Matemática elementar/Logaritmos

Árvore genealógica ilustrada até a antepenúltima geração.

Considere o seguinte exemplo:

Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na última geração, havia um. Na penúltima, dois. Na antepenúltima, quatro, e assim sucessivamente.

Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:

$2^{x}=128$

No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log₂:

$\log _{2}128=7$

Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima geração anterior à primeira.

A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.

Definição de logaritmo

Um logaritmo pode ser descrito como:

$\log _{a}b=c\iff a^{c}=b\iff {\sqrt[{c}]{b}}=a$

Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é necessário para a resolução da equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.

Vejamos um exemplo numérico abaixo:

$2^{3}=8$

${\sqrt[{3}]{8}}=2$

$\log _{2}8=3$

Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.

Observação: quando o valor da base não está explicita, considera-se 10 para a base:

$\log x=\log _{10}x$

Equações envolvendo logaritmos

Existem basicamente três métodos para a resolução de equações com logaritmos:

Desenvolvimento na forma de potência

Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Nestes casos, convertemos o logaritmo para uma potência. Por exemplo:

$\log _{3}27=x$

Que pode ser entendida como:

$3^{x}=27$

Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes. Neste caso, basta pensarmos a que expoente devemos elevar a base 3 para obtermos a potência 27. Conclui-se que x = 3, pois 3³ = 27.

Logaritmo como variável

O logaritmo pode também ser entendido como uma função. Por exemplo, se temos uma função x, operamos com os princípios da álgebra, e isto ocorre também com os logaritmos. Exemplo:

$3x+5x=8x$

Na álgebra, para podermos operar termos é necessário que a parte literal de cada monômio seja igual. Com os logaritmos isto ocorre de forma similiar:

$3\log _{2}x+5\log _{2}x=8\log _{2}x$

Para podermos operar logaritmos de forma análoga à álgebra, é fundamental que a base e o logaritmando sejam iguais. Veja outro exemplo:

$x^{2}\cdot x=x^{3}$

Com logaritmos podemos interpretar de maneira semelhante:

$\log _{10}^{2}x\cdot \log _{10}x=\log _{10}^{3}x$

Logaritmo em funções compostas

Além de aparecer em parcelas de uma soma ou em fatores, como visto nos dois últimos exemplos, o logaritmo pode aparecer em qualquer outra função! Pode estar no quociente de uma divisão, no expoente de uma potência, no radicando de uma raíz, ou até mesmo no logaritmando de um outro logaritmo. Em alguns casos, é muito comum recorrermos a alguma substituição para podermos visualizar melhor a equação. Por exemplo:

Exemplo de substituição em função composta

:$2\cdot 5^{\log _{5}7}=x$ Substituiremos log5 7 por y, apenas para facilitar o cálculo: $2\cdot 5^{y}=x$ Dividiremos a equação por 2: $5^{y}={\frac {x}{2}}$ Converteremos a potência para logaritmo: $\log _{5}{\frac {x}{2}}=y$ Retornaremos o valor de y: $\log _{5}{\frac {x}{2}}=\log _{5}7$ Comparando a igualdade, percebemos que x/2 é igual a 7 (note que a base e o logaritmando são iguais!): ${\frac {x}{2}}=7$ Isolando a incógnita: $x=14$

Função logaritmica

Na tabela abaixo, vejamos os resultados obtidos na função f (x) = log₂ x:

f (x)	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	0,0625	0,125	0,25	0,5	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, nesse exemplo, que quanto menor for f (x), mais próximo de zero será x, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Neste caso, o intervalo do domínio da função é (0, +∞).

Chamamos de raíz da função os valores de x em que f(x) = 0. Isto é, os pontos em que a curva intersepta o eixo das abscissas. No exemplo anterior, isto ocorre quando x = 1.

Vejamos o caso abaixo, de f(x) = (-2)^x

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	-0,125	0,25	-0,5	1	-2	4	-8

Veja que os valores de f (x) possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo log_a b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!

Consequentemente, o logaritmando jamais será negativo, pois potências negativas existem somente se a base é negativa e o expoente é ímpar.

Estudo de casos

Vejamos alguns casos que envolvam logaritmos (desenvolveremos na forma de potência) :

Base igual ao logaritmando: $\log _{x}x=1,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$

Temos que log_x x = y é o mesmo que x^y = x. Pensemos, qual expoente que elevado a uma base qualquer produz uma potência igual a base? O único expoente que satisfaz esta condição é 1, portanto log_x x = 1.

