidas com os arranjos, mas apenas há a preocupação com a existência do elemento (não com a ordem). Ex.:

Combinações de taxa 1 do conjunto A={A,B,C,D} A, B, C, D.

Combinações de taxa 2 do conjunto A={A,B,C,D} AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Combinações de taxa 3 do conjunto A={A,B,C,D} ABC, ABD, ACD, BCD.

Combinações de taxa 4 do conjunto A={A,B,C,D} ABCD.

A fórmula é:

Ex.: Um jogo possui um cartão com 60 números. Deve-se marcar 6 deles. De quantas forma pode-se fazer isso? Resposta:


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