Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios

• 1. Resolva os problemas abaixo (dica: transforme os logaritmos em potências):

1. $\log _{2}32=$	6. $\log _{3}729=$	11. $\log _{\frac {1}{2}}0,25=$	16. $\log _{8}512=$
2. $\log _{3}27=$	7. $\log _{10}0,1=$	12. $\log _{\frac {1}{2}}2=$	17. $\log _{8}1/512=$
3. $\log _{5}625=$	8. $\log _{10}0,01=$	13. $\log _{\frac {1}{2}}4=$	18. $\log _{2}512=$
4. $\log _{5}1=$	9. $\log _{2}0,5=$	14. $\log _{\frac {1}{4}}0,5=$	19. $\log _{\frac {1}{2}}512=$
5. $\log _{7}49=$	10. $\log _{2}1024=$	15. $\log _{\frac {4}{5}}5/4=$	20. $\log _{\frac {1}{2}}1024=$

• 2. Simplifique os logaritmos abaixo, utilizando as propriedades do logaritmos:

1. $2\log 3=$	5. $2\log 8-\log 32=$	9. $\log _{2}2^{50}=$
2. $\log 12-2\log 2=$	6. $9\log 2-5\log 2=$	10. $\log _{3}9^{40}=$
3. $\log 5+\log 2=$	7. $2(\log 3+\log 2)=$	11. $\log _{9}4+\log _{3}2=$
4. $-\log 3-\log 3=$	8. ${\frac {1}{2}}(\log 8-\log 2)=$	12. $\log _{16}25-\log _{4}0,2=$

• 3. Descubra o valor de x em cada um dos seguintes problemas, sendo que a é um número real positivo qualquer:

1. $2\log _{2}x=-2$	5. $\log _{x}x^{a}=-a$	9. $\log _{a}\left({\frac {a}{1+a}}-1\right)=-x$
2. $\log _{x}(3x-2)=2$	6. $\log _{a}x^{2}=2$	10. $\log _{a^{2}}a^{x-1}=4,a\neq 1$
3. ${\frac {1}{x}}\log 100={\frac {1}{2}}$	7. $\log _{2a}1=x,a\neq 0,5$	11. $5\log _{a}a=x+1,a\neq 1$
4. $2\log _{x}8=3$	8. $\log _{2}(ax-a)-\log _{2}a=4$	12. $a^{3\log _{a}2}=x,a\neq 1$

• 4. Para os problemas abaixo, descubra o valor de y. Considere log x = 2.

1. $2y=\log x$	3. $y=\log(10x)$	5. $y=\log {\sqrt {x}}$	7. $y=2{\mbox{colog}}\,x$
2. $y=1+\log x^{3}$	4. $y=\log \left({\frac {1}{x}}\right)$	6. $y^{2}=(\log x)^{3}$	8. $y={\mbox{colog}}\,x+\log x$

• 5. Descubra o valor de x sem o uso da calculadora. Considere log 5 = 0,7 para os problemas a seguir (perceba que a base do logaritmo é 10):

1. $x=\log 25$	3. $x{\frac {\log _{2}5}{\log _{2}10}}=3,5$	5. $x=\log _{100}0,2$	7. $x={\frac {({\mbox{colog}}\,5)^{2}}{\log 5}}$
2. $\log 5x=1,7$	4. $2(\log x-\log 4)=1,4$	6. $\log 2=x$	8. $({\mbox{colog}}\,5)^{x}=({\mbox{colog}}\,2)^{x}-0,4$