Base inversa ao logaritmando: $\log _{x}{\frac {1}{x}}=-1,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$

Sabemos que log_x 1/x = y é igual a x^y = 1/x. O único expoente que elevado a uma base qualquer que produz uma potência inversa a base é -1. Logo, log_x 1/x = -1.

Logaritmando igual a 1: $\log _{x}1=0,\{x\in \mathbb {R} |x>0\}$

Já que log_x 1 = y é o mesmo que x^y = 1, devemos pensar quais expoentes deixam qualquer base real positiva igual a 1. O único expoente é o zero, assim, log_x 1 = 0.

${\displaystyle }$

Operações com logaritmos

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos log_ca = x, e log_cb = y. Assim, c^x = a, e c^y = b.

Soma

A soma de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto de seus logaritmandos:

$\log _{c}a+\log _{c}b=\log _{c}(a\cdot b)$

Demonstração:

• Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:

$a\cdot b=c^{x}\cdot c^{y}=c^{(x+y)}\,$

• Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:

$\log _{c}(c^{x}\cdot c^{y})=x+y\,$

• Como c^x = a, c^y = b, log_ca = x e log_cb = y, substiuímos termos correspondentes:

$\log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}a+\log _{c}b\,$

Multiplicação por constante

O produto de um logaritmo por uma constante (ou qualquer função real) é o logaritmo do logaritmando elevado a esta constante:

$k\cdot \log _{c}a=\log _{c}a^{k}$

Demonstração:

• A partir de:

$a^{k}={(c^{x})}^{k}=c^{(k\cdot x)}\,$

• Transformamos o último resultado em logaritmo:

$\log _{c}{(c^{x})}^{k}=k\cdot x\,$

• Substituindo os termos correspondentes:

$\log _{c}a^{k}=k\cdot \log _{c}a\,$

Subtração

A diferença de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do quociente de seus logaritmandos:

$\log _{c}a-\log _{c}b=\log _{c}{\frac {a}{b}}$

Demostração:

• Podemos transformar a expressão na seguinte forma:

$\log _{c}a-\log _{c}b=\log _{c}a+(-1\log _{c}b)$

• Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:

$\log _{c}a+(-1\log _{c}b)=\log _{c}a+\log _{c}b^{-1}$

• Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:

$\log _{c}a+\log _{c}b^{-1}=\log _{c}a+\log _{c}{\frac {1}{b}}$

• Considerando a propriedade da soma de logaritmos:

$\log _{c}a+\log _{c}{\frac {1}{b}}=\log _{c}a\cdot {\frac {1}{b}}$

• Portanto:

$\log _{c}{\frac {a}{b}}=\log _{c}a-\log _{c}b$

Mudança de base

Um logaritmo A qualquer é igual a uma fração de dois logaritmos de mesma base, na qual o logaritmando do denominador é igual ao logaritmando de A, e o logaritmando do numerador é igual a base de A:

$A=\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Sendo que c>0.

• Consideraremos os valores para a demonstração:

$\log _{c}a=x\to c^{x}=a$ (I)

$\log _{c}b=y\to c^{y}=b\to c=b^{\frac {1}{y}}$ (II)

Demonstração:

• Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:

$b^{1}=b\to \log _{b}b=1$

• Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:

${\frac {x}{y}}\log _{b}b={\frac {x}{y}}$

• Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:

$\log _{b}b^{\frac {x}{y}}={\frac {x}{y}}$

• Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):

$\log _{b}(b^{\frac {1}{y}})^{x}={\frac {x}{y}}$

• Substituímos com o resultado em (II):

$\log _{b}c^{x}={\frac {x}{y}}$

• Sabemos c^x em (I):

$\log _{b}a={\frac {x}{y}}$

• Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):

$\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Que prova a igualdade da propriedade.

Exemplo de aplicação

Além de frequentemente ser utilizada para simplificar cálculos, a mudança de base permite que calculemos qualquer logaritmo na calculadora. Normalmente, as calculadoras estão providas somente de log10. Consideremos o exemplo localizado no inicio da página: $\log _{2}128=x$ Se não for possíver realizar o cálculo com a base 2, utilizemos a propriedade da mudança de base: $\log _{2}128={\frac {\log _{10}128}{\log _{10}2}}=7$

Outras propriedades

As quatro propriedades descritas anteriormente (soma, subtração, multiplicação e mudança de base) são fundamentais para o cálculo de logaritmos. Existem outras propriedades que podem ser deduzidas através das operações, que auxiliam em problemas que envolvem logaritmos. São elas:

