Matemática elementar/Logaritmos/Exercícios

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  • 1. Resolva os problemas abaixo (dica: transforme os logaritmos em potências):
1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.
  • 2. Simplifique os logaritmos abaixo, utilizando as propriedades do logaritmos:
1. 5. 9.
2. 6. 10.
3. 7. 11.
4. 8. 12.
  • 3. Descubra o valor de x em cada um dos seguintes problemas, sendo que a é um número real positivo qualquer:
1.


5. 9.
2.


6. 10.
3.


7. 11.
4.


8. 12.
  • 4. Para os problemas abaixo, descubra o valor de y. Considere log x = 2.
1.


3. 5. 7.
2. 4. 6. 8.
  • 5. Descubra o valor de x sem o uso da calculadora. Considere log 5 = 0,7 para os problemas a seguir (perceba que a base do logaritmo é 10):
1. 3.


5. 7.
2. 4. 6. 8.

Respostas[editar | editar código-fonte]

Questão 1
1.


2.


3.


4.

Veja caso do logaritmando igual a 1


5.


6.


7.

Veja caso da base inversa ao logaritmando


8.


9.

Veja caso da base igual ao logaritmando


10.


11.


12.

Veja caso da base inversa ao logaritmando


13.


14.


15.

Veja caso da base inversa ao logaritmando


16.


17.


18.


19.


20.


Questão 2
1.


2.

  • Pela propriedade da multiplicação por constante:


3.


4.

  • Aplicando a propriedade da multiplicação por constante:


5.

  • Aplicando a propriedade da multiplicação por constante:
  • Pela propriedade da subtração:


6.

  • Tratando o logaritmo como uma variável:
  • Pela propriedade da multiplicação por constante:


7.

  • Pela soma de logaritmos:
  • Multiplicando pela constante:


8.

  • Pela diferença de logaritmos:
  • Pela multiplicação por constante:
  • Que é o mesmo que
  • Então


9.

  • Pela multiplicação por constante:
  • Pelo caso da base igual ao logaritmando:


10.

  • Temos que 9 = 32:
  • Pela multiplicação por constante:
  • Pelo caso da base igual ao logaritmando:


11.

  • Somamos:


12.

  • Utilizando a propriedade da base com expoente:
  • Temos que 0,2 = 5-1 e que 25 = 52:
  • Somamos e simplificamos os expoentes do primeiro logaritmo:
  • E utilizando a regra do produto de potências de mesma base


Questão 3
1.
  • Divide-se toda equação por 2:
  • Quando o logaritmo é igual a -1, temos o caso do logaritmando inverso à base:


2.

  • Transformando em potência:
  • Então:
  • Descobrindo-se as raízes:
  • Logo


3.

  • Multiplicando-se a equação por x:
  • Convertendo para potência:
  • Portanto


4.

  • Com a propriedade da multiplicação por constante
  • Que em potência


5.

  • Transformando em potência:
  • Uma das possíveis respostas seria a = 0, então x é qualquer real. Entretanto, o exercício diz que a é qualquer número real positivo (o que não inclui o zero). Desta maneira, devemos pensar qual número que elevado a qualquer expoente tem ele mesmo como resultado. O único número que verifica esta condição é 1.


6.

  • Em potência:
  • Logo


7.

  • Temos o caso do logaritmando igual a 1:


8.

  • Pela propriedade da subtração:
  • Que é o mesmo que
  • Então


9.

  • Desmembrando a fração do logaritmando:
  • Chegamos ao caso da base inversa ao logaritmando:


10.

  • Pela propriedade da multiplicação por constante:
  • Pela propriedade da base com expoente:
  • Simplificando:
  • Temos o caso da base igual ao logaritmando:
  • Simplificando:


11.

  • Dividindo-se por 5:
  • Temos o caso da base igual ao logaritmando:


12.

  • Passando a potência para logaritmo:
  • Pela multiplicação por constante:


Questão 4
1.
  • Substituindo log x por 2:


2.

  • Pela multiplicação por constante:
  • Substituindo log x por 2:


3.

  • Pela regra da soma:
  • Simplificando pelo caso da base igual ao logaritmando e substituindo log x por 2:


4.

  • Invertendo o logaritmando:


5.

  • Transformando a raíz em potência:
  • Pela multiplicação por constante:
  • Substituindo log x:
  • Então


6.

  • Substituindo log x por 2:


7.


8.

  • Pela definição de cologaritmo:


Questão 5
1.
  • Pela multiplicação por constante:
  • Substituindo log 5 por 0,7:


2.

  • Pela regra da soma:
  • Substituindo log 5 por 0,7:
  • Chegamos ao caso da base igual ao logaritmando:


3.

  • Dividindo-se a equação por x:
  • Substituindo log 5 por 0,7:
  • Logo


4.

  • Dividindo-se por 2:
  • Substituindo 0,7 por log 5:
  • Pela regra da subtração:
  • Então
  • Simplificando


5.

  • Substituindo 0,2:
  • Pela base com expoente:
  • Pela multiplicação por constante:


6.

  • Substituimos 2:
  • Pela regra da soma:
  • Temos que log 10 = 1 pelo caso da base igual ao logaritmando:
  • Pela multiplicação por constante:


7.

  • Pela definição de cologaritmo:
  • Desmembrando o numerador:
  • Simplificando:


8.

  • Pela definição de cologaritmo:
  • Descobrimos no item 6 da questão 5 que log 2 = 0,3
  • Portanto x = 1.