Respostas

Questão 1

1. $\log _{2}32=x$ $2^{x}=32$ $2^{x}=2^{5}$ $x=5$ 2. $\log _{3}27=x$ $3^{x}=27$ $3^{x}=3^{3}$ $x=3$ 3. $\log _{5}625=x$ $5^{x}=625$ $5^{x}=5^{4}$ $x=4$ 4. $\log _{5}1=x$ $5^{x}=1$ $x=0$ Veja caso do logaritmando igual a 1 5. $\log _{7}49=x$ $7^{x}=49$ $7^{x}=7^{2}$ $x=2$ 6. $\log _{3}729=x$ $3^{x}=729$ $3^{x}=3^{6}$ $x=6$ 7. $\log _{10}0,1=x$ $10^{x}=0,1$ $10^{x}=10^{-1}$ $x=-1$ Veja caso da base inversa ao logaritmando 8. $\log _{10}0,01=x$ $10^{x}=0,01$ $10^{x}=10^{-2}$ $x=-2$ 9. $\log _{2}2=x$ $2^{x}=2$ $2^{x}=2^{1}$ $x=1$ Veja caso da base igual ao logaritmando 10. $\log _{2}1024=x$ $2^{x}=1024$ $2^{x}=2^{10}$ $x=10$ 11. $\log _{\frac {1}{2}}0,25=x$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=0,25$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}={\frac {1}{4}}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\sqrt {\frac {1}{4}}}\right)^{2}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$ $x=2$ 12. $\log _{\frac {1}{2}}2=x$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=2$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{-1}$ $x=-1$ Veja caso da base inversa ao logaritmando 13. $\log _{\frac {1}{2}}4=x$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=4$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{-2}$ $x=-2$ 14. $\log _{\frac {1}{4}}0,5=x$ $\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}={\frac {1}{2}}$ $\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}={\sqrt {\frac {1}{4}}}$ $\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{1/2}$ $x={\frac {1}{2}}$ 15. $\log _{\frac {4}{5}}5/4=x$ $\left({\frac {4}{5}}\right)^{x}=\left({\frac {5}{4}}\right)$ $\left({\frac {4}{5}}\right)^{x}=\left({\frac {4}{5}}\right)^{-1}$ $x=-1$ Veja caso da base inversa ao logaritmando 16. $\log _{8}512=x$ $8^{x}=512$ $8^{x}=8^{3}$ $x=3$ 17. $\log _{8}1/512=x$ $8^{x}=1/512$ $8^{x}=8^{-3}$ $x=-3$ 18. $\log _{2}512=x$ $2^{x}=512$ $2^{x}=2^{9}$ $x=9$ 19. $\log _{\frac {1}{2}}512=x$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=512$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=2^{9}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{-1}\right]^{9}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{-9}$ $x=-9$ 20. $\log _{\frac {1}{2}}1024=x$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=1024$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=2^{10}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{-1}\right]^{10}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{-10}$ $x=-10$

Questão 2

1.$2\log 3$ Pela propriedade da multiplicação por constante: $\log 3^{2}$ $\log 9$ 2.$\log 12-2\log 2$ Pela propriedade da multiplicação por constante: $\log 12-\log 2^{2}$ $\log 12-\log 4$ Pela propriedade da subtração: $\log {\frac {12}{4}}$ $\log 3$ 3.$\log 5+\log 2$ Pela propriedade da soma $\log(5\cdot 2)$ $\log 10$ 4. $-\log 3-\log 3$ Tratando o logaritmo como uma variável, temos a diferença entre dois termos: $-2\log 3$ Aplicando a propriedade da multiplicação por constante: $\log 3^{-2}$ $\log 1/9$ 5. $2\log 8-\log 32$ Aplicando a propriedade da multiplicação por constante: $\log 8^{2}-\log 32$ $\log 64-\log 32$ Pela propriedade da subtração: $\log(64/32)$ $\log 2$ 6. $9\log 2-5\log 2$ Tratando o logaritmo como uma variável: $4\log 2$ Pela propriedade da multiplicação por constante: $\log 2^{4}$ $\log 16$ 7. $2(\log 3+\log 2)$ Pela soma de logaritmos: $2(\log(3\cdot 2)$ $2\log 6$ Multiplicando pela constante: $\log 6^{2}$ $\log 36$ 8. ${\frac {1}{2}}(\log 8-\log 2)$ Pela diferença de logaritmos: ${\frac {1}{2}}\log 8/2$ ${\frac {1}{2}}\log 4$ Pela multiplicação por constante: $\log 4^{1/2}$ Que é o mesmo que $\log {\sqrt {4}}$ Então $\log 2$ 9. $\log _{2}2^{50}$ Pela multiplicação por constante: $50\log _{2}2$ Pelo caso da base igual ao logaritmando: $50\cdot 1$ $50$ 10. $\log _{3}9^{40}$ Temos que 9 = 32: $\log _{3}(3^{2})^{40}$ Pela multiplicação por constante: $40\cdot 2\log _{3}3$ Pelo caso da base igual ao logaritmando: $80\cdot 1$ $80$ 11. $\log _{9}4+\log _{3}2$ Para podermos somar os dois logaritmos, teremos que deixá-los com mesma base. Para isso, usaremos a propriedade das bases com expoente: $\log _{3^{2}}4+\log _{3}2$ $\log _{3}4^{1/2}+\log _{3}2$ $\log _{3}2+\log _{3}2$ Somamos: $\log _{3}(2\cdot 2)$ $\log _{3}4$ 12. $\log _{16}25-\log _{4}0,2$ Utilizando a propriedade da base com expoente: $\log _{4^{2}}25-\log _{4}0,2$ $\log _{4}25^{1/2}-\log _{4}0,2$ Temos que 0,2 = 5-1 e que 25 = 52: $\log _{4}(5^{2})^{1/2}-\log _{4}5^{-1}$ Somamos e simplificamos os expoentes do primeiro logaritmo: $\log _{4}(5^{1}/5^{-1})$ E utilizando a regra do produto de potências de mesma base $\log _{4}5^{2}=\log _{4}25$