Inversão do logaritmando

Esta propriedade foi utilizada anteriormente na demonstração da substração de logaritmos de mesma base. Pela propriedade, temos que:

Um logaritmo A qualquer é igual ao logaritmo -A com o logaritmando invertido:

$A=\log {\frac {x}{y}}\to -A=\log {\frac {y}{x}}$

Demonstração:

• Multiplicando A = log (x/y) por -1, teremos:

$-A=-\log {\frac {x}{y}}$

• Utilizando a propriedade da multiplicação por constante:

$-A=\log \left({\frac {x}{y}}\right)^{-1}$

• Que resulta em

$-A=\log {\frac {y}{x}}$

Bases com expoentes

Um logaritmo qualquer de base b^c e logaritmando x é igual a um logaritmo de base b e logaritmando x^1/c:

$\log _{b^{c}}x=\log _{b}x^{1/c}$

Demonstração:

• Pela propriedade da mudança de base, temos que:

$\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b^{c}}}$

• Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:

$\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{c\log _{b}b}}$

• Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando (log_b b), que é igual a 1:

$\log _{b^{c}}x={\frac {\log _{b}x}{c}}$ (I)

• Reescrevendo:

$\log _{b^{c}}x={\frac {1}{c}}\times \log _{b}x$

• Pela multiplicação por constante:

$\log _{b^{c}}x=\log _{b}x^{1/c}$

• Observe que em (I), podemos ter um final diferente para esta propriedade, ao multiplicarmos a equação por c:

$c\log _{b^{c}}x=\log _{b}x$

Exemplo de aplicação

Esta propriedade pode ser aplicada para facilitar a soma ou subtração de logaritmos de bases diferentes. Exemplo: $\log _{4}x+\log _{2}x=y$ A propriedade da soma não pode ser utilizada pois as bases dos logaritmos são diferentes. Então colocaremos um expoente na base de modo que estas, posteriormente, fiquem iguais: $\log _{2^{2}}x+\log _{2}x=y$ Aplicando a propriedade da base com expoente: $\log _{2}x^{1/2}+\log _{2}x=y$ E por fim, poderemos utilizar a propriedade da soma para descobrir y: $\log _{2}(x^{1/2}\cdot x)=y$ $y=\log _{2}x^{3/2}$ Simplificando com a multiplicação por constante: $y={\frac {3\log _{2}x}{2}}$

Troca da base pelo logaritmando

Um logaritmo A qualquer de base b e logaritmando x é igual a um logaritmo 1/A de base x e logaritmando b:

$A=\log _{b}x\to {\frac {1}{A}}=\log _{x}b$

Demonstração:

• Pela propriedade da mudança de base, temos que:

$\log _{b}x={\frac {\log _{x}x}{\log _{x}b}}$

• Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando (log_xx), que é igual a 1:

$\log _{b}x={\frac {1}{\log _{x}b}}$

• Elevando-se a equação a -1, podemos reescrevê-la

${\frac {1}{\log _{b}x}}={\log _{x}b}$

Divisão e multiplicação de logaritmos

Podemos simplificar uma divisão de logaritmos através da propriedade da mudança de base, na qual é necessário que os logaritmos tenham a mesma base:

${\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}=\log _{b}a$

Na multiplicação de logaritmos, a simplificação ocorre quando a base de um fator é igual ao logaritmando do outro. Assim,

$\log _{c}a\cdot \log _{b}c=\log _{b}a$

Demonstração:

• A multiplicação também é definida pela mudança de base. Na equação abaixo, desmembramos o denominador da divisão:

$\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}\to \log _{b}a=\log _{c}a\cdot {\frac {1}{\log _{c}b}}$

• Dividindo a equação por log_ca:

${\frac {\log _{b}a}{\log _{c}a}}={\frac {1}{\log _{c}b}}$

• Elevando-se a equação a -1:

${\frac {\log _{c}a}{\log _{b}a}}=\log _{c}b$

• Utilizando a propriedade da troca da base pelo logaritmando:

${\frac {\log _{b}a}{\log _{c}a}}={\log _{b}c}$

• Multiplicando a equação por log_ca:

$\log _{b}a=\log _{c}a\cdot \log _{b}c$

Que prova a multiplicação de logaritmos.

Cologaritmos

Cologaritmos são definidos pela seguinte expressão:

${\mbox{colog}}\,{\frac {x}{y}}=-\log {\frac {x}{y}}$

Pela propriedade da inversão do logaritmando, podemos reescrevê-los como:

${\mbox{colog}}\,{\frac {x}{y}}=\log {\frac {y}{x}}$

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