Questão 3

1. $2\log _{2}x=-2$ Divide-se toda equação por 2: $\log _{2}x=-1$ Quando o logaritmo é igual a -1, temos o caso do logaritmando inverso à base: $2^{-1}=x$ $x={\frac {1}{2}}$ 2. $\log _{x}(3x-2)=2$ Transformando em potência: $x^{2}=3x-2$ Então: $x^{2}-3x+2=0$ Descobrindo-se as raízes: $x={\frac {-(-3)\pm {\sqrt {(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}}{2}}={\frac {3\pm 1}{2}}$ Logo $x=\{1\}+\{2\}$ 3. ${\frac {1}{x}}\log 100={\frac {1}{2}}$ Multiplicando-se a equação por x: $\log 100={\frac {x}{2}}$ Convertendo para potência: $10^{\frac {x}{2}}=100$ $10^{\frac {x}{2}}=10^{2}$ Portanto ${\frac {x}{2}}=2$ $x=4$ 4. $2\log _{x}8=3$ Com a propriedade da multiplicação por constante $\log _{x}8^{2}=3$ $\log _{x}64=3$ Que em potência $x^{3}=64$ $x={\sqrt[{3}]{64}}$ $x=4$ 5. $\log _{x}x^{a}=-a$ Transformando em potência: $x^{-a}=x^{a}$ Uma das possíveis respostas seria a = 0, então x é qualquer real. Entretanto, o exercício diz que a é qualquer número real positivo (o que não inclui o zero). Desta maneira, devemos pensar qual número que elevado a qualquer expoente tem ele mesmo como resultado. O único número que verifica esta condição é 1. $x=1$ 6. $\log _{a}x^{2}=2$ Em potência: $a^{2}=x^{2}$ Logo $x=a$ $\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$ 7. $\log _{2a}1=x,a\neq 0,5$ Temos o caso do logaritmando igual a 1: $(2a)^{x}=1$ $x=0$ 8. $\log _{2}(ax-a)-\log _{2}a=4$ Pela propriedade da subtração: $\log _{2}{\frac {ax-a}{a}}=4$ Que é o mesmo que $\log _{2}\left({\frac {ax}{a}}-{\frac {a}{a}}\right)=4$ $\log _{2}(x-1)=4$ Então $2^{4}=x-1$ $x=16+1=17$ 9. $\log _{a}\left({\frac {a}{1+a}}-1\right)=-x$ Pela inversão do logaritmando $\log _{a}\left({\frac {1+a}{a}}-1\right)=x$ Desmembrando a fração do logaritmando: $\log _{a}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {a}{a}}-1\right)=x$ $\log _{a}\left({\frac {1}{a}}+1-1\right)=x$ $\log _{a}\left({\frac {1}{a}}\right)=x$ Chegamos ao caso da base inversa ao logaritmando: $x=-1$ 10. $\log _{a^{2}}a^{x-1}=4,a\neq 1$ Pela propriedade da multiplicação por constante: $(x-1)\log _{a^{2}}a=4$ Pela propriedade da base com expoente: $(x-1)\log _{a}a=4\cdot 2$ Simplificando: $\log _{a}a={\frac {8}{(x-1)}}$ Temos o caso da base igual ao logaritmando: $1={\frac {8}{x-1}}$ Simplificando: $x-1=8$ $x=9$ 11. $5\log _{a}a=x+1,a\neq 1$ Dividindo-se por 5: $\log _{a}a={\frac {x+1}{5}}$ Temos o caso da base igual ao logaritmando: $1={\frac {x+1}{5}}$ $5=x+1$ $x=4$ 12. $a^{3\log _{a}2}=x,a\neq 1$ Passando a potência para logaritmo: $\log _{a}x=3\log _{a}2$ Pela multiplicação por constante: $\log _{a}x=\log _{a}2^{3}$ $\log _{a}x=\log _{a}8$ $x=8$

Questão 4

1. $2y=\log x$ Substituindo log x por 2: $2y=2$ $y=2/2$ $y=1$ 2. $y=1+\log x^{3}$ Pela multiplicação por constante: $y=1+3\log x$ Substituindo log x por 2: $y=1+3\cdot 2$ $y=7$ 3. $y=\log(10x)$ Pela regra da soma: $y=\log 10+\log x$ Simplificando pelo caso da base igual ao logaritmando e substituindo log x por 2: $y=1+2$ $y=3$ 4. $y=\log {\frac {1}{x}}$ Invertendo o logaritmando: $y=-\log x$ $y=-2$ 5. $y=\log {\sqrt {x}}$ Transformando a raíz em potência: $y=\log x^{1/2}$ Pela multiplicação por constante: $y={\frac {1}{2}}\log x$ Substituindo log x: $y={\frac {1}{2}}\cdot 2$ Então $y=1$ 6. $y^{2}=(\log x)^{3}$ Substituindo log x por 2: $y^{2}=2^{3}$ $y^{2}=8$ $y=\pm {\sqrt {8}}$ $y=\pm 2{\sqrt {2}}$ 7. $y=2{\mbox{colog}}\,x$ Pela definição de cologaritmo: $y=-2\log x$ $y=-2\cdot 2$ $y=-4$ 8. $y={\mbox{colog}}\,x+\log x$ Pela definição de cologaritmo: $y=-\log x+\log x$ $y=0$

Questão 5

1. $x=\log 25$ $x=\log 5^{2}$ Pela multiplicação por constante: $x=2\log 5$ Substituindo log 5 por 0,7: $x=2\cdot 0,7$ $x=1,4$ 2. $\log 5x=1,7$ Pela regra da soma: $\log 5+\log x=1,7$ Substituindo log 5 por 0,7: $0,7+\log x=1,7$ $\log x=1$ Chegamos ao caso da base igual ao logaritmando: $10^{1}=x$ $x=10$ 3. $x{\frac {\log _{2}5}{\log _{2}10}}=3,5$ Dividindo-se a equação por x: ${\frac {\log _{2}5}{\log _{2}10}}={\frac {3,5}{x}}$ Pela mudança de base: $\log _{10}5={\frac {3,5}{x}}$ Substituindo log 5 por 0,7: $0,7={\frac {3,5}{x}}$ Logo $x={\frac {3,5}{0,7}}=5$ 4. $2(\log x-\log 4)=1,4$ Dividindo-se por 2: $\log x-\log 4=0,7$ Substituindo 0,7 por log 5: $\log x-\log 4=\log 5$ Pela regra da subtração: $\log {\frac {x}{4}}=\log 5$ Então ${\frac {x}{4}}=5$ Simplificando $x=20$ 5. $x=\log _{100}0,2$ Substituindo 0,2: $x=\log _{100}5^{-1}$ Pela base com expoente: $x=\log _{10^{2}}5^{-1}$ Pela multiplicação por constante: $x=-2\log 5$ $x=-2\cdot 0,7=-1,4$ 6. $\log 2=x$ Substituimos 2: $\log(0,2\cdot 10)=x$ Pela regra da soma: $\log 0,2+\log 10=x$ Temos que log 10 = 1 pelo caso da base igual ao logaritmando: $\log 5^{-1}+1=x$ Pela multiplicação por constante: $-\log 5+1=x$ $-0,7+1=x$ $x=0,3$ 7. $x={\frac {({\mbox{colog}}\,5)^{2}}{\log 5}}$ Pela definição de cologaritmo: $x={\frac {(-\log 5)^{2}}{\log 5}}$ Desmembrando o numerador: $x={\frac {(-\log 5)(-\log 5)}{\log 5}}$ Simplificando: $x={-(-\log 5)}=\log 5$ $x=0,7$ 8. $({\mbox{colog}}\,5)^{x}=({\mbox{colog}}\,2)^{x}-0,4$ Pela definição de cologaritmo: $(-\log 5)^{x}=(-\log 2)^{x}-0,4$ Descobrimos no item 6 da questão 5 que log 2 = 0,3 $(-0,7)^{x}=(-0,3)^{x}-0,4$ Portanto x = 1.